Блочно-матричный метод математического моделирования поверхностей

В. И. НАРТЯ 
БЛОЧНО-МАТРИЧНЫЙ 
МЕТОД 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ 
ПОВЕРХНОСТЕЙ
Учебное пособие 
2-е издание
Москва    Вологда
«Инфра-Инженерия»  
2023

УДК 519.688 
ББК 22.19 
Н28 
Р е ц е н з е н т ы :  
доктор физико-математических наук, профессор Н. А. Бокаев; 
доктор технических наук, доцент А. З. Исагулов 
Н28 
Нартя, В. И. 
 Блочно-матричный метод математического моделирования 
поверхностей : учебное пособие / В. И. Нартя. - 2-е изд. - 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 240 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1325-1 
Исследованы и разработаны приёмы системного математического моделирования поверхностей простой и сложной переменной 
формы классов конгруэнтных сечений или неизменяемых линий, а 
также аффинно- и проективно эквивалентных линий каркасов. За основу моделирования принята скалярно-параметрическая блочноматричная форма представления уравнений поверхностей, перспективная в вычислительной компьютерной геометрии при решении задач 
программного обеспечения как визуализации каркасов средствами 
машинной графики, так и при обработке деталей на металлорежущем 
оборудовании с ЧПУ. 
Для студентов, аспирантов, преподавателей вузов и научных сотрудников, изучающих возможности приложения на практике методов 
инженерной и машинной графики, начертательной и вычислительной 
геометрии. 
УДК 519.688 
ББК 22.19 
ISBN 978-5-9729-1325-1 
” Нартя В. И., 2023 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 

OГЛАВЛЕНИЕ 
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 
1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИЙ
1.1. Матричная скалярно-параметрическая форма представления фигур, как основа математического обеспечения чертежа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12 
1.2. Матричные формы точек и прямых линий . . . . . . . . .  14 
1.3. Матричное представление кривых линий . . . . . . . . . .  18 
2. БЛОЧНО-МАТРИЧНЫЕ СТРУКТУРЫ КОМПОЗИЦИЙ
НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
2.1. Непрерывные последовательности жордановых форм .  23
2.2. Исследование области существования коммутативных произведений ППМ группы аффинных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  24 
2.3. Исследование области существования коммутативных произведений ППМ группы проективных преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31 
2.4. Частные случаи. Композиции симметрий . . . . . . . . . .  35 
3. БЛОЧНО-МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
КАРКАСОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ
3.1. Движения и траектории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  38 
3.2. Блочно-матричная скалярно-параметрическая схема 
моделирования каркасов поверхностей с образующей линией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  46 
3.3. Моделирование каркасов поверхностей конгруэнтных сечений или неизменяемых линий . . . . . . . . . . . .  59 
3.4. Модели каркасов поверхностей подобно эквивалентных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  62 
3.5. Модели каркасов поверхностей аффинно эквивалентных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  67 
3.6. Матричные модели каркасов поверхностей проективно эквивалентных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  75 
3 

3.7. Поверхности как результат геометрического преобразования другой поверхности. Поверхности второго 
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  81 
4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ
СПЕЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
4.1. Дифференциально-геометрические характеристики поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  89 
4.2. Моделирование огибающей семейства поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  93 
4.3. Эквидистантные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . .  97 
4.4. Аппроксимационные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99 
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 
4 

ВВЕДЕНИЕ 
В начертательной геометрии разработано значительное количество проекционных и не проекционных методов графического отображения пространства на плоскость [1]. Являясь по существу синтетическими, методы отображения входят в систему разработанных приёмов конструирования вторичных графических 
моделей абстрактных пространств, составляющих основу классической науки «Начертательная геометрия». 
Предложенный Г. Монжем проекционный способ построения комплексного чертежа представляет собой модель евклидова 
пространства, допускающий точную реконструкцию изображаемого объекта. В сочетании с декартовой прямоугольной системой 
координат эпюр Монжа получил наибольшее распространение в 
инженерной практике как способ построения технических чертежей. Однако, в последнее время, в подтверждение положения, 
высказанного в свое время Г. Монжем, определилась тенденция 
дополнять чертёж аналитическим описанием и, следовательно, 
предполагая известными основные понятия геометрии, геометрические факты записывать в виде соотношений между координатами. Это дает, во-первых, возможность использовать вычислительную технику для решения позиционных и метрических задач 
на чертеже; во-вторых — разрабатывать системы автоматизированного выполнения и размножения чертежей с использованием 
графопостроителей и графических дисплеев и, в-третьих, решать 
задачи математического моделирования геометрических объектов 
в системах САПР, а также при изготовлении деталей на станках с 
ЧПУ. 
Как известно [2, 3, 4], координатная модель евклидова пространства состоит из различных упорядоченных троек действительных чисел. При этом каждой тройке чисел соответствует 
единственная точка пространства. Множества точек, выделенные 
по определенному закону и определяющие классы объектов — 
точка, линия, поверхность, тело, сплошная среда (континуум), 
описываются уравнениями с тремя переменными величинами 
x, y, z — координатами точек множества. На координатном чер5 

теже Монжа координатные плоскости xOz, xOy, yOz принимают 
за плоскости проекций. Тогда комбинированная графоаналитическая модель евклидова пространства строится в соответствии со 
следующими правилами [89]: 
1. Точки M, … пространства относят к некоторой декартовой
прямоугольной системе координат и задают тройками упорядоченных чисел — координатами (XM, YM, ZM). 
2. Два поля проекций координатных плоскостей совмещают
вместе с их координатными осями x, y; x, z в чертёж Монжа. 
3. Точки пространства M, … относят к чертежу Монжа (полям проекций xOy и xOz) в виде их упорядоченных проекций 
M1, … и M2, … . 
4. Если точка M имеет координаты X, Y, Z, то её проекции
имеют координаты M1 (X, Y) и M2 (X, Z) независимо от способа 
совмещения полей xOy и xOz. 
5. Наличие координат точки обеспечивает построение её
проекций. Наличие проекций точек обеспечивает выделение координат точки. 
6. Фигуры Ф пространства задаются как множества точек и
моделируются их проекциями и уравнениями Ф (x, y, z) = 0. 
7. На проекционном поле координированного чертежа Монжа могут решаться любые геометрические задачи на построения. 
При этом в равной мере могут применяться как графические, так 
и вычислительные методы. 
8. Для каждой графической операции устанавливается её
вычислительный эквивалент и, наоборот, с вычислительными 
операциями соотносятся графические операции. 
Общепризнанно, математическое обеспечение — одна из основных проблем машинной графики. Причём, для воспроизведения геометрических фигур с помощью ЭВМ необходимо задать 
алгоритмы вычисления координат точек, принадлежащих геометрической фигуре, а при решении позиционных и метрических задач вычислительный эквивалент служит основанием для машинного решения. Конечные формулы алгоритмов определения координат точек должны быть явными относительно x, y, z. 
В общем случае математической моделью [5, 143] геометрического объекта называют записанную в математических символах 
6 

абстрактную конструкцию, способную количественно описывать 
геометрические факты. 
Математической моделью геометрического объекта в машинной графике называют совокупность уравнений, неравенств и 
других ограничений и условий их разрешения (в том числе областей изменения всех параметров формы и положения), которые 
определяют объект единственным образом: каждым двум конкретным значениям координат точки объекта соответствует единственное значение третьей координаты точки [88]. 
В свою очередь, графической моделью геометрического 
объекта называют его проекционный обратимый чертёж, формируемый на базе алгоритмов отображения. Графические модели 
носят функции интерпретирующей или конструктивной модели, в 
зависимости от того, что является результатом внутримашинного 
преобразования — изображение геометрического объекта или 
обеспечение решения позиционных либо метрических задач. 
Все виды моделей должны быть оптимальными. Основной 
критерий — простота и краткость всех алгоритмов, определяющих соответствующие модели геометрических объектов. 
В современной математической литературе сложились такие 
определения [143]: 
— «математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики»; 
— «математические модели могут включать помимо естественнонаучных объектов еще технические, экономические, социальные и другие явления и объекты, записанные на математическом языке, то есть в математических терминах». 
Одним из объектов исследования в данной работе являются 
поверхности сложной формы, называемые в практике проектирования «инженерными», для получения которых требуется металлообрабатывающее оборудование с ЧПУ. Можно, с известными 
оговорками, допустить, что поверхности деталей машиностроительного назначения моделируются инженерными поверхностями, относящимися к типу рациональных поверхностей, а процесс 
построения математических конструкций, способных количественно описывать инженерные поверхности, будем называть моделированием. 
7 

Выделим несколько этапов построения и изучения математических моделей поверхностей: 
— анализ предпосылок, приводящих к синтезу качественной 
модели (форма аналитического представления, структура определителя, методы реализации алгоритмов задания исходных геометрических фигур, принимаемых в качестве образующих, и перехода к их непрерывному множеству); создание соответствующих математических моделей классов, семейств, типов поверхностей, каркасы которых сохраняют те или иные инвариантные 
свойства; изучение математических задач, порождаемых принятой моделью; создание программного обеспечения и управление 
моделью поверхности с помощью ЭВМ. 
Моделирование геометрических объектов определенных 
классов — точек, линий, поверхностей, тел или континуума, органично связано с моделированием движений или деформаций 
этих объектов. Такая связь прослеживается на фундаменте теории 
геометрических преобразований пространства, определяющем 
общую природу обеих схем моделирования — это параметрический характер функций преобразования или законов движений и 
деформаций. В первом случае в качестве переменного параметра 
может быть принято некоторое множество (непрерывное, дискретное) числовых значений величин определенной размерности, 
а во втором — время. 
Кроме того, очевидная общность схем моделирования обуславливает исключительную прикладную значимость скалярно 
(векторно)-параметрического метода моделирования как каркасов 
поверхностей простой (постоянной) или сложной (переменной) 
формы, так и законов движений (деформаций) геометрических 
объектов различных классов. 
Можно предположить, что организация скалярно- 
параметрических форм уравнений каркасов поверхностей, а также законов движения в матричные или изначально — в блочно- 
матричные композиции, отличается от других таким качеством, как возможностью на единой методологической основе проводить систематизацию каркасов и законов движений, то есть, непосредственно стыковать теорию, практику и методы геометрических 
преобразований и, кроме того, методы кинематической геометрии. Здесь уместно привести такие тезисы [5, 11, 25]: 
8 

— эффективным вычислительным аппаратом при построении математических моделей являются матрицы и определители; 
— при построении математических моделей действительные 
числа сравнивают с «кирпичами», а матрицы — со «строительными блоками»; 
— аффинно-проективная геометрия в аналитическом изложении (в вычислительном контексте) оптимально описывается с 
помощью матриц. 
Помимо этого, базирование вычислительных операций с помощью ЭВМ на стандартном программном обеспечении выделяет матричные математические модели в современный мощный 
аппарат исследователя и проектировщика, призванный решать 
сложные прикладные задачи конструирования и технологии. 
При построении математических моделей поверхностей исследователь в области прикладной геометрии вынужденно сталкивается с задачами стыковки различных разделов высшей и инженерной геометрии — теории геометрических преобразований, 
теории и методов конструирования каркасов поверхностей, методов их аналитического описания, а также способов машинной визуализации или представления сопутствующей буквенно- 
цифровой и графической информации, характеризующей геометрические и конструктивные свойства моделируемой поверхности. 
Разработке теории различных групп геометрических преобразований посвящены работы многих зарубежных и отечественных ученых — Ф. Клейне, Л. Кремона, Т. Рейе, Р. Штурм, 
Х. Хадсон, З. А. Скопец, Н. Ф. Четверухин, Г. С. Иванов, а также 
Б. А. Розенфельд, И. С. Джапаридзе, А. М. Комиссарук, И. И. Яглом, И. В. Цвицинский и другие. 
Основополагающими работами по теории геометрического 
моделирования поверхностей и вычислительной геометрии являются работы Котова И. И., Тевлина A. M., Якунина В. И. Иванова Г. С., Наджарова К. М., Осипова В. А., Рыжова Н. Н., Михайленко В. Е., Фролова С. А., Завьялова Ю. С., Кунса А., Тузова А. Д., Павлова А. В., Валькова К. И., Юдицкого М. М., Люкшина B. C., Филиппова П. В., Подгорного А. Д., Фокса А., Пратта М., 
Найдыша В. М., Надолинного В. А., Рвачева В. Л., Горелика А. Г., 
3озулевича Д. М., Ньюмена У., Полозова B. C., Спрула Р., Фергюсена Дж., Есмуханова Ж. М., Нурмаханова Б. Н. и др. 
9 

Описание математических моделей каркасов поверхностей 
по настоящее время базируется, в основном, на неявнях и явных 
формах аналитического представления, но, в тоже время, получают применение скалярно(векторно)-параметрические и матричные формы — благодаря интенсивному развитию вычислительной (инженерной, компьютерной) геометрии. 
Такое развитие вызвано очевидным преимуществом скалярно-параметрической формы перед другими при моделировании 
локальных отсеков кривых поверхностей инженерного класса, 
ограниченных криволинейными (в общем случае) четырёхугольниками. Однако, разработки в этом направлении носят частный 
характер, применительно к конкретному типу поверхности — работы Сергеева Л. В., Баженского Ю. М., Поспелова И. Ю., Любимовой В. К., Ивженко А. В., Токаря Ю. А. и некоторых других. 
Остается открытым вопрос системного подхода при моделировании и классификации каркасов поверхностей на базе 
блочно-матричной скалярно-параметрической формы представления и теории непрерывных (мгновенных) геометрических 
преобразований. 
В известных работах (Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И., 
Кравчук М. Ф., Морозов В. В.) практически не затрагивается и не 
исследован важнейший аспект теории матриц — коммутативность функциональных матричных блоков относительно операции умножения, определяющих элементы и структуру определителя поверхности. В классических же работах по теории матриц — Гантмахер Ф., Ланкастер П. и др. — вопросу коммутативности уделяется самое общее внимание. 
При реализации вычислительных операций, отображении 
графической информации о поверхности, её визуализации техническими средствами на основе блочно-матричного аналитического описания уравнений также имеется значительный резерв по 
формированию оптимальных алгоритмов и пакета программ для 
ЭВМ различных классов. В этом направлении известны рекомендации Фокса А. и некоторых других зарубежных ученых, разрабатывающих теорию и практику машинной графики и вычислительной геометрии. 
Поскольку аппарат моделирования каркасов поверхностей 
затрагивает, в нашем случае, группы непрерывных линейных 
10