Математический анализ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
 
 
 
Учебное пособие  
 
 
 
Электронное издание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2021 

УДК  51(07) 
ББК   22.161я73 
          М340 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рецензенты: 
А. М. Кытманов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИМиФИ СФУ; 
Е. К. Лейнартас, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций ИМиФИ СФУ. 
 
 
 
 
 
Составитель: Мысливец Симона Глебовна 
 
М340 Математический анализ : учеб. пособие / сост.: С. Г. Мысливец. (1,7 Мб). – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2021. – Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I ; 128 Mb RAM ; Windows 
98/XP/7 ; Adobe Reader V8.0 и выше. – Загл. с экрана.  
 
Содержит изложение курса математического анализа, основные понятия и теоремы с доказательствами. 
Рассмотрено большое количество примеров и задач, способствующие усвоению материала. 
Предназначено для студентов первого и второго курсов экономических специальностей ИЭГУиФ и других институтов СФУ. 
 
 
 
 
УДК   51(07) 
ББК   22.161я73 
 
 
 
© Сибирский федеральный  
     университет, 2021 
 
 
 
 
Электронное учебное издание 
 
Подготовлено к публикации издательством 
Библиотечно-издательского комплекса 
 
Подписано в свет 13.08.2021. Заказ № 14143 
Тиражируется на машиночитаемых носителях 
 
Библиотечно-издательский комплекс 
Сибирского федерального университета 
660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а 
Тел. (391)206-26-16; http://rio.sfu-kras.ru 
E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru 

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие представляет собой достаточно сжатый курс лекций по математическому анализу. Хотя в него входят почти все темы стандартного курса, излагаются они в сокращенном виде. Основные понятия и теоремы, тем не менее, даются
с доказательствами. В пособии рассматривается большое количество примеров и задач,
способствующих усвоению материала. Изложение материала рассчитано на достаточно
малое количество часов в курсе математического анализа. Поэтому это пособие может
быть полезно при изучении этого курса и другими специальностями ВУЗов, например,
биологами, химиками, психологами и т.д
Это учебное пособие состоит из семи глав. В первую главу вошли понятия функции, предела функции, непрерывности, а также дифференциальное исчисление функции
одного переменного и его приложения к исследованию функций. Во второй и третьей
главах излагаются основы интегрального исчисления. Даются основные приемы интегрирования, а также определенный интеграл и его приложения и несобственный интеграл.
Четвертая глава посвящена функциям нескольких переменных: частные производные,
дифференциал, производная по направлению, локальный и условный экстремум, метод
наименьших квадратов. В пятой главе рассматривается кратный интеграл и его приложения. В шестой главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения
первого и второго порядков, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Седьмая глава посвящена изучению
числовых и степенных рядов.
3

Глава 1
Дифференциальное исчисление функций одного переменного
1.1. Понятие функции, предел функции
Напомним понятия интервала и отрезка на числовой прямой R.
Определение 1.1.1. Интервалом (a, b) называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными числами a и b (a < b), при этом сами
эти числа не принадлежат рассматриваемому множеству чисел.
Определение 1.1.2. Отрезком [a, b] называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными числами a и b (a ⩽b), причем оба числа a, b
принадлежат рассматриваемому множеству чисел.
Определение 1.1.3. Окрестностью U(a) точки a ∈R называется произвольный
интервал, содержащий эту точку.
Сформулируем определение понятия числовой функции.
Определение 1.1.4. Если каждой точке x, принадлежащей некоторому множеству D из R соответствует одно значение y ∈R, то говорят, что y есть функция
от x и обозначают y = f(x).
Определение 1.1.5. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве D ⊂R, если существует константа M такая, что |f(x)| < M для любого
x ∈D.
1.1.1. Предел функции
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности U(a) точки a ∈R (за
исключением может быть самой точки a).
Определение 1.1.6. Число b называется пределом функции f(x) в точке a,
если для любого положительного числа ε существует положительное число δ такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x −a| < δ следует, что
|f(x) −b| < ε.
Символически это определение записывается следующим образом: Число b называется
пределом функции f(x) в точке a, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x : 0 < |x −a| < δ ⇒|f(x) −b| < ε.
Предел функции обозначается
b = lim
x→a f(x).
Определение 1.1.7. Число b называется пределом функции f(x) в бесконечности
(∞), если ∀ε > 0 ∃N ∈N : |x| > N ⇒|f(x) −b| < ε.
Этот предел обозначается следующим образом lim
x→∞f(x) = b.
Дадим определения односторонних пределов функции в точке.
Определение 1.1.8. Число b1 называется пределом функции f(x) слева в точке a,
если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < a −x < δ ⇒|f(x) −b| < ε и обозначается
b1 = lim
x→a−0 f(x).
4

Определение 1.1.9. Число b2 называется пределом функции f(x) справа в точке
a, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < x −a < δ ⇒|f(x) −b| < ε и обозначается
b2 = lim
x→a+0 f(x).
Отметим следующее свойство предела функции.
Теорема 1.1.1. Если существует конечный предел функции f(x) в точке a, то функция ограничена в некоторой окрестности точки a.
Доказательство. Пусть lim
x→a f(x) = b и |b| < ∞. Зафиксируем некоторое ε > 0, тогда
по определению предела найдется δ > 0, для которого |f(x) −b| < ε для всех x из δокрестности точки a. Тогда |f(x)| < |b| + ε в этой окрестности, т.е. f(x)  ограничена.
1.1.2. Теоремы о пределах
Сформулируем теорему об основных свойствах пределов функции в точке и в бесконечности.
Теорема 1.1.2 (Арифметические операции над пределами). Если существуют
lim
x→a f(x) = b и lim
x→a ϕ(x) = c,
то существуют
1. lim
x→a(f(x) ± ϕ(x)) = lim
x→a f(x) ± lim
x→a ϕ(x) = b ± c,
2. lim
x→a mf(x) = m · lim
x→a f(x) = mb
∀m ∈R,
3. lim
x→a(f(x) · ϕ(x)) = lim
x→a f(x) · lim
x→a ϕ(x) = bc,
c, если c ̸= 0.
4. lim
x→a
f(x)
ϕ(x) =
lim
x→a f(x)
lim
x→a ϕ(x) = b
Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы. Остальные доказываются аналогично. Зафиксируем некоторое ε > 0. Из существования пределов функций
f(x) и ϕ(x) в точке a следует выполнение следующих утверждений:
для ε1 = ε
2 ∃δ1 : ∀x : |x −a| < δ1 ⇒|f(x) −b| < ε1 и
для ε2 = ε
2 ∃δ2 : ∀x : |x −a| < δ2 ⇒|ϕ(x) −c| < ε2.
Для этого ε возьмем δ такое, что δ < δ1 и δ < δ2, тогда для всех x, удовлетворяющих
условию |x −a| < δ, будет выполняться
|(f(x) + ϕ(x)) −(b + c)| < |(f(x) −b) + (ϕ(x) −c)| ⩽
2 + ε
2 = ε.
⩽|f(x) −b| + |ϕ(x) −c| < ε
Что и доказывает первое утверждение теоремы.
Пример 1.1.1.
lim
x→1
x2 −1
x −1
= lim
x→1(x + 1) = 2.
Пример 1.1.2.
x + 1 = 0.
lim
x→0
sin x
Теорема 1.1.3. Если существуют lim
x→a f(x) = b и lim
x→a ϕ(x) = b и в некоторой окрестности точки a выполняется
f(x) ⩽ψ(x) ⩽ϕ(x),
то lim
x→a ψ(x) = b.
5

Доказательство. Из неравенства f(x) ⩽ψ(x) ⩽ϕ(x) следует, что
f(x) −b ⩽ψ(x) −b ⩽ϕ(x) −b.
Возьмем произвольное ε > 0. Тогда из определения предела функции следует, что для
этого
ε ∃δ1 : ∀x : |x −a| < δ1 ⇒|f(x) −b| < ε,
т.е. −ε < f(x) −b. Аналогично для этого же
ε ∃δ2 : ∀x : |x −a| < δ2 ⇒|ϕ(x) −b| < ε,
т.е. ϕ(x) −b < ε. Тогда
∀ε ∃δ : δ < δ1, δ < δ2 : ∀x : |x −a| < δ ⇒−ε < f(x) −b ⩽ψ(x) −b ⩽ϕ(x) −b < ε,
то −ε < ψ(x) −b < ε или |ψ(x) −b| < ε. Что и доказывает утверждение теоремы.
Теорема 1.1.4. Если существует lim
x→a f(x) = b и f(x) ⩾0 в некоторой окрестности
точки a, то b ⩾0.
Теорема 1.1.5. Если существуют lim
x→a f(x) = b и lim
x→a ϕ(x) = c и f(x) ⩾ϕ(x) в
некоторой окрестности точки a, то b ⩾c.
1.1.3. Предел числовой последовательности
Определение 1.1.10. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента, т.е. un = u(n), где n ∈N, или если каждому натуральному числу
n поставлено в соответствие некоторое действительное число un, то говорят, что
задана числовая последовательность {un}.
Пусть даны две числовые последовательности {un} и {vn}, тогда определены сумма
последовательностей  {un+vn}, разность  {un−vn}, произведение  {un·vn} и частное
vn

.

un
Дадим некоторые определения, касающиеся числовых последовательностей.
Определение 1.1.11. Числовая последовательность {un} называется ограниченной сверху, если ∃M ∈R
:
∀n
⇒
un ⩽M и числовая последовательность {un}
называется ограниченной снизу, если ∃m ∈R : ∀n ⇒un ⩾m.
Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Определение 1.1.12. Числовая последовательность {un} называется монотонно
возрастающей, если ∀n ∈N выполняется un ⩽un+1.
Числовая последовательность {un} называется монотонно убывающей, если
∀n ∈N выполняется un ⩾un+1.
n
Пример 1.1.3. Последовательность
1

является ограниченной и монотонно убываn + 1.
ющей, так как ∀n 0 < un ⩽1 и 1
n ⩾
1
Пример 1.1.4. Последовательность {sin n} является ограниченной последовательностью, но не является монотонной.
Пример 1.1.5. Последовательность {n} является монотонно возрастающей и ограниченной снизу последовательностью.
Определение 1.1.13. Число a называется пределом числовой последовательности
{un} при n →∞, если ∀ε > 0 ∃N ∈N
:
∀n > N
⇒
|un −a| < ε, т.е. начиная с
некоторого номера N все члены последовательности попадают в ε-окрестность Uε(a)
точки a.
Числовая последовательность имеющая предел называется сходящейся.
6

Теорема 1.1.6. Монотонно возрастающая, ограниченная сверху (или монотонно
убывающая, ограниченная снизу) числовая последовательность {un} имеет предел, т.е.
она сходится.
Теоремы 1.1.21.1.5 верны и для числовых последовательностей.
np

при p > 0 является моноПример 1.1.6. Так как числовая последовательность
 1
тонно убывающей и ограниченной, то она имеет предел. Очевидно, что lim
n→∞
1
np = 0.
Пример 1.1.7.
3n3
3 + 1
n3 + n
n3 + 1
n3
n2 + 1
n3
= 3
2n3
2.
lim
n→∞
3n3 + n + 1
2n3 + n2
=
lim
n→∞
=
lim
n→∞
2 + 1
n
n3 + n2
n3
Пример 1.1.8.
3n−1
 1
3n−1 + 3

3.
2n−1 + 3n+1 =
lim
n→∞
lim
n→∞
1 + 3n
3
! = 1
3n−1
 2
n−1
+ 9
1.1.4. Замечательные пределы
1. Докажем первый замечательный предел:
x
= 1.
lim
x→0
sin x
Рассмотрим
окружность
радиуса
1
с
центром
в
точке
O.
Пусть
значение
центрального
угла
\
MOA
=
x,
где
0
<
x
<
π
2 .
Построим
вспомогательный
прямоугольный
треугольник
△OCA
(см.
рис.1.1).
Тогда
выM C
1
x
o
1 B
A
Рис. 1.1.
сота
MB
в
треугольнике
△OMA
будет
равна
|MB|
=
sin x,
дуга
⌣MA = x и сторона |CA| = tg x. Очевидно, что S△OMA < SсекOMA < S△OCA.
Найдем значения этих площадей:
2
= 1
2 sin x,
S△OMA = |OA||MB|
2 · 1 · sin x = 1
SсекOMA = 1
2x,
2|OA| · (⌣MA) = 1
2 · 1 · x = 1
S△OCA = 1
2|OA| · |CA| = 1
2 · 1 · tg x.
Из предыдущего неравенства получим: sin x < x < tg x. Разделим это неравенство
почленно на sin x. Получим
1 <
x
x
< 1.
sin x <
1
cos x
или
cos x < sin x
7

Поскольку lim
x→0 cos x = 1, то по теореме 1.1.3 получим, что
x
= 1.
lim
x→0
sin x
Аналогично доказывается более общий случай первого замечательного предела, где
вместо x стоит произвольная функция, стремящаяся к нулю:
α(x)
= 1.
lim
α(x)→0
sin α(x)
Пример 1.1.9.
x
= 1.
x
= lim
x→0
sin x
x cos x = lim
x→0
1
lim
x→0
tg x
cos x · sin x
Пример 1.1.10.
kx
= k.
lim
x→0
sin kx
x
= lim
x→0
k sin kx
kx
= k · lim
x→0
sin kx
Пример 1.1.11.
m.
sin mx = k
kx
·
mx
sin mx = lim
x→0
k · mx sin kx
m lim
x→0
sin kx
lim
x→0
sin kx
kx · m sin mx = k
Пример 1.1.12.
sin y = 1.
lim
x→0
arcsin x
Пример 1.1.13.
x
=




arcsin x = y
x = sin y
x →0
y →0



 = lim
y→0
y
tg y = 1.
lim
x→0
arctg x
2. Приведем без доказательства второй замечательный предел:
x
=




arctg x = y
x = tg y
x →0
y →0



 = lim
y→0
y
x
lim
x→∞
x
= e,

1 + 1
1
α(x) = e.
и в более общей форме
lim
α(x)→0(1 + α(x))
Пример 1.1.14.
n
n
n
lim
n→∞

1 + 1
n+5
= lim
n→∞

1 + 1
5
= e · 15 = e.
n 
1 + 1
Пример 1.1.15.
x
x
lim
x→∞

1 + 1
3x
= lim
x→∞

1 + 1
x3
= e3.
Пример 1.1.16.
lim
x→∞
x + 3
x+3
= lim
x→∞
x −1 + 4
x+3
= lim
x→∞

1 +
4
x+3
=
x −1
x −1
x −1
x−1 = e4.
x−1
= e
lim
x→∞4 x+3
= lim
x→∞
 
1 +
4
 x−1
x −1
4 !4 x+3
Пример 1.1.17.
lim
x→2(3 −x)
x
x−2 = lim
x→2

(1 + (2 −x))
1
2−x
−x
= e
lim
x→2(−x) = e−2.
Приведем второй замечательный предел в логарифмической форме
α(x)
= 1.
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1,
lim
α(x)→0
ln(1 + α(x))
8

1.1.5. Сложные проценты
Показательная функция с основанием e возникает при выводе количественных законов, которым подчиняются многие естественные процессы: рост народонаселения, рост
количества древесины, радиоактивный распад.
Рассмотрим формулу сложных процентов
100
Q(t) = Q0

1 +
p
t
,
где Q(t)  сумма, наращенная за t лет, Q0  начальная сумма, p  процентная такса
(прирост суммы в процентах за год). При этом предполагается, что проценты присоединяются в конце года.
Если ввести условие присоединение процентов по отдельным частям года, например,
равным 1
n доли года, а процентную таксу относить ко всему году, то по истечении каждой
его части наращенные суммы соответственно составят:
100n
100n

, Q2 = Q0

1 +
p
2
, . . . ,
Q1 = Q0

1 +
p
100n
Qn = Q0

1 +
p
n
.
100n
n
, по прошествии двух
По прошествии года начальная сумма Q0 перейдет в Q0

1 +
p
100n
100n
лет в Q0

1 +
p
2n
, по прошествии t лет в Q0

1 +
p
tn
.
Если предположить, что прирост процентов происходит непрерывно, т.е. когда n →∞,
то величина наращенной суммы будет
100n
Q(t) = Q0 lim
n→∞

1 +
p
tn
=
100.
100n
= Q0e
pt
100n
= Q0 lim
n→∞
 100n

1 +
p
p  ptn
Пример 1.1.18. Найти приблизительное количество населения Земли в 2000 году,
предполагая, что в 1900 году население было около 1 миллиарда человек и ежегодный
прирост составлял 2%.
Имеем Q0 = 109,
p = 2,
t = 2000 −1900 = 100. Тогда
Q(100) = 109 · e
2·100
100 = e2 ≈7.3441.
Это означает, что в 2000 году население Земли составит около 7 миллиардов человек.
1.2. Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых
Определение 1.2.1. Функция α(x) называется бесконечно малой при x →a, если
lim
x→a α(x) = 0. То есть
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x : |x −a| < δ ⇒|α(x)| < ε.
Аналогично, функция α(x) называется бесконечно малой при x →∞, если
lim
x→∞α(x) = 0.
Пример 1.2.1. Функция α(x) = (x −1)2 бесконечно малая при x →1, так как
lim
x→1(x −1)2 = 0.
Пример 1.2.2. Функция α(x) = 1
x бесконечно малая при x →∞, так как lim
x→∞
1
x = 0.
Докажем следующую теорему о существовании предела функции в точке.
Теорема 1.2.1. Для того, чтобы функция y = f(x) имела предел при x →a равный
b, т.е. lim
x→a f(x) = b, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = b + α(x), где α(x) функция
бесконечно малая при x →a.
9

Доказательство. 1. Достаточность. Пусть f(x) = b + α(x) покажем, что
lim
x→a f(x) = b.
Так как |f(x) −b| = |α(x)| и по определению бесконечно малой функции
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x : |x −a| < δ ⇒|α(x)| < ε,
тогда и |f(x) −b| = |α(x)| < ε, а это и означает, что существует lim
x→a f(x) = b.
2. Необходимость. Наоборот, пусть существует lim
x→a f(x) = b. Тогда
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x : |x −a| < δ ⇒|f(x) −b| < ε.
Обозначим f(x) −b = α(x), тогда и |α(x)| < ε, а это значит, что α(x)  бесконечно малая
функция при x →a и f(x) = b + α(x).
Дадим определение бесконечно большой функции.
Определение 1.2.2. Функция β(x) называется бесконечно большой при x →a, если
lim
x→a β(x) = ∞. То есть
∀M > 0 ∃δ > 0 : ∀x : |x −a| < δ ⇒|β(x)| > M.
Аналогично, функция β(x) называется бесконечно большой при x
→
∞, если
lim
x→∞β(x) = ∞.
Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
Теорема 1.2.2. Если функция α(x) бесконечно малая при x →a (x →∞) и α(x) ̸= 0,
то функция β(x) =
1
α(x)  бесконечно большая при x →a (x →∞) и обратно.
Доказательство. Так как α(x) →0 при x →a, то
M ,
∀ε = 1
M ∃δ > 0 : ∀x : |x −a| < δ ⇒|α(x)| < ε = 1
α(x)
α(x) = ∞.
тогда




1



 > M, отсюда следует, что lim
x→a β(x) = lim
x→a
1
Теорема 1.2.3. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно
малая при x →a.
Доказательство. Докажем эту теорему для случая двух функций. Пусть функции
α(x) →0, β(x) →0
при
x →a, покажем, что lim
x→a(α(x) + β(x)) = 0.
Зафиксируем некоторое ε > 0. Тогда для
ε1 = ε
2,
2 ∃δ1 : ∀x : |x −a| < δ1 ⇒|α(x)| < ε1 = ε
для
ε2 = ε
2.
2 ∃δ2 : ∀x : |x −a| < δ2 ⇒|β(x)| < ε2 = ε
Из этих двух утверждений мы получаем, что для произвольного
ε > 0 ∃δ = min{δ1, δ2} : ∀x : |x −a| < δ ⇒|α(x) + β(x)| ⩽
2 + ε
2 = ε.
⩽|α(x)| + |β(x)| < ε1 + ε2 ⩽ε
Что и доказывает теорему.
Теорема 1.2.4. Произведение любого конечного числа бесконечно малых функций
есть функция бесконечно малая при x →a.
Доказательство. Доказательство этой теоремы очевидно.
Теорема 1.2.5. Произведение бесконечно малой функции α(x) на функцию u(x), ограниченную при x →a, есть функция бесконечно малая при x →a.
10