Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (базовый и углубленный уровни)
Покупка
ФПУ
Тематика:
Алгебра
Издательство:
Просвещение
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 432
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-09-101573-7
Артикул: 816005.01.99
Учебник позволяет изучать материал курса алгебры и начал математического анализа на базовом уровне, рассчитанном на 3 часа в неделю, а также на углублённом уровне в двух вариантах, рассчитанных на 4 и на 5 часов в неделю. Учебник нацелен на подготовку учащихся к обучению в вузах.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
УДК 373.167.1:512+512(075.3) ББК 22.14я721 М34 Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году А в т о р ы: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин На учебник получены положительные заключения научной (заключение РАО № 474 от 14.11.2016 г.), педагогической (заключение РАО № 163 от 05.10.2016 г.) и общественной (заключение РКС № 157-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз Издание выходит в pdf-формате. Условные обозначения: 1.1 — пункт для базового уровня — начало материала, необязательного для базового уровня — окончание материала, необязательного для базового уровня 1.3* — пункт для углублённого уровня — факты, свойства, определения, формулы, которые нужно помнить 5.1Ë — задания для устной работы 1.2 — задания для базового уровня 3.7* — задания для базового уровня повышенной трудности 6.8 — задания для углублённого уровня 1.28* — задания для углублённого уровня повышенной трудности 123 — задания для повторения Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : базовый и углублённый уровни : учебник : издание в pdf-формате / C. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. — 10-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 431, [1] с. : ил. — (МГУ — школе). ISBN 978-5-09-101573-7 (электр. изд.). — Текст : электронный. ISBN 978-5-09-087768-8 (печ. изд.). Учебник позволяет изучать материал курса алгебры и начал математического анализа на базовом уровне, рассчитанном на 3 часа в неделю, а так- же на углублённом уровне в двух вариантах, рассчитанных на 4 и на 5 ча- сов в неделю. Учебник нацелен на подготовку учащихся к обучению в вузах. УДК 373.167.1:512+512(075.3) ББК 22.14я721 ISBN 978-5-09-101573-7 (электр. изд.) © Издательство «Просвещение», 2014, 2019 ISBN 978-5-09-087768-8 (печ. изд.) © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2014, 2019 Все права защищены М34 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики хотя бы только отрицательные и дробные степени, — и он увидит, что без них далеко не уедешь. Ф. Энгельс С точки зрения вычислительной практики изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов — нашей десятичной системой нумерации. Я. В. Успенский § 1. Действительные числа 1.1. Понятие действительного числа Первые числа, с которыми вы познакомились в школе, — это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Множество натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма и произведение любых двух натуральных чисел являются натуральными числами, а разность и частное необязательно являются натуральными числами. Затем вы изучали целые числа. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа «нуль»: ... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... . Сумма, разность и произведение любых двух целых чисел являются целыми числами, а частное не всегда целое число. Вопросы, связанные с делимостью целых чисел, рассмотрены в пп. 1.8—1.10. Наконец, вы узнали, что есть рациональные числа. Число называют рациональным, если его можно записать в виде дроби p q , где р — целое число, a q — натуральное. Сумма, разность, произведение и частное любых двух рациональных чисел являются рациональными числами (на нуль делить нельзя!). Каждое рациональное число может быть разложено в бесконечную десятичную периодическую дробь (для нахождения этого разложения можно разделить уголком числитель дроби р на её знаменатель q). Верно и обратное: каждая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа. Таким образом, рациональные числа имеют два представления (две формы записи) — одно в виде дроби p q, а другое в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Действительные числа З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Наряду с бесконечными десятичными периодическими дробями существуют и бесконечные десятичные непериодические дроби, которые называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа составляют множество всех действительных чисел. Таким образом, действительное число — это число, которое можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если число рациональное, то дробь периодическая; если число иррациональное, то дробь непериодическая. Итак, каждое положительное действительное число можно записать в виде α0,α1α2...αn..., а каждое отрицательное число — в виде −α0,α1α2...αn... . При этом неотрицательное число α0 или хотя бы одна из цифр α1, α2, ..., αn, ... отличны от нуля. Число «нуль» можно записать в виде 0 = 0,000... = +0,000... = −0,000... . Вообще, каждое действительное число а имеет только одно десятичное разложение, если бесконечные десятичные дроби с периодом 9 не рассматривать. Формально конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби двумя способами, например: 2,4 = 2,4000... = 2,4(0), 2,4 = 2,3999... = 2,3(9). Однако принято бесконечные десятичные дроби с периодом 9 не рассматривать, что позволяет, в частности, правильно сравнивать периодические десятичные дроби. Бесконечные десятичные дроби сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Правила сложения, вычитания, умножения и деления бесконечных десятичных дробей сложнее соответствующих правил для конечных десятичных дробей. Эти правила требуют применения бесконечных процессов и представляют лишь теоретический интерес. Поэтому здесь они не приводятся. Достаточно знать, что сумма, разность, произведение и частное любых двух действительных чисел есть действительное число, и притом единственное (на нуль делить нельзя!). На практике арифметические действия с бесконечными десятичными дробями (т. е. с действительными числами) выполняют приближённо, точно так же как выполняют приближённо арифметические действия с конечными десятичными дробями. С бесконечными десятичными дробями тесно связано измерение отрезков. Если задан отрезок, длина которого принята за единицу, то длина а любого отрезка АВ выражается бесконечной десятичной дробью: a = α0,α1α2...αn... . 4 4 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Это означает, что: α0 — приближённая длина отрезка АВ с точностью до 1 с недостатком; α0,α1 — приближённая длина отрезка АВ с точностью до 0,1 с недостатком; α0,α1α2 — приближённая длина отрезка АВ с точностью до 0,01 с недостатком и т. д. Произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному числу — положительной десятичной дроби; обратно, если дано любое положительное число, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу. Действительные числа отождествляют с точками координатной оси. Напомним, как это делается. Зададим прямую, на которой выбрано направление, называемое положительным, и взята точка О, называемая начальной точкой координатной оси. Зададим ещё отрезок, длину которого примем за единицу, — единичный отрезок (рис. 1). Прямую, на которой выбраны начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью. На рисунке 1 координатная ось нарисована горизонтально, с положительным направлением, идущим вправо от точки О. Но вообще говоря, координатная ось может быть расположена вертикально или произвольно и положительное направление на ней можно выбрать так, как это удобно в каждом случае. Начальная точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительным, другой — отрицательным. Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу. Начальной точке О поставим в соответствие число «нуль» (х = 0); точке А, находящейся на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА (х = ОА), точке В, находящейся на отрицательном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «−» (х = −ОВ). Например, на рисунке 2 точки А, О и В имеют координаты 3, 0 и −2 соответственно. Пишут: A (3), O (0), B (−2). Определённую таким образом координатную ось называют координатной осью х или, коротко, осью х. Пишут также: ось Ох. Число х, соответствующее произвольной точке оси х согласно указанному правилу, называют координатой этой точки. Для краткости точку, имеющую координату х, называют точкой х. Буква х может быть заменена другой буквой, например буквами у, z, t, ..., и тогда говорят об оси у, оси z, оси t и т. д. 4 5 Действительные числа 5 Рис. 1 5 Рис. 2 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Согласно указанному правилу верны утверждения: 1. Каждой точке оси х соответствует действительное число — координата этой точки. 2. Две различные точки А и В оси х имеют различные координаты x1 и х2. 3. Каждое действительное число есть координата некоторой точки оси x. Иначе говоря, установлено взаимно-однозначное соответствие между точками оси Ох и действительными числами. Замечание. Отметим, что точки, имеющие рациональные координаты, не заполняют полностью координатную ось — без иррациональных точек ось «дырявая». Если же рассматривать все точки, имеющие и рациональные, и иррациональные координаты, то координатная ось перестанет быть «дырявой» — каждой её точке соответствует действительное число. Модуль, или абсолютную величину действительного числа a, обозначают | а |; по определению | | , , . a a a a a = ≥ − < ⎧⎨⎩ если если 0 0 На координатной оси | а | есть расстояние от точки a до начала координат (рис. 3). Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат — ось х и ось у с равными единичными отрезками и пересекающиеся в точке О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Её называют ещё декартовой системой координат по имени французского математика и философа Р. Декарта (1596—1650), введшего в математику это важное понятие. Ось х называют осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью. Обычно ось абсцисс изображают в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат — в виде вертикальной прямой, направленной вверх. Пусть А есть произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку А прямые, перпендикулярные осям координат ( рис. 4). Получим на оси х точку А1, а на оси у точку А2. Эти точки называют проекциями точки А на оси координат. Абсциссой точки А называют координату х точки A1 — проекции точки А на ось х. Ординатой точки А называют координату у точки А2 — про- 4 6 5 Рис. 3 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
екции точки А на ось у. Абсциссу х и ординату у точки А называют координатами точки А. Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: А (х; у), причём на первом месте пишут абсциссу, а на втором — ординату. Например, точка А, изображённая на рисунке 5, имеет абсциссу х = 4 и ординату у = 3, поэтому пишут А (4; 3). Отметим, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х; у) — пара координат точки А, и в то же время произвольную пару чисел ( х; у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости. Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, поменяв эти числа местами, получим другую пару, определяющую другую точку плоскости. Поэтому часто пару координат (x; у) точки А называют упорядоченной парой чисел. Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то: 1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки); 2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел; 3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой точке плоскости. 1.1° Какие числа называют: а) натуральными; б) целыми; в) рациональными; г) иррациональными; д) действительными? 1.2 Может ли: а) разность отрицательных чисел быть положительным числом; б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом; в) произведение иррациональных чисел быть рациональным числом? 4 7 Действительные числа 5 Рис. 5 5 Рис. 4 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
1.3° В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, а в каком случае нельзя? 1.4 Представьте каждую обыкновенную дробь в виде периодической дроби: а) 1 2; 3 4; 1 8; 1 5; 3 25; 1 125; б) 1 3; 2 3; 1 9; 2 9; 5 9; 7 9; 1 7. 1.5* Представьте каждую периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0,(3); 0,(1); 0,(5); 0,(7); б) 0,(13); 0,(27); 0,(45); 0,(54); в) 0,(128); 0,(123); 0,(945); 0,(138); г) 0,0(3); 0,0(72); 0,00(13); 0,0(549); д) 2,(8); 3,(14); 7,(12); 3,0(27); е) 0,12(0); 3,37(0); 0,005(0). 1.6° Как сравнивают действительные числа: а) с помощью координатной прямой; б) по их десятичной записи? 1.7 Сравните числа: a) 1 3 и 0,3; б) 1 3 и 0,(3); в) 0,3 и 0,(3); г) 0,5 и 1 2; д) 1 3 и 0,5; е) 0,5 и 0,(5); ж) − 1 5 и −0,2; з) − 1 5 и −0,(2); и) −0,2 и −0,(2); к) −0,45 и −0,(45); л) −0,45 и − 5 11; м) − 5 11 и −0,(46). 1.8 Расположите в порядке возрастания числа: а) π; 3,(14); 3 1 7; 3,141; б) −5,6789101112...; −5 2 3; −5 8 9; −5,(7); −5,9. 1.9° Верно ли, что каждой точке координатной оси соответствует действительное число и каждому действительному числу соответствует точка координатной оси? 1.10° Верно ли, что любой упорядоченной паре действительных чисел (х; y) соответствует единственная точка координатной плоскости и каждой точке координатной плоскости соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел (x; y)? 4 8 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
1.11 Укажите на координатной оси числа a и −a, если: a) a = 3; б) а = −4. 1.12 Вычислите расстояние между точками А (a) и В (b) координатной оси, если: a) a = 5, b = −1; б) a = −7, b = 8; в) a = −13,5, b = −11; г) a = −55, b = −10. 1.13° а) В каком случае говорят, что задана прямоугольная система координат? б) Как называют оси Ох и Оу? в) Что такое абсцисса точки; ордината точки? 1.14 Вычислите расстояние между точками А (х1; у1) и B (х2; у2) координатной плоскости, если: а) х1 = 2, у1 = 7; х2 = −1, у2 = 3; б) х1 = −3, y1 = −7, х2 = 2, у2 = 5. 1.15 Найдите все числа х, для каждого из которых верно равенство: а) | | x = 3; б) | | x = 5; в) | | x − = 3 2; г) | | x + = 3 5; д) | | 2 3 4 x − = ; е) | | 3 4 2 x + = . Укажите их на координатной оси. 1.16 Решите уравнение: а) | | x = 10; б) | | x = 9; в) | | 2 3 x = ; г) | | 3 7 x = ; д) | | x − = 5 12; е) | | x + = 2 7; ж) | | 2 5 7 x − = ; з) | | 3 5 8 x + = ; и) | | 5 8 0 x − = . 1.17* Решите уравнение: а) || | | x − = 2 10; б) || | | x − = 9 7. 1.18* а) Докажите, что расстояние между точками А (х1) и В (х2) вычисляется по формуле AB x x = − | | 1 2 . б) Докажите, что расстояние между точками А (x1; у1) и В (x2; у2) вычисляется по формуле AB x x y y = − + − ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 . в) Докажите, что координата точки С (x) — середины отрезка АВ, где А (x1) и В (x2), вычисляется по формуле x x x = + 1 2 2 . г) Докажите, что координаты точки С (x; у) — середины отрезка АВ, где А (x1; у1) и В (x2; y2), вычисляются по формулам x x x = + 1 2 2 ; y y y = + 1 2 2 . 4 9 Действительные числа З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .