Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:51+51(075.3)
ББК 22.1я721
      П43

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 949 от 19.11.2016 г.), 
педагогической (заключение РАО № 720 от 21.11.2016 г.) и 
общественной (заключение РКС № 433-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз.

Издание выходит в pdf-формате.

Погорелов, Алексей Васильевич.
Математика: алгебра и начала математического анализа, 
геометрия. Геометрия : 10—11-е классы : базовый и углублённый 
уровни : учебник : издание в pdf-формате /  А. В. Погорелов. — 
18-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 174, [2] с. : ил.
ISBN 978-5-09-101575-1 (электр. изд.). — Текст : электронный.

ISBN 978-5-09-089606-1 (печ. изд.).
Учебник написан в соответствии с требованиями ФГОС. Стиль изложения 
четкий и немногословный, что позволяет использовать этот 
учебник и как справочник при подготовке к ЕГЭ. Отдельный параграф 
посвящен вопросам планиметрии. В учебнике цветом выделены задачи 
повышенной трудности.

 
УДК 373.167.1:51+51(075.3)
 
ББК 22.1я721

ISBN 978-5-09-101575-1 (электр. изд.) 
© АО «Издательство «Просвещение», 2006, 2019
ISBN 978-5-09-089606-1 (печ. изд.) 
©  Художественное оформление. 
АО «Издательство «Просвещение», 2006, 2019 
Все права защищены

П43

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1.
Аксиомы стереометрии
Стереометрия — это раздел геометрии,
в котором изучаются фигуры в пространстве.
В стереометрии, так же как и в планиметрии,
свойства геометрических фигур устанавливаются
путем доказательства соответствующих теорем.
При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.
Плоскость мы представляем себе как
ровную поверхность крышки стола (рис. 1, а).
Изображать плоскость будем в виде параллелограмма или в виде произвольной области (рис. 1, б, в).
Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке
мы изображаем только часть плоскости, но представляем ее неограниченно продолженной во все
стороны. Плоскости обозначаются греческими буквами a, b, g, ... .
Введение нового геометрического образа — плоскости заставляет расширить систему аксиом. Поэтому мы вводим группу аксиом, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом:
Аксиома 

Аксиомы стереометрии
и их простейшие следствия
1
§

Рис. 1

Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

C1

3
Аксиомы стереометрии 
и их простейшие
следствия

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Аксиома 

Этой аксиомой утверждается, что если
две различные плоскости a и b имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка C
принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой c.
Аксиома 

Это значит, что если две различные прямые a и b
имеют общую точку C, то существует плоскость g,
содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая
этим свойством, единственна.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом I—IX планиметрии и
трех аксиом стереометрии. Напомним аксиомы
планиметрии:
I. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
III. Каждый отрезок имеет определенную длину,
большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
V. Каждый угол имеет определенную градусную
меру, большую нуля. Развернутый угол равен
180°. Градусная мера угла равна сумме градусных
мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
VI. На любой полупрямой от ее начальной точки
можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

4
10 класс

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей
через эту точку.

Если две различные прямые имеют общую точку,
то через них можно провести плоскость, и притом
только одну.

C2

C3

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

VII. От полупрямой на содержащей ее плоскости
в заданную полуплоскость можно отложить угол с
заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
VIII. Каков бы ни был треугольник, существует
равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости. 
IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более
одной прямой, параллельной данной.
Замечание. В планиметрии мы имели
одну плоскость, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с
этим формулировки некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требуют уточнения.
Это относится к аксиомам IV, VII, VIII, IX. 

2.
Существование плоскости, 
проходящей через данную
прямую и данную точку

Теорема

Доказательство. 
Пусть АВ — данная прямая и C — не
лежащая на ней точка (рис. 2). Проведем через
точки A и C прямую (аксиома I). Прямые AB и
AC различны, так как точка C не лежит на прямой AB. Проведем через прямые AB и AC плоскость a (аксиома C3). Она проходит через прямую
AB и точку C.
Докажем, что плоскость a, проходящая
через прямую AB и точку C, единственна. Допустим, существует другая плоскость a, проходящая
через прямую AB и точку C. По аксиоме C2 плоскости a и aпересекаются по прямой. Эта прямая
должна содержать точки A, B, C. Но они не лежат
на одной прямой. Мы пришли к противоречию.
Теорема доказана.

5
Аксиомы стереометрии 
и их простейшие
следствия

Через прямую и не лежащую на ней точку можно
провести плоскость, и притом только одну.

1.1

Рис. 2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Задача (7)1.
Докажите, что через прямую можно
провести две различные плоскости.
Решение. 
Пусть a — данная прямая (рис. 3). По
аксиоме I существует точка A, не лежащая на прямой a. По теореме 1.1 через прямую a и точку A
можно провести плоскость, обозначим ее a1. По аксиоме C1 существует точка B, не лежащая в плоскости a1. Проведем через прямую a и точку B
плоскость a2. Плоскости a1 и a2 различны, так как
точка B плоскости a2 не лежит на плоскости a1.

3.
Пересечение прямой
с плоскостью

Теорема

Доказательство. 
Пусть a — данная прямая и a1 — данная плоскость (рис. 4). По аксиоме I существует
точка A, не лежащая на прямой a. Проведем через прямую a и точку A плоскость a2. Если плоскость a2 совпадает с плоскостью a1, то плоскость
a1 содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость a2 отлична от плоскости a1,
то эти плоскости пересекаются по прямой a, со6
10 класс

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то
вся прямая принадлежит этой плоскости.

1.2

Рис. 4
Рис. 5

Рис. 3

1 Число в скобках указывает номер задачи в списке задач, приведенных в конце параграфа.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Аксиомы стереометрии 
и их простейшие
следствия

Рис. 7

держащей две точки прямой a. По аксиоме I прямая aсовпадает с a, и, следовательно, прямая a
лежит в плоскости a1. Теорема доказана.
Из теоремы 1.2 следует, что

плоскость и не лежащая на ней прямая либо не
пересекаются, либо пересекаются в одной точке
(рис. 5).

Задача (9). 
Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке A. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие
через точку A, лежат в одной плоскости.
Решение. 
Проведем через данные прямые a и b
плоскость a (рис. 6). Это можно сделать по аксиоме C3. Прямая c, пересекающая данные прямые,
имеет с плоскостью a две общие точки M и N (точки пересечения с данными прямыми). По теореме
1.2 эта прямая должна лежать в плоскости a.

4.
Существование плоскости, 
проходящей через три
данные точки

Теорема

Доказательство. 
Пусть A, B, C — три данные точки, не
лежащие на одной прямой (рис. 7). Проведем прямые AB и AC; они различны, так как точки A, B,
C не лежат на одной прямой. По аксиоме C3 через
прямые AB и AC можно провести плоскость a. Эта
плоскость содержит точки A, B, C. Докажем, что
плоскость a, проходящая через точки A, B, C,
единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки A, B, C, по теореме 1.2 содержит
прямые AB и AC. А по аксиоме C3 такая плоскость
единственна.

Рис. 6

Через три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести плоскость, и притом только одну.

1.3

7

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Задача (13). 
Можно ли провести плоскость через три
точки, если эти точки лежат на одной прямой? 
Объясните ответ.
Решение. 
Пусть A, B, C — три точки, лежащие на
прямой a. Возьмем точку D, не лежащую на прямой a (аксиома I). Через точки A, B, D можно провести плоскость (теорема 1.3). Эта плоскость содержит две точки прямой a — точки A и B, а значит,
содержит и точку C этой прямой (теорема 1.2).
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.

5.
Замечание к аксиоме I

Аксиома I в списке аксиом стереометрии приобретает новый смысл по сравнению с тем,
который она имела в планиметрии. В планиметрии
эта аксиома утверждает существование точек вне
данной прямой на плоскости, в которой лежит
прямая. Именно в таком смысле эта аксиома
применялась нами при построении геометрии на
плоскости.
Теперь эта аксиома утверждает вообще
существование точек, не лежащих на данной прямой. Из нее непосредственно не следует, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в
которой лежит прямая. Это требует специального
доказательства.
Дадим такое доказательство.
Пусть a1 — плоскость и a — прямая в
этой плоскости (рис. 8). Докажем существование
точек в плоскости a1, не лежащих на прямой a.
Отметим точку A на прямой a и точку
Aвне плоскости a1. Проведем плоскость a2 через
прямую a и точку A. Возьмем точку B вне плоскости a2 и проведем через прямую AAи точку B
плоскость b. Плоскости a1 и b пересекаются по
прямой b, проходящей через точку A и отличной
от прямой a.
Точки этой прямой, отличные от точки
A, лежат в плоскости a1 вне прямой a, что и требовалось доказать.

8
10 класс

Рис. 8

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

6.
Разбиение пространства
плоскостью на два
полупространства

Теорема 

Доказательство (не для запоминания). 
Пусть a1 — данная плоскость. Отметим
точку A, не лежащую в плоскости a1. Такая точка
существует по аксиоме C1. Разобьем все точки пространства, не лежащие в плоскости a1, на два полупространства следующим образом. Точку X отнесем к первому полупространству, если отрезок AX
не пересекает плоскость a1, и ко второму полупространству, если отрезок AX пересекает плоскость
a1. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме.
Пусть точки X и Y принадлежат первому полупространству. Проведем через точки A, X
и Y плоскость a2. Если плоскость a2 не пересекает
плоскость a1, то отрезок XY тоже не пересекает эту
плоскость. Допустим, что плоскость a2 пересекает
плоскость a1 (рис. 9). Так как плоскости различны, то их пересечение происходит по некоторой
прямой a. Прямая a разбивает плоскость a2 на две
полуплоскости. Точки X и Y принадлежат одной
полуплоскости, именно той, в которой лежит точка A. Поэтому отрезок XY не пересекает прямую
a, а значит, и плоскость a1.
Если точки X и Y принадлежат второму полупространству, то плоскость a2 заведомо
пересекает плоскость a1, так как отрезок AX пересекает плоскость a1. Точки X и Y принадлежат
одной полуплоскости разбиения плоскости a2 прямой a. Следовательно, отрезок XY не пересекает
прямую a, а значит, и плоскость a1.

9
Аксиомы стереометрии 
и их простейшие
следствия

Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY
пересекает плоскость.

1.4

Рис. 9

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Если, наконец, точка X принадлежит
одному полупространству, а точка Y — другому,
то плоскость a2 пересекает плоскость a1, а точки
X и Y лежат в разных полуплоскостях плоскости
a2 относительно прямой a. Поэтому отрезок XY
пересекает прямую a, а значит, и плоскость a1.
Теорема доказана.

Контрольные вопросы

1.
Что такое стереометрия?
2.
Назовите основные фигуры в пространстве.
3.
Сформулируйте три аксиомы стереометрии.
4.
Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
5.
Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости.
6.
Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Задачи
Пункт 1
1.
Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.
2.
Можно ли через точку пересечения двух данных прямых
провести третью прямую, не лежащую с ними в одной
плоскости? Объясните ответ.
3.
Точки A, B, C лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
4.
Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости.
Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через
точку их пересечения (рис. 10).
5.
Даны две плоскости, пересекающиеся
по прямой a, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые a
и b пересекаются.
Пункт 2
6.
Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какиенибудь три из них
лежать на одной прямой? Объясните ответ.
7.
Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.

10
10 класс

Рис. 10

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.