Оптическая спектроскопия твердого тела

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

А.С. Ципотан 

Н.В. Слюсаренко 

 
 

ОПТИЧЕСКАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ 

ТВЕРДОГО ТЕЛА 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 

СФУ 
2022 

УДК 
538.958(07) 

ББК 
22.379.24.7я73 
Ц674 

 
 

Р е ц е н з е н т ы:  
Е.А. Слюсарева, доктор физико-математических наук, доцент, профессор 
базовой кафедры фотоники и лазерных технологий Института инженерной физики и радиоэлектроники СФУ; 
Р.Г. Бикбаев, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник 
лаборатории фотоники молекулярных систем Института физики имени 
Л.В. Киренского СО РАН.  

 
 
 

Ципотан, А.С. 

Ц674 Оптическая спектроскопия твердого тела : учеб. пособие / А.С. Ци
потан, Н.В. Слюсаренко. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2022. –  
56 с. 

 

ISBN 978-5-7638-4489-4 

 

Рассмотрены актуальные научно-практические проблемы в области 

спектроскопии твердого тела. Даны теоретические и практические материалы, 
необходимые для понимания физики процессов и методов исследования. Приведены задачи для решения на семинарах и самостоятельной работы.  

Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направле
нию подготовки 03.03.02 «Физика» и смежным специальностям, может быть 
полезно преподавателям вузов и специалистам в области спектроскопии и материаловедения. 

 
 
 

 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 538.958(07) 

http:/catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.379.24.7я73 

 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4489-4 
© Сибирский  

федеральный  
университет, 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................... 4 
 
1. ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ .................................................................... 5 

1.1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ...................................................................... 5 

Задачи для решения на семинарах ................................................................................................. 6 
Задачи для самостоятельного решения ......................................................................................... 7 

1.2. СИЛЫ СВЯЗИ, КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ...................... 7 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 10 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 11 

1.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ........................................................................................... 11 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 13 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 14 

1.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ .......................................................................................................... 15 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 16 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 11 

 
2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СВЕТА .................................................................................................... 18 

2.1. ИСТОЧНИКИ  ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ............................................................... 18 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 21 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 23 

2.2. ПРИЕМНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ................................................................ 23 
2.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СВЕТА ............................................................................................... 24 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 27 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 28 

 
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ .......................................................................... 30 

3.1. ОПТИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ И СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА – КРОНИГА ........................... 30 
3.2. МОДЕЛИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,  ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ  
ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ................................................................................................................................ 31 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 38 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 40 

3.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ................................... 40 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 43 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 44 

 
4. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ СПЕКТРОСКОПИИ ..................................................................................... 45 

4.1. СПЕКТРОСКОПИЯ ВИДИМОГО ДИАПАЗОНА СПЕКТРА ......................................................... 45 
4.2. РАМАНОВСКАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ ............................................................................................ 47 
4.3. ИНФРАКРАСНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ .......................................................................................... 48 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 49 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 51 

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................................................ 52 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ......................................................................................................... 53 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
 
На сегодняшний день достигнуты определенные успехи в развитии 

методов изучения веществ. Одними из самых информативных считаются 
методы спектроскопии. Спектроскопия – это раздел науки о взаимодействии электромагнитного или корпускулярного излучения с веществами, 
который дает представление об их энергетической и пространственной 
структуре. В связи с этим методы спектроскопии активно применяют  
в различных областях науки и техники.  

Одним из способов классификации спектроскопии является уровень 

организации материи исследуемого вещества. Таким образом, спектроскопию делят на ядерную, атомную, молекулярную и твердого тела. В данном 
пособии внимание сосредоточено на особенностях спектроскопии твердого 
тела, а целью является изучение теоретических основ спектроскопии твердого тела на примере решения задач.  

Учебное пособие состоит из четырех глав, включающих в себя не
сколько пунктов. Все теоретические выражения и константы представлены 
в Международной системе единиц СИ. После изложения необходимого 
теоретического материала подробно рассмотрена типовая задача, которая 
позволяет студентам понять логику решения поставленных далее задач. 
Все предложенные задачи разделены на два типа: одни разбираются на семинарских занятиях; другие – самостоятельно студентами, что дает им 
возможность более детально погрузиться в изучение основных проблем 
спектроскопии твердого тела. На сегодняшний день существует недостаточное количество литературы, посвященной решению задач по данной 
проблеме, поэтому авторы постарались собрать в рамках одного учебного 
пособия не только классические задачи, но и ряд оригинальных и современных задач, многие из которых разработаны самостоятельно авторами. 
Библиографический список содержит работы российских и зарубежных 
коллег может быть использован для получения необходимой дополнительной информации.  

Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата, обуча
ющихся по специальности 03.03.02 «Физика», и студентов смежных специальностей, а также может быть полезно преподавателям вузов и специалистам в области спектроскопии и материаловедения. 
 
 

1. ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 

 
 

1.1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 

 
Кристалл представляет собой периодический массив атомов, что 

позволяет рассматривать его простейшую составляющую (элементарную 
ячейку) и значительно упростить исследование свойств твердых тел. Положение идентичных атомов в кристаллической решетке определяется 
вектором трансляции 
 

Элементарная ячейка представляет собой объем, которым можно за
полнить полностью все пространство без перекрытия, смещая ее на вектор 
трансляции 
  

Постоянная решетки – размеры элементарной кристаллической 

ячейки кристалла. 

Если представить кристалл в виде набора сфер, центры которых 

находятся в узлах элементарной ячейки, а радиус равен расстоянию между 
ближайшими соседями, то фактор заполнения – это отношение объема 
этих сфер к полному объему элементарной ячейки. Координационное число – число ближайших соседей любой сферы.  

При рассеянии волн от периодического массива максимум их интер
ференции описывается условием Брэгга – Вульфа:  

 

 
(1.1) 

 

где nd – порядок дифракционного максимума; λ – длина волны; d – межплоскостное расстояние; θ0 – угол скольжения (угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью).  

Для движущейся частицы вещества можно записать формулу де Бройля  

 

,
p
h


 
(1.2) 

 

где h – постоянная Планка; p – импульс частицы. 

Число элементарных ячеек в одном моле кристалла равно 

 

,
или
,

я

A
а

я
V
N
r
Z
V
V
Z
m

m

m


 
                             (1.3) 

 

где Vm – объем одного моля кристалла; Vя – объем элементарной ячейки; 
ra – число одинаковых атомов в химической формуле соединения;  
NA – число Авогадро; rя – число одинаковых атомов, приходящихся на 
элементарную ячейку.  

.
R


.
R


0
λ
2 sinθ ,
dn
d


Пример. Пучок электронов с кинетической энергией 1 кэВ испытывает дифракцию, проходя через поликристаллическую металлическую пленку. Металл обладает кубической кристаллической 
структурой с постоянной решетки, равной 1 Ǻ. Рассчитать: а) длину волны электронов; б) брэгговский 
угол для первого максимума дифракции.  

 

Дано:
 
Ek = 1 кэВ 
d = 1 Ǻ 
nd = 1 
λ – ? 
θ0 – ? 
 

 

Решение:
 
Длина волны электрона может быть оценена с помощью формулы  
де Бройля 

 

 
Кинетическая энергия для релятивисткой частицы имеет вид 

 

, 

откуда  

34

10

31
19
3

6,63 10
2
λ
0,39 10
нм.

2
2 9,1 10
1,6 10
10

k

k

h
p
mE

mE






















 

 
Из условия Брэгга – Вульфа 

 

θ0 = arcsin (ndλ / 2d) = arcsin ( 1·0,39 Ǻ / (2·1 Ǻ)) = 11,18°. 

 
Ответ: λ = 0,39 Ǻ; θ0 = 11,18°.  

 
 
Задачи для решения на семинарах 
1. Электронно-лучевая 
трубка 
цветного 
телевизора 
обладает 

потенциалом 25 кВ. При работе телевизора может возникать рентгеновское 
излучение. Рассчитать: а) значение самой короткой длины волны 
(соотвествует 
максимальной 
энергии) 
рентгеновского 
излучения;  

б) брэгговский угол для первого порядка диффракции на длине волны 0,5 Ǻ 
для кристалла соли NaCl, расположенного перед трубкой (плотность 
ρNaCl = 2,165 г/см3).  

2. Определить плотность кристалла NaCl, постоянная решетки кото
рого равна a = 0,563 нм. 

3. Плотность KCl при нормальных условиях равна 1,9893 г/см3, реб
ро элементарной ячейки составляет величину 0,62908 нм. Вычислить постоянную Авогадро, используя значения атомных масс элементов.  

4. Рентгеновские лучи испытывают брэгговскую дифракцию при от
ражении от кристалла. Если плотность кристалла измерена со среднеквадратичной ошибкой 3104, а угол падения на кристаллическую плоскость 
равен углу отражения и составляет величину 6°, измеренную со среднеквадратичной ошибкой 3,4´, то какова среднеквадратичная ошибка при измерении длины волны рентгеновского излучения? 

5. Натрий переходит из объемно-центрированной кубической в гек
сагональную плотноупакованную решетку при температуре T = 23 К. 
Предполагая, что плотность остается фиксированной и отношение c / a является идеальным, рассчитать постоянную решетки a для гексагональной 

λ
/
.
h
p


2 / 2
k
E
p
m
