Анализ и моделирование типовых систем массового обслуживания

В. В. Афонин, В. В. Никулин 
АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТИПОВЫХ 
СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 
Учебное пособие 
Москва     Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2023

УДК 519.87 
ББК 32.973 
А94 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой телекоммуникаций
Ульяновского государственного технического университета (УлГТУ)  
Дементьев В. Е.; 
канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой телекоммуникационных  
систем Волгоградского государственного университета Семенов Е. С. 
 
 
 
 
Афонин, В. В. 
А94  
Анализ и моделирование типовых систем массового обслуживания : 
учебное пособие / В. В. Афонин, В. В. Никулин. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 232 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1187-5 
 
Рассмотрены марковские, полумарковские и немарковские системы 
массового обслуживания, одноканальные и многоканальные системы, распределения случайных формирующих входные потоки систем и процессы 
обслуживания. Освещены общие вопросы процессов размножения и гибели, приводится классификация Кендалла для систем массового обслуживания общего вида.  
Для студентов направления подготовки «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», а также технических направлений, в которых 
рассматриваются вопросы теории и практики систем массового обслуживания.  
 
УДК 519.87 
ББК 32.973 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1187-5 
” Афонин В. В., Никулин В. В., 2023 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 

СОДЕРЖАНИЕ 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
.......................................................................................................... 6 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 7 
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ........ 9 
1.1. Классификация систем массового обслуживания ........................................ 9 
1.2. Приоритетные системы и дисциплины обслуживания .............................. 12 
1.3. Задачи анализа и синтеза систем массового обслуживания 
...................... 15 
1.4. Практическая часть ........................................................................................ 15 
2. АНАЛИЗ ПОТОКОВ ПУАССОНА И ЭРЛАНГА ............................................. 18 
2.1. Анализ входных потоков требований .......................................................... 18 
2.1.1. Свойство стационарности потока событий ........................................ 19 
2.1.2. Свойство ординарности потока событий ........................................... 19 
2.1.3. Свойство отсутствия последействия 
................................................... 20 
2.1.4. Параметр и интенсивность потока требований ................................. 20 
2.1.5. Параметр и интенсивность нестационарного потока 
........................ 22 
2.2. Пуассоновский поток требований ................................................................ 22 
2.2.1. Числовые характеристики Пуассоновского потока........................... 30 
2.2.2. Свойство вероятностей распределения Пуассона ............................. 32 
2.2.3. Распределение длительностей интервалов между требованиями 
в пуассоновском потоке 
.................................................................................. 33 
2.2.4. Числовые характеристики экспоненциального распределения ....... 34 
2.2.5. Случайное разрежение пуассоновского потока 
................................. 36 
2.2.6. Объединение пуассоновских потоков 
................................................. 38 
2.2.7. Моделирование Пуассоновского потока ............................................ 40 
2.3. Потоки Эрланга .............................................................................................. 42 
2.3.1. Закон распределения интервалов времени между требованиями  
потока Эрланга k-го порядка 
.......................................................................... 43 
2.3.2. Числовые характеристики потока Эрланга k-го порядка 
.................. 46 
2.3.3. Замена реальных потоков требований потоками Эрланга 
................ 47 
2.3.4. Практическая часть. Моделирование потоков  
Пуассона и Эрланга 
......................................................................................... 47 
3. ТИПОВЫЕ МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. 
АНАЛИЗ ОДНОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 
............................................................. 56 
3.1. Процессы размножения и гибели ................................................................. 56 
3.1.1. Дифференциальные уравнения процесса размножения и гибели ... 58 
3.1.2. Мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова ..... 62 
3.1.3. Процесс чистого размножения ............................................................ 63 
3.1.4. Процесс чистой гибели 
......................................................................... 64 
3.1.5. Стационарный режим процесса размножения и гибели ................... 65 
3.2. Одноканальные системы массового обслуживания ................................... 68 
3.2.1. Система массового обслуживания М/М/1 .......................................... 68 
3.2.2. Формула Литтла. Аналоги формулы Литтла ..................................... 70 
3 
 

3.2.3. Операционные характеристики системы М/М/1 ............................... 73 
3.2.4. Система М/М/1 с отказами 
................................................................... 77 
3.2.5. Система M/M/1/К с конечным накопителем ...................................... 78 
3.2.6. Операционные характеристики системы М/М/1/К ........................... 81 
3.2.7. Система М/М/1//М с конечным числом источников нагрузки ........ 84 
3.2.8. Система М/М/1 с ограниченным временем ожидания 
...................... 87 
3.2.9. Операционные характеристики системы М/М/1 с ограниченным 
временем ожидания 
......................................................................................... 90 
3.3. Практическая часть ........................................................................................ 92 
4. ТИПОВЫЕ МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. 
АНАЛИЗ МНОГОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 
.......................................................... 98 
4.1. Система М/М/m с m обслуживающими приборами ................................... 99 
4.1.1. Вероятности состояний системы М/М/m 
.......................................... 100 
4.1.2. Операционные характеристики системы М/М/m ............................ 102 
4.2. Система М/М/m с отказами. В-формула Эрланга 
..................................... 105 
4.2.1. Вероятности состояний системы М/М/m с отказами ...................... 106 
4.2.2. Операционные характеристики системы М/М/m с отказами ......... 108 
4.3. Система М/М/m/К с конечным накопителем ............................................ 110 
4.3.1. Вероятности состояний системы М/М/m/К 
...................................... 110 
4.3.2. Операционные характеристики системы М/М/m/К 
......................... 112 
4.4. Система M/M/m с ограниченным временем ожидания 
............................ 116 
4.4.1. Вероятности состояний системы М/М/m с нетерпеливыми  
требованиями 
................................................................................................. 116 
4.4.2. Операционные характеристики системы М/М/m  
с нетерпеливыми требованиями .................................................................. 119 
4.5. Система M/M/m/К/M с конечным числом источников нагрузки,  
с m обслуживающими приборами и конечным накопителем......................... 120 
4.5.1. Вероятности состояний системы М/М/m/К/М ................................. 121 
4.5.2. Операционные характеристики системы М/М/m/К/М 
.................... 124 
4.6. Практическая часть ...................................................................................... 126 
5. ТИПОВЫЕ ПОЛУМАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО 
ОБСЛУЖИВАНИЯ ................................................................................................. 131 
5.1. Система массового обслуживания типа М/G/1 
......................................... 131 
5.2. Операционные характеристики полумарковской системы М/G/1 
.......... 135 
5.3. Система массового обслуживания GI/M/m ............................................... 136 
5.4. Оценка распределения длины очереди в системе GI/M/m 
....................... 141 
5.5. Оценка распределения времени ожидания в системе GI/M/m ................ 145 
5.6. Практическая часть ...................................................................................... 150 
6. ТИПОВЫЕ НЕМАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО 
ОБСЛУЖИВАНИЯ ................................................................................................. 161 
6.1. Система массового обслуживания типа G/G/1 
.......................................... 162 
6.2. Решение интегрального уравнения Линдли .............................................. 168 
6.3. Практическая часть ...................................................................................... 174 
 
 
4 
 

7. ОПТИМИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО 
ОБСЛУЖИВАНИЯ ................................................................................................. 192 
7.1. Оптимизация Марковской СМО с конечным накопителем .................... 193 
7.2. Оптимизация СМО типа M/M/m с ограниченным временем  
ожидания в очереди ............................................................................................ 195 
7.3. Оптимизация Марковской СМО типа M/M/m с отказами ....................... 196 
7.4. Оптимизация Марковских многоканальных СМО  
при больших загрузках ....................................................................................... 198 
7.5. Практическая часть ...................................................................................... 201 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
.................................................................... 224 
 
 
5 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Системы массового обслуживания встречаются во многих сферах современного информационного пространства. Это автоматические телефонные станции 
(АТС), сотовая связь, задачи телетрафика, серверы и сайты всемирной паутины, 
банковские, экономические и производственные объекты различного прикладного характера. В частности, в такой учебной дисциплине, как «Теория телетрафика» принято включать разделы по системам массового обслуживания. Следует 
отметить, что в зарубежной литературе теория систем массового обслуживания 
называется теорией очередей - Queue theory. Соответственно, системы массового обслуживания - это Queuing systems. В дальнейшем сокращенно системы 
массового обслуживания будем обозначать как СМО или QS.  
В учебное пособие включены различные темы с различной полнотой их описания. Большую часть занимает материал по Марковским системам массового 
обслуживания, для которых более подробно освещены выводы большинства операционных характеристик, дифференциальных уравнений, представляющих собой модели соответствующей QS в динамическом режиме, а также модели в стационарном режиме. Затрагиваются вопросы оптимизации некоторых Марковских систем с их программной реализацией, что позволяет определить, в первую 
очередь, необходимое число каналов или приборов обслуживания. Для полумарковских СМО приводятся основные интегральные и дискретные преобразования, позволяющие получить базовые операционные характеристики систем. Рассмотрены также вопросы, освещающие немарковские системы массового обслуживания, задачи их исследования, и некоторые подходы их решения, включая 
имитационное моделирование.  
Материал учебного пособия сопровождается функциональными схемами и 
необходимыми диаграммами и графиками, поясняющими анализ соответствующей системы массового обслуживания.  
 
 
6 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Основоположником теории и систем массового обслуживания считается датский ученый А. К. Эрланг (1878-1929), который, работая в копенгагенской телефонной компании, опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории СМО с отказами. 
В дальнейшем существенное развитие данного направления было заложено в работах советского ученого А. Я. Хинчина (1884-1959), который предложил термин «теория массового обслуживания».  
Каждый тип системы массового обслуживания принято обозначать в соответствии с символикой Кендалла [14, 16, 21, 23, 24, 27, 34, 42, 44-47], которая состоит из четырех позиций, разделяемых вертикальными или наклонными линиями: А/В/m/К, где  
А - распределение моментов поступлений требований на обслуживание или 
закон распределения поступающих в систему требований; 
В - распределение времени обслуживания требований; 
m - число параллельно функционирующих узлов (каналов, приборов) обслуживания; 
К - максимальное число допускаемых в систему требований, т. е. число требований в очереди плюс число требований, принятых на обслуживание. 
Кроме указанных обозначений могут иметь место и такие, которые связаны с 
емкостью источника нагрузки, генерирующего требования на обслуживание, и с 
дисциплиной очереди.  
Поля А и В в СМО могут принимать идентичные значения из следующего 
набора обозначений: 
М - экспоненциальное (показательное) распределение. Для входящего потока 
промежутки времени между последовательными поступлениями требований 
распределены экспоненциально, а поступление самих требований в систему подчиняется простейшему закону Пуассона с постоянной интенсивностью O = const; 
M(t) - пуассоновский входной поток при интенсивности, зависящей от времени 
t, т. е. O = O(t); 
D - детерминированный интервал времени между моментами последовательных поступлений в систему требований на обслуживание или детерминированная продолжительность обслуживания; 
Еr - распределение Эрланга порядка r интервалов времени между моментами 
последовательных поступлений требований в обслуживающую систему или продолжительностей обслуживания; 
HM - гиперэкспоненциальное распределение; 
НЕ - гиперэрланговское распределение; 
РН - распределение фазового типа; 
GI - распределение произвольного вида моментов поступления в систему 
требований на обслуживание (или интервалов времени между последовательными поступлениями требований); 
G - распределение произвольного вида моментов выбытия из системы обслуженных требований (или продолжительностей обслуживания). 
7 
 

Если два первых символа являются М (Марков), то говорят, что это Марковская система обслуживания. Если только один из двух первых символов будет М, 
то это обозначается полумарковская система обслуживания. Когда первые два 
символа не содержат М, то это обозначение немарковской системой массового 
обслуживания. 
Для Марковских систем массового обслуживания получено большое число 
законченных результатов, они, как правило, анализируются с помощью аналитического моделирования. Соответственно, для полумарковских систем результаты в замкнутой форме, например, в виде аналитических формул, получены для 
некоторых частных случаев, поэтому их анализ часто осуществляется с помощью инструментов имитационного моделирования, например, в GPSS World, 
AnyLogic, MATLAB. 
Немарковские системы массового обслуживания анализируются в основном 
с помощью имитационного моделирования. 
 
 
8 
 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 
1.1. Классификация систем массового обслуживания 
Дадим определение СМО из [29]: массового обслуживания система - понятие, которое включает в себя случайный «входящий» поток требований (вызовов, звонков, заявок, клиентов), нуждающихся в «обслуживании», и механизм 
(алгоритм), осуществляющий это «обслуживание». Требования поступают в некоторые устройства, приборы, узлы или каналы обслуживания, где они пребывают в общем случае случайное время. Процесс, характерный для типовой СМО, 
показан на рис. 1.1. 
 
Рис. 1.1. Схема процесса массового обслуживания 
На рис. 1.1 пунктирная стрелка означает, что очереди может и не быть при 
поступлении требований в систему массового обслуживания (СМО). 
Моделирование процессов массового обслуживания осуществляется на базе 
Q-схем [Советов], где Q - queue (очередь). В символике Q-схем i-й прибор обслуживания Пi изображают в виде схем, показанных на рис. 1.2. 
 
 
Рис. 1.2. Примеры приборов обслуживания требований 
На рис. 1.2 wi - поток заявок, ui - поток обслуживаний, Hi - накопитель заявок 
(очередь), Dzi - собственно канал/прибор обслуживания, yi - поток обслуженных 
заявок (требований). 
В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные 
связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные 
приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания.  
 
 
9 
 

На рис. 1.1 блок с надписью «Приборы обслуживания» иногда так и называют 
блоком обслуживания. Блок обслуживания может состоять из одного или нескольких каналов (узлов). Канал обслуживания - это устройство или средство 
(включая человека-оператора), способное в данный момент времени обслуживать лишь одно требование. Основными характеристиками канала обслуживания 
являются - пропускная способность и среднее время обслуживания одного требования.  
Если блок обслуживания состоит из одного канала, он называется одноканальным (однолинейным), при нескольких каналах обслуживания блок называют многоканальным (многолинейным) [3, 4, 23, 43]. Различают однофазные и 
многофазные блоки обслуживания. Если требование после обслуживания только 
одним прибором покидает систему обслуживания, имеет место однофазное обслуживание. При многофазном обслуживании требование последовательно обслуживается несколькими приборами, причем, приборы могут быть одной или 
разной последовательности, при обслуживании перед каждым прибором может 
оказаться своя очередь. Пример СМО с несколькими каналами обслуживания 
приведен на рис. 1.3. 
 
Рис. 1.3. Схема системы с накопителем Н и m каналами обслуживания 
Пример многофазной системы с возможной очередью перед каждой фазой 
(устройством/каналом) обслуживания показан на рис. 1.4. 
 
Рис. 1.4. Схема многофазной системы обслуживания 
10