Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень
Покупка
ФПУ
Тематика:
Геометрия. Тригонометрия
Издательство:
Просвещение
Под ред.:
Подольский Владимир Евгеньевич
Год издания: 2023
Кол-во страниц: 272
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-09-103609-1
Артикул: 815866.01.99
Учебник предназначен для углублённого изучения геометрии в 10 классе общеобразовательных организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к геометрии.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования.
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
УДК 373.167.1:514+514(075.3) ББК 22.151я721.6 М52 © Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М., 2017 © Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М., 2020, с изменениями © АО «Издательство «Просвещение», 2021 © Художественное оформление. АО «Издательство «Просвещение», 2021 Все права защищены ISBN 978-5-09-101588-1 (электр. изд.) ISBN 978-5-09-088168-5 (печ. изд.) Мерзляк, Аркадий Григорьевич. Математика. Геометрия : 10-й класс : углублённый уровень : учебник : издание в pdf-формате / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номиров- ский, В. М. Поляков ; под ред. В. Е. Подольского. — 6-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 272 с. : ил. ISBN 978-5-09-101588-1 (электр. изд.). — Текст : электронный. ISBN 978-5-09-088168-5 (печ. изд.). Учебник предназначен для углублённого изучения геометрии в 10 классе общеобразовательных организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к геометрии. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования. УДК 373.167.1:514+514(075.3) ББК 22.151я721.6 М52 Учебное издание Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич Поляков Виталий Михайлович Математика Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень Учебник Центр математики Ответственный за выпуск Н. Н. Сорокина Редактор И. В. Савельева. Внешнее оформление К. С. Стеблева Художники К. С. Стеблев, Ю. А. Белобородова. Фотографии: «Фотобанк Лори», ООО «ТРИ КВАДРАТА», В. А. Андрианов, Э. М. Сайфульмулюков, А. В. Гудков Художественные редакторы Н. А. Морозова, Т. В. Студеникина Компьютерная вёрстка О. В. Поповой Технический редактор Л. В. Коновалова. Корректор Е. Е. Никулина Подписано в печать 12.08.2021. Фор мат 70×90/16. Гарнитура SchoolBook Усл. печ. л. 19,89. Тираж экз. Заказ № . Акционерное общество «Издательство «Просвещение». Российская Федерация, 127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3, этаж 4, помещение I. Адрес электронной почты «Горячей линии» — vopros@prosv.ru. Издание выходит в pdf-формате. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
От авторов Дорогие друзья! В 9 классе вы завершили изучение курса планиметрии — раздела геометрии, рассматривающего плоские фигуры и их свойства. Однако большинство окружающих нас объектов — созданных как человеком (рис. 1), так и самой природой (рис. 2) — не являются плоскими. Раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве и их свойства, называют стереометрией. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — «объёмный», «пространственный» и «метрео» — «измерять». Царь-колокол (Кремль, Москва) Собор Покрова Пресвятой Богородицы, что на Рву (Собор Василия Блаженного) Старинный город инков Мачу Пикчу (Перу) 1 Сталактиты и сталагмиты Отложения серы вокруг фумаролы Кристаллы Планета Земля 2 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Вы приступаете к изучению стереометрии. Знать стереометрию чрезвычайно важно. Без пространственного воображения и глубоких геометрических знаний невозможно стать хорошим инженером, модельером, строителем, архитектором, специалистом в области компьютерной графики и т. д. И это понятно, ведь стереометрия исследует математические модели тех материальных объектов, с которыми ежедневно имеют дело люди. Вообще, стереометрия является одним из основных инструментов познания окружающего мира. Кроме того, стереометрия — красивый и интересный школьный предмет, развивающий логическое и абстрактное мышление, пространственное воображение, внимание и аккуратность. Мы надеемся, что вы в этом скоро убедитесь, и поможет вам учебник, который держите в руках. Ознакомьтесь с его структурой. Учебник разделён на четыре главы, каждая из которых состоит из параграфов. В них изложен теоретический материал; самые важные сведения выделены жирным шрифтом и курсивом. Как правило, изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформления решения. К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, к которым мы советуем приступать только после изучения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, так и трудные задачи. Если после выполнения домашних заданий остаётся свободное время, и вы хотите узнать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда сделаны уроки». Материал, изложенный в ней, не простой. Но тем интереснее испытать свои силы! Дерзайте! Желаем успеха! З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Условные обозначения Простые задачи Задачи среднего уровня сложности Сложные задачи Задачи высокой сложности Ключевые задачи, результат которых можно использовать при решении других задач Окончание доказательства теоремы Окончание решения задачи Задачи, которые можно решать с помощью компьютера 1.7. Задания, рекомендуемые для устной работы 1.11. Задания, рекомендуемые для домашней работы З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Введение в стереометрию В этой главе вы ознакомитесь с основными понятиями стереометрии, аксиомами стереометрии и основными следствиями из них. Получите первоначальные представления о многогранниках. 1 Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии Изучая математику, вы со многими понятиями знакомились с помощью определений. Так, из курса планиметрии вам хорошо известны определения четырёхугольника, трапеции, окружности и т. п. Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых вам уже известно. Например, рассмотрим определение трапеции: «Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны». Видим, что определение трапеции основано на таких уже введённых понятиях, как четырёхугольник, сторона четырёхугольника, параллельные и непараллельные стороны и т. д. Итак, определения вводятся по принципу «новое основано на старом». Тогда ясно, что должны существовать первоначальные понятия, которым определений не дают. Их называют основными понятиями (рис. 1.1). В изученном вами курсе планиметрии определения не давали таким фигурам, как точка и прямая. В стереометрии, помимо них, к основным понятиям отнесём ещё одну фигуру — плоскость. Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоёма в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях. Используя понятие плоскости, можно считать, что в планиметрии мы рассматривали только одну плоскость, и все изучаемые фигуры принадлежали этой плоскости. В стереометрии же рассматривают бесконечно много плоскостей, расположенных в пространстве. 1 Основные понятия Уже введённые понятия Новое понятие 1.1 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Как правило, плоскости обозначают строчными греческими буквами , , , ... .
На рисунках плоскости изображают в виде параллелограмма (
рис. 1.2) или в виде других ограниченных частей плоскости (рис. 1.3).
Плоскость, так же как и прямая, состоит из точек, т. е. плоскость —
это множество точек.
Существует несколько случаев взаимного расположения точек, прямых
и плоскостей в пространстве. Приведём примеры.
На рисунке 1.4 изображена точка A, принадлежащая плоскости .
Также говорят, что точка A лежит в плоскости
, или что плоскость
проходит через точку A. Коротко это можно записать так: A
. Приведённая
запись означает, что точка А является элементом множества точек,
представляющих собой плоскость .
На рисунке 1.5 изображена точка B, не принадлежащая плоскости
. Коротко это можно записать так: B .
На рисунке 1.6 изображена прямая a, принадлежащая плоскости .
Также говорят, что прямая a лежит в плоскости
или что плоскость
проходит через прямую a. Коротко это можно записать так: a . Приведённая
запись означает, что множество точек прямой a является подмножеством
множества точек, представляющих собой плоскость .
Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят,
что прямая пересекает плоскость.
На рисунке 1.7 изображена прямая a, пересекающая плоскость в
точке A. Пишут1: a
A
∩ α =
.
1 Если формально строго воспользоваться символикой теории множеств, то следовало
бы писать a
A
∩ α = { }. Однако в геометрии принята приведённая в тексте запись,
без фигурных скобок.
α
β
α
A
1.2
1.3
1.4
β
B
α
a
α
a
A
1.5
1.6
1.7
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »
.
В дальнейшем, говоря «две точки», «три прямые», «две плоскости» и т. п., будем иметь в виду, что это разные точки, разные прямые и разные плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то говорят, что эти плоскости пересекаются. На рисунке 1.8 изображены пересекающиеся плос кости и . Они пересекаются по прямой a. Пишут: α β ∩ = a. На начальном этапе изучения стереометрии невозможно доказывать теоремы, опираясь на другие утверждения, поскольку этих утверждений ещё нет. Поэтому первые свойства, касающиеся точек, прямых и плоскостей в пространстве, принимают без доказательства. Как вы знаете из курса планиметрии, такого рода утверждения называют аксиомами. Отметим, что ряд аксиом стереометрии по формулировкам дословно совпадают со знакомыми вам аксиомами планиметрии. Например: • какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей; • через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Мы не будем знакомиться со строгим аксиоматическим построением стереометрии1. Рассмотрим лишь некоторые утверждения, выражающие основные свойства плоскостей пространства, опираясь на которые обычно строят курс стереометрии в школе. Аксиома А1 Для любой плоскости пространства существует точка, ей не принадлежащая. Из этой аксиомы следует, что плоскость не заполняет всё пространство. Другими словами, в стереометрии, в отличие от планиметрии, не все фигуры лежат в одной плоскости. Аксиома А2 В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. 1 Более подробно об аксиоматическом методе вы можете прочитать в рассказе на с. 32—35. α β a 1.8 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Если в любой плоскости пространства выполняются аксиомы планиметрии, то выполняются и следствия из этих аксиом, т. е. теоремы планиметрии. Поэтому в стереометрии можно пользоваться всеми известными нам свойствами плоских фигур. Аксиома А3 Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. Рисунки 1.9—1.11 иллюстрируют эту аксиому. Из этой аксиомы следует, что три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, определяют единственную плоскость, проходящую через эти точки. Поэтому для обозначения плоскости можно указать какие- нибудь три её точки, не лежащие на одной прямой. Например, на рисунке 1.12 изображена плоскость ABC и принадлежащая ей прямая MN. Можно записать, что M ABC и MN ABC. Аксиома А4 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Например, на рисунке 1.13 точки A, B, C лежат в плоскости ABC. Тогда можно записать: AB ABC, BC ABC. 1.9 1.10 1.11 M B N C A B C A 1.12 1.13 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Из этой аксиомы следует, что если прямая не принадлежит плоскости, то она имеет с этой плоскостью не более одной общей точки. Утверждение, сформулированное в аксиоме А4, часто используют на практике, когда хотят проверить, является ли данная поверхность ровной (плоской). Для этого к поверхности в разных местах прикладывают ровную рейку и проверяют, есть ли зазор между рейкой и поверхностью (рис. 1.14). Аксиома А5 Если две плоскости имеют общую точку (пересекаются), то они пересекаются по прямой. Эту аксиому можно проиллюстрировать с помощью согнутого листа бумаги или с помощью вашего учебника (рис. 1.15). Аксиома А6 Расстояние между любыми двумя точками пространства одинаково для любой плоскости, проходящей через эти точки. Смысл этой аксиомы состоит в том, что расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, проходящей через эти точки, оно измерено. 1.14 α β a A 1.15 1.16 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .