Дополнительные главы алгебры

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ АЛГЕБРЫ 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

Красноярск 

СФУ 
2021

 

УДК 51(075) 
ББК 22.14я73 

Ш687 

 
 
 
 
 
 
 
Рецензенты:  
Осипов Н. Н., доктор физико-математических наук, профессор кафед
ры прикладной математики и компьютерной безопасности Сибирского федерального университета; 

Кузнецов А. А., доктор физико-математических наук, профессор кафед
ры прикладной математики Сибирского государственного университета науки и технологий им. М. Ф. Решетнева. 

 
 
 
 

Ш687 Дополнительные главы алгебры : учеб. пособие / А. А. Шлепкин. – 

Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2021. – 92 с. 

 

ISBN 978-5-7638-4534-1 
 
Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал, примеры  

с решениями, а также задачи для практических занятий и самостоятельной работы студентов по основаниям теории групп, колец, полей.  

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 10.05.03 «Инфор
мационная безопасность автоматизированных систем». Будет также полезно специалистам, работающим в области компьютерной безопасности. 

 
 
 
УДК 51(075) 
ББК 22.14я73 

 

 
 

Электронный вариант издания  
см.: http://catalog.sfu-kras.ru 

 
 

ISBN 978-5-7638-4534-1                                                     © Сибирский федеральный 

университет, 2021 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Введение ............................................................................................................... 5 

Глава 1. Алгебраические структуры ................................................................. 7 

1.1. Отображения множеств ....................................................................... 7 

1.2. Прямое произведение множеств ........................................................ 9 

1.3. Алгебраические структуры ............................................................... 10 

1.4. Изоморфизм алгебраических структур ............................................ 12 

1.5. Группоиды, полугруппы ................................................................... 14 

1.6. Моноиды ............................................................................................. 16 

Глава 2. Группы ................................................................................................. 17 

2.1. Определение группы. Простейшие свойства .................................. 17 

2.2. Порядок элемента группы. Порядок группы .................................. 23 

2.3. Подгруппы .......................................................................................... 25 

2.4. Смежные классы................................................................................. 27 

2.5. Циклические группы .......................................................................... 29 

2.6. Нормальные подгруппы и сопряженные элементы ....................... 31 

2.7. Факторгруппы. Простые группы ...................................................... 33 

2.8. Гомоморфизмы групп ........................................................................ 35 

2.9. Прямое произведение групп ............................................................. 36 

2.10. Группы подстановок ........................................................................ 39 

Глава 3. Кольца .................................................................................................. 41 

3.1. Определение кольца ........................................................................... 41 

3.2. Определение подкольца. Основные свойства ................................. 44 

3.3. Поля и подполя ................................................................................... 46 

3.4. Характеристика кольца и поля ......................................................... 49 

3.5. Идеалы. Простые кольца ................................................................... 50 

3.6. Факторкольцо по идеалу ................................................................... 52 

3.7. Целостные кольца .............................................................................. 54 

3.8. Прямая сумма колец .......................................................................... 56 

3.9. Гомоморфизм колец ........................................................................... 58 

3.10. Простые и составные элементы кольца. Наибольший общий 

делитель. Наименьшее общее кратное .................................................... 60 

3.11. Факториальные кольца .................................................................... 63 

3.12. Евклидовы кольца и их факториальность ..................................... 66 

3.13. Кольца главных идеалов и их факториальность ........................... 71 

3.14. Кольцо многочленов ........................................................................ 73 

Глава 4. Поля...................................................................................................... 75 

4.1. Поле частных ...................................................................................... 75 

4.2. Расширения полей. Критерий подполя ............................................ 77 

4.3. Конечные расширения полей. Степень расширения ...................... 79 

4.4. Простое алгебраическое расширение поля ..................................... 81 

4.5. Поле разложения многочленов ......................................................... 83 

4.6. Конечные поля .................................................................................... 84 

4.7. Алгебраические и трансцендентные числа ..................................... 87 

Список литературы ........................................................................................... 89 

 

 

 

 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Данное учебное пособие написано на основе курса «Дополнительные 

главы алгебры», читаемого студентам второго курса Сибирского 

федерального университета, обучающимся по направлениям «Прикладная 

математика», «Компьютерная безопасность», «Информационная безопас
ность автоматизированных систем». Учебное пособие состоит из четырех 

глав (алгебраические структуры, группы, кольца, поля) и знакомит студента 

с базовыми понятиями высшей алгебры. С целью удобства в освоении 

материала приведены необходимые теоретические сведения, примеры  

с решениями и задачи для самостоятельного решения.  

В силу того, что истоки алгебры уходят своими корнями в глубокую 

древность, уместно будет привести краткую историю зарождения  

и развития алгебры. Зарождение алгебры, как и вообще математики, можно 

проследить от первых государственных образований в Древнем Египте  

и Древнем Вавилоне, а также эпохи античности в Древней Греции. К этому 

периоду относятся появление арифметических действий над положи
тельными целыми и рациональными числами, а также использование 

формул для геометрических и астрономических расчетов. Следующий шаг 

в развитии алгебры был сделан арабской цивилизацией средних веков, где 

исследовались уравнения первой и второй степени. Отметим также, что 

само слово «Алгебра» (как и слово «Алгоритм») восходит к имени 

арабского ученого Аль-Хорезми. Одним из центральных направлений 

усилий математиков эпохи Возрождения стал поиск формул для решения 

алгебраических уравнений третьей и четвертой степени. Здесь уместно 

будет упомянуть следующих итальянских математиков эпохи Возрождения: 

Тарталья (ему принадлежит авторство в открытии формул решения 

уравнений третьей степени), Кардано (автор трактата о решении 

алгебраических уравнений, благодаря которому метод решения уравнений 

третьей степени носит имя «формулы Кардано»), а также Феррари, 

получивший формулы для решения уравнений четвёртой степени.  

В XIX в. было доказано, что уравнения пятой степени и выше в общем 

случае не разрешимы в радикалах (т. е. не существуют формулы, 

выражающей корни уравнения через его коэффициенты). В этот период 

благодаря усилиям крупных математиков и прежде всего Эвариста Галуа 

(развившего идеи, которые использовались в доказательстве невозмож
ности решения уравнений высоких степеней в радикалах) алгебра 

принимает современный вид. В настоящее время алгебра является бурно 

развивающейся областью математики, играющей важную роль как в самой 

математике, так и за ее пределами: в физике, криптографии, теории 

кодирования и других областях. 

 
 

 
 

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 

 

1.1. Отображения множеств 

 

Пусть 𝐴 и 𝐵 – произвольные множества. 

Определение. Отображением 𝑓  из множества 𝐴 в множество 

𝐵 называется правило (закон), согласно которому каждому элементу 

множества 𝐴 ставится в соответствие элемент множества 𝐵. В этом случае 

говорят, что задано отображение множества 𝐴 в множество 𝐵 и используют 

обозначение 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 

Если 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 и 𝑓(𝑥) = 𝑦, то элемент 𝑦 называют образом 

элемента x, а элемент 𝑥 называют прообразом элемента 𝑦. Пусть 

𝑀 ⸦ 𝐴, тогда множество {𝑦 ∈ 𝐵: 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑥 ∈ 𝑀} называют образом 

множества 𝑀 и обозначают 𝑓(𝑀). Если 𝑁 ⊂ 𝐵, то множество {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓(𝑥) 

∈ 𝑁}  называют прообразом множества N и обозначают 𝑓−1(𝑁).  

Следовательно, отображения могут быть охарактеризованы следующим 

образом:  

1. Отображение  𝑓 называется сюръекцией (или «𝐴 на 𝐵») если 

𝑓(𝐴) = 𝐵, т. е. для каждого элемента y из 𝐵 существует хотя бы один 

элемент 𝑥 из 𝐴 такой, что 𝑓(𝑥) = 𝑦. 

2. Отображение  𝑓 называется инъекцией (или «𝐴 в 𝐵»), если для 

любых элементов 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 из равенства 𝑦 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) следует,  

что 𝑥1 =  𝑥2 . 

3. Отображение 𝑓 называется биекцией (или взаимно однозначным 

отображением), если оно сюръекция и инъекция одновременно.  

Пример 1. Пусть 𝐴 = ℝ, 𝐵 = ℝ, где ℝ − множество действительных 

чисел. Доказать, что отображение 𝑓: 𝐴 → 𝐵, определяемое соотношением 

𝑦 =  𝑓(𝑥) = 𝑥2, – не сюръекция и не инъекция. 

 

Решение. 
Очевидно, 
что 
𝑓(ℝ) ≠ ℝ, 
так 
как 
для 
любого  

𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ≥ 0. Поэтому 𝑓(𝑥) – не сюръекция. Далее, так как каждому 

образу 
соответствует 
два 
прообраза 
(число 
положительное 
и 

отрицательное), то 𝑓(𝑥) – не инъекция. 

Пример 2. Пусть 𝐴  – множество окружностей на плоскости,  

𝐵 – множество треугольников на плоскости. Доказать, что отображение  

𝑦 = 𝑓(𝑥) – окружность, описанная около треугольника, является 

сюръекцией.  

Решение. Действительно, около каждого треугольника можно 

описать окружность, т. е. отображение 𝑦 = 𝑓(𝑥) существует. С другой 

стороны, в каждую окружность можно вписать бесконечно много 

треугольников, т. е. для каждой окружности существует хотя бы один 

треугольник, 
около 
которого 
она 
описана. 
Таким 
образом, 

𝑓(𝑥) – сюръекция. 

Пример 3. Пусть 𝐴 = ℕ множество натуральных чисел, 𝐵 = 2ℕ 

множество четных чисел, и 𝑓: 𝐴 → 𝐵, так, что 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Доказать, что 

это инъекция. 

Решение. Достаточно проверить, что определение инъекции для этого 

отображения верно. 

Пример 
4. 
Пусть 
𝐴 = ℝ, 𝐵 = ℝ, и 𝑓: 𝐴 → 𝐵 
такое, 
что  

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Доказать, что это биекция, т. е. взаимно однозначное 

отображение. 

Решение. 
Очевидно, 
что 
заданное 
отображение 
сюръекция  

и инъекция одновременно. 

Задачи  

1. Привести примеры отображений, которые являются сюръекциями, 

инъекциями, биекциями.  

2. Пусть 𝑀 ⊂ 𝐴, 𝑁 ⊂ 𝐴 и 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Доказать, что: 

а) 𝑓(𝑀 ∪ 𝑁) = 𝑓(𝑀) ∪ 𝑓(𝑁) 

б) 𝑓−1(𝑀 ∩ 𝑁) = 𝑓−1(𝑀) ∩ 𝑓(𝑁). 

3. Доказать, что тождественное отображение 𝑓: 𝐴 → 𝐴, определяемое 

соотношением: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥, есть биекция.  

4. Найти 
прообраз 
множества {0} 
при 
отображении 𝑓: ℝ → ℝ, 

заданном соотношением: а) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) , б) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 1). 

5. Укажите все сюръективные отображения множества 𝐴 = {1,2,3} 

на множество 𝐵 = {𝑐, 𝑑}. Существуют ли инъективные отображения? 

6. Чем 
являются 
отображения 𝑓: ℝ → ℝ, 
если 
они 
заданы 

соотношениями: 

а) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 5 

б) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2(𝑥2 + 4𝑥 + 5) 

 

1.2. Прямое произведение множеств  

 

Определение. Прямым (или декартовым) произведением двух  

непустых множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество 𝐴 × 𝐵, состоящее из всех 

упорядоченных пар 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}. Если одно из множеств 

пусто, то прямое произведение множеств не определено. 

Пример 1. Пусть 𝐴 = {1,2}, 𝐵 = {1,3}.  Найти 𝐴 × 𝐵. 

Решение. 
По 
определению 
сразу 
получаем, 
что 𝐴 × 𝐵 = 

= {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3)}. 

Декартово произведение множества 𝐴 самого на себя называется 

декартовой степенью множества, т. е. 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2 – декартов квадрат,  

𝐴{𝑛−1} × 𝐴 = 𝐴𝑛 − 𝑛-я декартова степень, 𝑛 = 2,3, … . 

Пример 2. Доказать, что двумерная плоскость ℝ2 – декартов квадрат 

множества действительных чисел ℝ. 

Решение. Каждая точка двумерной плоскости задается своими 

координатами, т. е. упорядоченной парой действительных чисел.  

С другой стороны, любая упорядоченная пара действительных чисел есть 

элемент из декартового произведения ℝ × ℝ. 

 

Задачи 

1. Доказать, что 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴, если 𝐴 ≠ 𝐵. 

2. Доказать, что (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 ≠ 𝐴 × (𝐵 × 𝐶), если 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶. 

3. Доказать, что если множество 𝐴 содержит 𝑚 различных элементов, 

множество 𝐵 содержит 𝑛 различных элементов, то 𝐴 × 𝐵 состоит из 𝑚 × 𝑛 

элементов. 

4. Доказать, что (𝐴 ∪ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∪ (𝐵 × 𝐶).  

5. Доказать, что (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ⋂ (𝐵 × 𝐶). 

6. Доказать, что 𝐴 ∖ (𝐵 × 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶). 

7. Пусть 𝑓: 𝐴 → 𝐵 – произвольное отображение. Доказать, что 

отображение 𝑓: 𝐴 → 𝐴 × 𝐵, определяемое соотношением 𝑥 → (𝑥, 𝑓(𝑥)), – 

инъекция. 

8. Доказать, что отображение 𝑓: (𝐴 × 𝐵) → (𝐵 × 𝐴), задаваемое 

соотношением (𝑥, 𝑦) → (𝑦, 𝑥), – биекция.  

 

1.3. Алгебраические структуры 

 

Определение. Пусть 𝐴 – непустое множество. Отображение 𝑓 

декартовой степени 𝐴𝑛 в 𝐴 (обозначается 𝑓: 𝐴𝑛 → 𝐴) называется 𝑛-арной 

алгебраической операцией. В частности, при 𝑛 = 1 операция называется 

унарной, при 𝑛 = 2 бинарной. 

То есть 𝑛-арная алгебраическая операция, заданная на множестве 𝐴, 

ставит в соответствие каждому упорядоченному набору из 𝑛 элементов 

множества 𝐴 элемент этого же множества 𝐴. 

Определение. Алгебраической структурой называется множество  

𝐴 с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными 

на 
этом 
множестве. 
Алгебраическую 
структуру 
называют 
также 

алгебраической системой.