Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы (базовый и углубленный уровни)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721
 
М34

Авторы: Ш.  А.  Алимов, Ю.  М.  Колягин, М.  В.  Ткачёва,
Н.  Е.  Фёдорова, М.  И.  Шабунин

На учебник получены положительные заключения  
научной (заключение РАО №  478 от 14.11.2016 г.),  
педагогической (заключение РАО №  167 от 09.11.2016 г.) и  
общественной (заключение РКС №  161-ОЭ от 22.12.2016 г.)  
экспертиз.

Условные обозначения

выделение основного материала

текст, который важно знать и полезно помнить

решение задачи
обоснование утверждения или вывод формулы

обязательные задачи

дополнительные задачи

трудные задачи

дополнительный более сложный материал

Математика: алгебра и начала математического анализа,  
геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 
10—11 классы : ба зовый и углублённый уровни : учебник / 
Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва 
[и др.]. — 11-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2023. — 
463, [1] с. : ил. 
ISBN 978-5-09-107210-5.
В данном учебнике завершается развитие основных идей курса 
алгебры 7—9 классов авторов Ю. М. Колягина и др. Элементарные 
функции изучаются в 10 классе классическими элементарными ме- 
тодами без привлечения производной; числовая линия и линия преобразований 
развиваются параллельно с функциональной; начала 
математического анализа рассматриваются в 11 классе. Система 
упражнений представлена на трёх уровнях сложности. Задачи повышенной 
трудности в конце учебника содержат богатый материал для 
подготовки в вузы с повышенными требованиями по математике.

УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721

ISBN 978-5-09-107210-5 
© АО «Издательство «Просвещение», 2014, 2017
 
© Художественное оформление.
 
 
АО «Издательство «Просвещение», 2014, 2019
 
 
Все права защищены

*

М34

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Изучение математики начинается со знакомства
с натуральными числами, т. е. с числами 1, 2,
3, 4, 5, ... . При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа.
Однако разность и частное натуральных чисел могут не быть натуральными числами.
Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (т. е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел
расширяется до множества целых чисел, т. е. чисел 0, ±1, ±2, ±3, ... . При сложении, вычитании
и умножении целых чисел всегда получаются целые числа. Однако частное двух целых чисел может не быть целым числом.

Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида m
n ,

где т — целое число, п — натуральное число, позволило находить частное любых двух целых чисел
при условии, что делитель не равен нулю. Каждое
целое число т также является рациональным, так
как его можно представить в виде m
1 .

При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными
числами всегда получаются рациональные числа.

3

I
глава
Действительные числа

Холодные числа, внешне сухие формулы
математики полны внутренней красоты
и жара сконцентрированной в них мысли.
А. Д. Александров

Целые и рациональные
числа

1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Если
рациональное
число
можно
представить

в виде дроби
m
k
10
, где т — целое число, k — натуральное число, то его можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например, число 327
100 можно

записать так: 3,27; число − 23
10 можно записать так:

−2,3; число 2
5

2
2

5
2
=
⋅

⋅
можно записать так: 4
10 или 0,4.

Существуют рациональные числа, которые нельзя
записать в виде конечной десятичной дроби, например 1
3, − 2
9, 3
7 . Если, например, попытаться записать число 1
3 в виде десятичной дроби, используя

алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь 0,3333..., которую называют
периодической, повторяющуюся цифру 3 — её периодом. Периодическую дробь 0,333... коротко записывают так: 0,(3); читается: «Нуль целых и три
в периоде».

Вообще, периодическая дробь — это бесконечная
десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же
цифра или группа цифр — период дроби.

Например, десятичная дробь

23,14565656... = 23,14(56)

периодическая с периодом 56; читается «23 целых,
14 сотых и 56 в периоде».

Записать число 27
11 в виде бесконечной десятичной

дроби.

* Воспользуемся алгоритмом деления уголком:

− 27
11

22
2,4545...

− 50
44

− 60
55

− 50
44

6...

4

Задача 1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно,
27
11 = 2,4545... = 2,(45).

Вообще, при делении целого числа т на натуральное число п на некотором шаге остаток может стать
равным нулю или остатки начинают повторяться,
так как каждый из остатков меньше п. Тогда начинают повторяться и цифры частного.
В первом случае в результате деления получается
целое число или конечная десятичная дробь, во
втором случае — бесконечная десятичная периодическая дробь. Например:

360
15
24
=
, 15
4
3 75
=
,
, 29
9
3 222
3 2
=
=
,
...
,( ).

Заметим, что каждое целое число или конечную десятичную дробь можно считать и бесконечной десятичной периодической дробью с периодом, равным нулю. Например:
27 = 27,000... = 27,(0),
3,74 = 3,74000... = 3,74(0).

Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть

представлена в виде дроби m
n , где т — целое число, п — натуральное число.

Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.

* Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818... . Так как в записи
этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем

10х = 2,181818... .
(1)

Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому,
умножая
обе
части
последнего
равенства
на
102 = 100, находим

1000х = 218,181818... .
(2)

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

990x = 216. Отсюда x =
=
216
990
12
55.

5

9

Задача 2

9

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Показать, что 2,999... = 3.

* Пусть x = 2,(9). Тогда 10х = 29,(9), откуда 9x = 27,
x = 3.
Аналогично можно показать, что любую конечную
десятичную дробь можно записать в виде бесконечной дроби двумя способами: с периодом 0 и с периодом 9. Например,

1,75 = 1,75000... = 1,74999...,
−0,2 = −0,2000... = −0,199999... .

Условимся в дальнейшем не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо
таких дробей будем записывать конечные десятичные дроби или бесконечные десятичные дроби с периодом 0. Например,

5,2999... = 5,30000... = 5,3.

Упражнения

1
Записать в виде десятичной дроби:

1) 2
3;
2)
8
11;
3) 3
5 ;
4) − 3
4 ;
5) − 8 2
7;
6) 13
99.

2
Выполнить действия и записать результат в виде десятичной
дроби:

1)
2
11
1
9
+
;
2)
8
13
2
3
+
;
3) 1
3
1 25
+ ,
;

4) 1
6
0 33
+
,
;
5)
3
14
1 05
⋅ ,
;
6) 7
9
1 7
⋅ , .

3
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:
1) 0,(6);
2) 1,(55);
3) 0,1(2);
4) −0,(8);
5) −3,(27);
6) −2,3(82).

4
Вычислить:
1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);

2)
7
36
11
32
9
10
5
18
9
8
⋅
+
⋅
+
⋅
.

5
Вычислить:

1)
3
0 24
2 15
5 1625
2
4
25
3
16
2
5
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
,
,
;

2) 0 364
0 125
2
0 8
7
25
5
16
1
2
,
:
:
,
,
+
+
⋅
.

6

Задача 3

9

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

В § 1 было показано, что любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби и каждая бесконечная
десятичная
периодическая
дробь
является
рациональным
числом.
Если
же
бесконечная
десятичная дробь непериодическая, то она не является
рациональным
числом.
Например,
дробь
0,101001000100001...,
в
которой
после
первой
цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры
1 — два нуля и, вообще, после nй цифры стоит
п
нулей,
не
является
периодической.
Поэтому
написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что данная
дробь является иррациональным числом.

Иррациональным числом называется бесконечная
десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа, как и рациональные, могут
быть
положительными
и
отрицательными.
Например, число 0,123456..., в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа,
является
положительным
иррациональным
числом. Число −5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все чётные числа, является
отрицательным иррациональным числом.
Числа
2,
7, −
3
3
, π также являются иррациональными, так как можно доказать, что они могут
быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей.
Рациональные и иррациональные числа образуют
множество действительных чисел.

Действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь, т. е. дробь вида
+ а0,а1а2а3 ... или −а0,а1а2а3 ...,
где а0 — целое неотрицательное число, а каждая
из букв а1, а2, ... — это одна из десяти цифр: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

7

Действительные числа

2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Например:
1) в
записи
действительного
числа
π = 3,1415... число а0 = 3, а первые четыре десятичных знака таковы: a1 = 1, а2 = 4, а3 = 1, а4 = 5;
2) в
записи
действительного
числа
−
234 =
= −15,297058... число а0 = 15, а десятичные знаки
таковы: а1 = 2, а2 = 9, а3 = 7, а4 = 0 и т. д.;
3) в записи действительного числа 37,19 = 37,19000...
число а0 = 37, а десятичные знаки таковы: a1 = 1,
а2 = 9,
аn = 0
при
n ≥ 3.
Заметим,
что
37,1999... = 37,2000... = 37,2.
Действительное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цифры
в её записи — нули. Положительное действительное число — это десятичная дробь, не равная нулю,
со знаком «+», а отрицательное — со знаком «−».
Знак «+» перед дробью обычно опускается.
Вам известно, как выполняются действия над конечными десятичными дробями. Арифметические
операции над действительными числами, т. е. бесконечными десятичными дробями, обычно заменяются операциями над их приближениями. Например, вычислим приближённые значения
2
3
+
.
С помощью микрокалькулятора находим

2
1 4142135
=
,
... ,
3 = 1,7320508... .

Поэтому с точностью до единицы

2
3
+
≈ 1,4 + 1,7 = 3,1 ≈ 3,

с точностью до одной десятой

2
3
+
≈ 1,41 + 1,73 = 3,14 ≈ 3,1,

с точностью до одной сотой

2
3
+
≈ 1,414 + 1,732 = 3,146 ≈ 3,15 и т. д.

Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последовательными десятичными приближениями (первые два
с недостатком, третье с избытком) значения суммы

2
3
+
. Итак, при отыскании суммы
2
3
+
числа
2 и
3 заменялись их приближениями — рациональными числами, и выполнялось сложение
чисел по известным правилам.
Аналогично, вычисляя произведение
2
3
⋅
, например, с точностью до 0,1, получаем

2
3
⋅
≈ 1,41 ⋅ 1,73 = 2,4393 ≈ 2,4.

8

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Вообще, пусть х1, х2, ..., хп, ... — последовательные приближения действительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда погрешность приближения | х − хп| как угодно близко
приближается к нулю (стремится к нулю). В этом
случае пишут

| х − хп| → 0 при п → ∞, или lim
n → ∞| x − хn| = 0

(читается: «| х − хп| стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности» или «предел | х − хп|
при
п,
стремящемся
к
бесконечности,
равен
нулю»). Это означает, что хп как угодно близко
приближается к х, т. е.

хп → х при n → ∞, или
lim
n
n
x
x
→ ∞
=
.

Отметим, что все основные законы и правила действий над рациональными числами сохраняются
и для действительных чисел (переместительный,
сочетательный и распределительный законы, правила сравнения и т. д.).

Модуль действительного числа х обозначается
| х | и определяется так же, как и модуль рационального числа:

|
|
,
,
,
.
x
x
x
x
x
=
≥
−
<

⎧
⎨
⎩

если
если
0
0

Например, если х = −0,1010010001...,
то | х | = −x = 0,1010010001... .
Геометрически действительные числа
изображаются точками числовой прямой (рис. 1).
Покажем, например, как можно геометрически указать на числовой прямой
точку
с
координатой
2.
Построим квадрат со стороной 1 (рис. 2)
и с помощью циркуля отложим диагональ ОА на числовой оси.
Заметим, что если бы не было иррациональных чисел и соответствующих
им точек числовой оси, то прямая

9

Рис. 1

Рис. 2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

оказалась бы с «дырками», в частности, не было
бы на числовой оси точки с координатой
2.
Множество действительных чисел «заполняет» всю
числовую прямую: каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой
соответствует единственное действительное число.
Точку, изображающую число а, также обозначают
буквой а. Отметим, что если а < b, то точка а лежит левее точки b.
Множество всех действительных чисел обозначается R. Запись x ∈ R (читается: «х принадлежит R»)
означает, что х является действительным числом.

Упражнения

6
(Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:
1) 16,9;
2) 7,25(4);
3) 1,21221222... (после пй единицы стоит п двоек);
4) 99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?
7
Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа
31 с недостатком и
с избытком.
8
Какое из равенств | х | = х или | х | = −х является верным,
если:
1) x =
−
5
7;
2) x =
−
4
3 3;
3) x =
−
5
10?

9
Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:
1) (
) (
)
8
3
3
2
2
−
+
;
2) (
) (
)
27
2
2
3 3
−
−
;

3) (
)
50
4 2
2
+
;
4) (
) :
5 3
27
3
+
;

5) (
)
(
)
3
1
3
1
2
2
−
+
+
;
6) (
)
(
)
5
1
2
5
1
2
2
−
−
+
.

10
Вычислить:
1)
63
28
⋅
;
2)
20
5
⋅
;
3)
50
8
:
;
4)
12
27
:
.

11
Сравнить числовые значения выражений:
1)
3 9
8
1 1
17
,
,
+
+
и
;
2)
11
2 1
10
3 1
−
−
,
,
и
.

12
Вычислить:

1)
(
)
7
2
10
2
2
5
−
+
⋅
;
2)
(
)
16
6
7
7
3
−
+
⋅ ;

3)
(
)
8
2
15
8
2
15
2
7
+
−
−
⋅
+
.

10

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.