Функциональный анализ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

К. А. Кириллов, С. В. Кириллова, А. А. Кытманов 

 

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 

СФУ 
2022 

УДК 517.91(07) 
ББК  22.161.61я73 

К431  
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 

К. В. Сафонов, доктор физико-математических наук, профессор, заведую-

щий кафедрой прикладной математики СибГУ им. М. Ф. Решетнева; 

К. В. Симонов, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник отде-

ла вычислительной механики деформируемых сред ИВМ СО РАН – обособленного 
подразделения ФГБНУ «ФИЦ КНЦ СО РАН» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кириллов, К. А. 

К431  
Функциональный анализ : учеб. пособие / К. А. Кириллов, 

С. В. Кириллова, А. А. Кытманов. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 
2022. – 86 с. 

ISBN 978-5-7638-4668-3 

 

Приведены основные теоретические сведения и примеры решения задач 

по дисциплине «Функциональный анализ», а также упражнения для практических 
занятий и самостоятельной работы студентов. 

Предназначено для студентов бакалавриата направления 01.03.04 «При-

кладная математика». 
 

Электронный вариант издания см.: 
УДК 517.91(07) 

http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.161.61я73 

 
 
 
 
 
 
 

ISBN 978-5-7638-4668-3 
© Сибирский федеральный 

университет, 2022 

Оглавление 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 

Введение.......................................................................................................  4 
1. Элементы теории меры .........................................................................  5 

1.1. Основные понятия и теоремы ...........................................................  5 
1.2. Примеры решения задач ...................................................................  10 
1.3. Упражнения для практических занятий  

и самостоятельной работы ................................................................  13 

2. Измеримые функции. Интеграл Лебега .............................................  16 

2.1. Основные понятия и теоремы ...........................................................  16 
2.2. Примеры решения задач ...................................................................  22 
2.3. Упражнения для практических занятий   

и самостоятельной работы ................................................................  29 

3. Метрические пространства. Линейные нормированные  
пространства ...............................................................................................  33 

3.1. Основные понятия и теоремы ...........................................................  33 
3.2. Примеры решения задач ...................................................................  40 
3.3. Упражнения для практических занятий  

и самостоятельной работы ................................................................  50 

4. Гильбертовы пространства ..................................................................  54 

4.1. Основные понятия и теоремы ...........................................................  54 
4.2. Примеры решения задач ...................................................................  56 
4.3. Упражнения для практических занятий  

и самостоятельной работы ................................................................  60 

5. Линейные операторы и линейные функционалы. Сопряженные 
пространства ...............................................................................................  63 

5.1. Основные понятия и теоремы ...........................................................  63 
5.2. Примеры решения задач ...................................................................  68 
5.3. Упражнения для практических занятий  

и самостоятельной работы ................................................................  79 

Заключение .................................................................................................  83 
Список использованных источников......................................................  84 

 
 
 

Оглавление 

4 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Курс функционального анализа, изучаемый студентами различных 

направлений подготовки, является одним из наиболее абстрактных и потому 
наиболее сложных. Аппарат функционального анализа применяется почти 
во всех сферах современной математики и смежных областях науки. 
Именно его абстрактность позволяет исследовать очень широкий круг вопросов, 
которые на первый взгляд никак не связаны между собой. Хотя основные 
принципы функционального анализа были сформулированы 
в XX веке, эта отрасль математики бурно развивается именно в наше время. 
Математики разных стран мира продолжают исследования актуальных 
проблем, которые принято относить к функциональному анализу.  

Понятно, что очень важно научить студентов применять уже извест-

ные принципы и методы функционального анализа при решении различных 
задач. Это первый шаг в подготовке будущих ученых и исследователей. 
К сожалению, количество аудиторных часов, отведенных на знакомство 
с функциональным анализом, постоянно уменьшается. Поэтому 
большое значение имеет самостоятельная работа студентов. Цель данного 
учебного пособия – ознакомить студентов с основными идеями и методами 
функционального анализа, научить их активно применять методы и принципы 
дисциплины, а также помочь студентам освоить методику решения 
классических типов задач.  

Разделы учебного пособия освещают основные вопросы теории ме-

ры, интеграла Лебега, метрических, нормированных, гильбертовых пространств, 
теории линейных операторов и линейных функционалов в нормированных 
пространствах. В каждом разделе приведены упражнения для 
практических занятий и самостоятельной работы студентов, примеры решения 
задач, которые предлагают в указанных упражнениях. 

 
 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

5 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

 
 
Понятие меры – одно из важнейших понятий математики. Мера 

множества является естественным обобщением длины отрезка, площади 
плоской фигуры, объема пространственного тела. 

В главе 1 приведены определения различных систем множеств 

(кольца, -кольца, -кольца, алгебры, -алгебры, полукольца), борелевской 
алгебры, меры на полукольце. Изложена теория лебегова продолжения меры 
в общем случае, а также в случае продолжения длины как функции 
множества с полуинтервалов числовой прямой на более широкий класс 
множеств. 

 
 

1.1. Основные понятия и теоремы 

 
Симметрической разностью A B

 множеств A и B  называется 

множество, определяемое равенством 

 





\
\
A B
A B
B
A



. 

 
Симметрическая разность множеств обладает следующими свой-

ствами: 

1) 

 

\
A B
A
B
A
B




; 

2) 


\
A B
A
A B



; 

3) 

 

A
B
A
B
A B





. 

Системой множеств называется множество, элементы которого са-

ми являются множествами. 

Пусть X  , 

X

 – множество всех подмножеств множества X . 

Непустая система подмножеств 


X
  
 называется кольцом, если 

для любых множеств 
,
A B  выполняются соотношения A
B 

, 

A B

  . 
Теорема 1.1. Система множеств   – кольцо тогда и только тогда, 

когда для любых ,
A B  выполнено A
B 

, A
B 

, 
\
A B . 

Кольцо множеств 


X
  
 называется алгеброй, если X  . 

Теорема 1.2. Для любой системы подмножеств 


X
  
 существу-

ет кольцо 

   такое, что любое кольцо, содержащее  , включает в себя 

также и 

  . 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

6 

Кольцо 


   называют наименьшим из колец, содержащих  , 

а также кольцом, порожденным системой подмножеств  . Кольцо   
носит название -кольца, если оно замкнуто относительно счетного пересечения 
множеств, т. е. если 
1
2
,
,
,
k
A A
A



, то 

 

1

k

k

A







. 

 

Кольцо множеств   называется -кольцом, если оно замкнуто относительно 
счетного объединения множеств, т. е. если для любой счетной совокупности 
множеств 
1
2
,
,
,
k
A A
A



 выполняется соотношение 

 

1

k

k

A







. 

 

Аналогично вводится понятие -алгебры: -алгеброй будем называть алгебру 
множеств, замкнутую относительно счетного объединения множеств. 

Непустая система множеств   называется полукольцом, если вы-

полняются два условия: 

1) для любых множеств 
,
A B  имеет место соотношение 

A
B 

; 

2) для любых множеств 
,
A B  таких, что A
B

, существует ко-

нечный набор попарно непересекающихся множеств 
1
2
,
,
n
A A
A 

, удо-

влетворяющих равенству 

 

1

\

n

k

k

B A
A




. 

 
Например, полукольцами будут 
а) система, состоящая из полуинтервалов вида 

,
R
a b 
 и  ;  

б) система, состоящая из полуинтервалов вида 



,
,
a b     и  , где 



,
R
  
 – фиксированный полуинтервал. 

Теорема 1.3. Кольцо 
(
)
  , порожденное полукольцом  , состоит 

из множеств, представляющих собой попарно непересекающиеся конечные 
объединения множеств, принадлежащих полукольцу  . 

Пусть X   . Топологией на множестве X  называется система τ 

подмножеств множества X  




X
  
, удовлетворяющая трем условиям 

(аксиомам топологии):  

1) если U    для любого  ( – произвольное множество ин-

дексов  ), то  

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

7 

U





; 

 
2) если 
1
U   и 
2
U , то 
1
2
U
U 

; 

3) X , . 
Множества, принадлежащие системе множеств τ, называются от-

крытыми множествами в топологии τ, а их дополнения – замкнутыми 
множествами. Множество X  с заданной на нем топологией (т. е. пара 
(
)
,
X  ) называется топологическим пространством. 

Пусть 

,
X   – топологическое пространство. Борелевской алгеброй 

на X  называется -алгебра, порожденная топологией τ. Элементы боре-
левской алгебры носят название борелевских множеств. 

Пусть X   , 


X
  
 – полукольцо. Мерой  на полукольце   

называется отображение 
:
   R , удовлетворяющее двум условиям (ак-

сиомы меры): 

1) если 

1

n

k

k

A
A







, 
1
2
,
,
,
n
A A
A



 – попарно непересекающиеся 

множества, то 

1

( )
(
)

n

k

k

A
A







 (аддитивность); 

 
2)  
0
A


 для любого A  (неотрицательность). 

Мера , заданная на полукольце  , называется счетно-аддитивной 

(-аддитивной), если при выполнении условия 

1

k

k

A
A









, где 

1
2
,
,
,
,
k
A A
A



 – попарно непересекающиеся множества, имеет место 

равенство 

1

( )
(
)
k

k

A
A









. Например, длина 
 
A
b
a



 полуинтервала 



,
A
a b

 – счетно-аддитивная мера на полукольце, состоящем из полуин-

тервалов вида 

,
R
a b 
 и   (считают, что 


,a a
 
, поэтому 

0
  
).  

Пусть m  – мера, заданная на полукольце  . Мера , заданная на 

полукольце , называется продолжением меры m , если выполнены два 
условия: 

1)    ; 
2)  
 
A
m A


 для любых A . 

Теорема 1.4. Пусть m  – мера на полукольце 


X
  
 и 


   – 

кольцо, порожденное полукольцом  . Тогда на кольце 

   существует 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

8 

единственная мера , являющаяся продолжением меры m. При этом если 
мера m счетно-аддитивна, то мера  также счетно-аддитивна. 

Пусть 


X
  
 – кольцо подмножеств множества X  и  – счетно-

аддитивная мера на этом кольце. Множество A
X

 будем называть мно-

жеством меры нуль, если для любого 
0
 
 существует конечная (счетная) 

система множеств 
k
A   такая, что 

 


k

k
A
A 
 и 


k

k

A

 

. 

 
Теорема 1.5. Множество A  есть множество меры нуль тогда 

и только тогда, когда  
0
A


. 

Если мера  задана как длина на полукольце, состоящем из полуин-

тервалов вида 

,
R
a b 
 и  , то множествами меры нуль будут, например, 

любое конечное множество, любое счетное множество. 

Пусть 


X
  
 – алгебра множеств, и на  задана счетно-

аддитивная мера m. Множества, принадлежащие алгебре , называют элементарными 
множествами. Внешняя мера множества A
X

 определяет-

ся формулой 

 


inf
k

k

A
m A




, 

 

где нижнюю грань вычисляют по всевозможным наборам множеств  

kA  , удовлетворяющих условию 
k

k

A
A

. Таким образом внешняя ме-

ра определена для всех множеств A
X

. Можно показать, что она являет-

ся продолжением меры m как функции множества. 

Множество A
X

 называется измеримым по Лебегу относительно 

меры m , если для него выполняется равенство 

 

 




\
A
X
A
m X



 

. 

 

Систему всех множеств, измеримых по Лебегу относительно меры m, обозначим 


,

L
m

. Мера Лебега  определяется на 


,
L
m

 равенством 

 
 
A
A


 
. 

Теорема 1.6. Если исходная мера m  счетно-аддитивна, то 

,
L
m

 –

-алгебра множеств, а мера Лебега есть счетно-аддитивное продолжение 
меры m  на 

,
L
m

. 

Мера  на кольце 


X
  
 называется полной, если из равенства 

 
0
A


 следует, что любое подмножество B
A

 принадлежит кольцу  

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

9 

и 
 
0
B


. Поскольку для множества меры нуль любое подмножество 

также есть множество меры нуль, то лебегово продолжение – полная мера. 
Изложенное построение лебегова продолжения меры  правомерно лишь 
при условии X , т. е. 

X

  . Однако даже в случае кольца, порож-

денного полукольцом, состоящем из   и полуинтервалов вида 

,
R
a b 
 

и длины в качестве меры, – это условие не выполнено. 

Мера , заданная на кольце 


X
  
, называется -конечной, если 

существует разбиение  

1

k

k

X
X






, 

 

где 
k
X   – попарно непересекающиеся множества, для которых 



k
X

  , 
1,2,
k 
 Например, -конечной мерой будет длина как мера 

на кольце, порожденном полукольцом, состоящем из полуинтервалов вида 


,
R
a b 
 и  , так как 


,
1

Z

R

k

k k






. 

Если мера m  -конечна, то для каждого из множеств 
k
X  строится 

лебегово продолжение меры m . В этом случае множество A
X

 называ-

ют измеримым, если A допускает представление 

 

1

k

k

A
A






, 

 

где 
k
k
A
A
X


 – измеримое множество в 
k
X , 
1,2,
k 
 Для измеримого 

множества A мера Лебега определяется равенством 

 

1

( )
(
)
k

k

A
A









. 

 

Если ряд сходится, то A называется множеством конечной меры; если ряд 
расходится, то A называют множеством бесконечной меры и пишут 

 
A

  . Несложно показать, что продолженная мера  и класс измери-

мых множеств не зависят от способа представления множества X  в виде 
объединения попарно непересекающихся множеств конечной меры. 

Описанный способ продолжения меры применим для продолжения 

длины как функции множества с полуинтервалов числовой прямой R на 
более широкий класс множеств. Пусть   – полукольцо, состоящее из полуинтервалов 



,

0,1
  
,  – алгебра подмножеств, порожденная полу-

кольцом  , мера m есть 




,
m
 
     – длина полуинтервала, а мера 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

10 

m – продолжение меры 
 на алгебру 
. Согласно теореме 1.3, алгебра  

состоит из множеств вида 

 




 

1

,

n A

k
k

k

A




 

, где 

1
1
,
 
,

2
2
,
 
,…,
 
 


,
0,1
n A
n A




, 




,
,
i
i
j
j

 
 
 


 при i
j

 

 

и пустого множества, при этом 

 

 



 

1

n A

k
k

k

m A




  

. 

 

Для произвольного множества 


0,1
A 
 внешняя мера определяется по 

формуле 

 


inf
k
k

k

A



  

, 

 

где нижнюю грань вычисляют по всем наборам полуинтервалов 

,
k
k
 
, 

удовлетворяющих условию 

 



,
k
k

k

A 
 

. 

 

Множество 


0,1
A 
 называется измеримым по Лебегу, если выполнено 

равенство 

 




0,1 \
1
A
A



 
 . 

 

В соответствии с теоремой 1.4 мера m счетно-аддитивна. Тогда в силу 
теоремы 1.6 измеримые по Лебегу множества образуют -алгебру. 

Мерой Лебега измеримого множества называется его внешняя мера. 

Таким образом, мерой Лебега  на отрезке называется лебегово продолжение 
длины. 

 
 

1.2. Примеры решения задач 

 
Пример 1.1. Выяснить, будет ли полукольцом, кольцом, -кольцом, 

-кольцом, алгеброй система, образованная всеми конечными подмножествами 
некоторого фиксированного множества X . 

Решение. Возможны два случая. 
1. X  конечно. В этом случае рассматриваемое семейство множеств 

совпадает с 

X

 и является -алгеброй, а следовательно, полукольцом, 

кольцом, -кольцом, -кольцом. 

m


1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ 

11 

2. X  бесконечно. Если 
A и B  – конечные множества, то 

A B
A
B



 конечно. Если множества 
kA  

1,2,
k 
  конечны, то конеч-

но и множество 
1
k

k

A
A


. В то же время множество 
k

k

A

 может и не 

быть конечным. Например, множество 
 

1

N

k

k







 бесконечно (
R
X 
). 

Таким образом, рассматриваемое семейство множеств – не алгебра, 

поскольку X  бесконечно, а значит, не -алгебра и не -алгебра. Это 
-кольцо (но не -кольцо), и следовательно, кольцо и полукольцо. 

Пример 1.2. Пусть 


, ,
X
a b c

. Построить, если это возможно, меру 

на кольце множеств 

X

 так, чтобы выполнялись следующие условия: 

 





,
1
a b

 , 




,
2
b c


, 




,
4
a c


. 

 
Решение. Для решения задачи достаточно найти меры одноточечных 

множеств (поскольку в данном случае все остальные множества можно 
представить в виде конечного объединения одноточечных множеств). Введем 
обозначения: 

 

 


a
a
  
, 
 


b
b
  
, 
 


c
c
  
. 

 

В силу аксиомы аддитивности меры заданные условия записываются как 

 

1,

2,

4.

a
b

b
c

a
c

   

   

   


 

 

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 

a
 ,
b
 ,
c
 , которая имеет единственное решение 

 

3 2,

1 2,

5 2.

a

b

c

 

  

 


 

 

Равенство 
1 2
b
  
 противоречит аксиоме неотрицательности меры. Зна-

чит, не существует меры, удовлетворяющей заданным условиям. 

Пример 1.3. Пусть  – мера Лебега на прямой R. Доказать, что за-

данные множества борелевские и найти их меру . 

 

1. 




\
0,1
R Q
A 

. 
2. 



2
:
R
Q
A
x
x



. 3. 


,
A
a

 , 


,
B
a b

.