Экономико-математические методы и модели

Серия «Учебные издания для бакалавров»






    А. И. Новиков



Экономико-математические методы и модели



Учебник


5-е издание


Рекомендовано
федеральным государственным бюджетным учреждением «Федеральный институт развития образования» (ФГБУ «ФИРО») в качестве учебника для использования в образовательном процессе образовательных организаций, реализующих программы высшего образования по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент» (уровень бакалавриата)

Регистрационный номер рецензии 528 от 04 февраля 2018 г.



Москва Издательско-торговая корпорация «Дашков и К⁰» 2022

  УДК 330.4
  ББК 22.18
       Н73

Автор:
      А.  И. Новиков — доктор физико-математических наук, профессор.

Рецензенты:
      В. А. Волочиенко — доктор экономических наук, профессор;
      И. И. Постников — доктор технических наук, профессор.





     Новиков, Анатолий Иванович.
  Н73 Экономико-математические методы и модели : учебник для бакалавров / А. И. Новиков. — 5-е изд. — Москва : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2022. — 532 с.


           ISBN 978-5-394-05088-6.

           Учебник содержит основные разделы теории экономикоматематических методов и моделей, подготовлен в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.
           Во всех главах учебника приведено большое число примеров с подробным решением.
           Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика» и «Менеджмент», аспирантов, а также практических работников в области финансовой и экономической деятельности.






ISBN 978-5-394-05088-6

   © Новиков А. И., 2017
   © ООО «ИТК «Дашков и К°», 2017

        СОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ............................................8
Глава 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.................13
  1.1. Задачи линейного программирования...........13
  1.2. Общая задача линейного программирования.....16
  1.3. Симплексный метод...........................26
  1.4. Двойственные задачи.........................45
  1.5. Транспортная задача.........................74
Глава 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ..............102
  2.1. Задача нелинейного программирования........102
  2.2. Графическое решение задач нелинейного программирования................................103
  2.3. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.111
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР......................117
  3.1. Основные понятия теории игр................117
  3.2. Решение матричной игры в чистых стратегиях.119
  3.3. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.122
  3.4. Игра с природой............................138
Глава 4. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА...............151
  4.1. Структура и содержание таблицы межотраслевого баланса.........................................151
  4.2. Коэффициенты прямых и полных затрат........152

3

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.....................................160
  5.1. Структура и классификация систем массового обслуживания.........................................160
  5.2. Средства массового обслуживания с отказами (без очереди)........................................169
  5.3. Средства массового обслуживания с неограниченной очередью.............................................178
  5.4. Средства массового обслуживания с ограниченной очередью.......................................188
  5.5. Замкнутые средства массового обслуживания.197
  5.6.   Средства массового обслуживания с ограниченным временем ожидания................................202
Глава 6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ....206
  6.1. Постановка задачи динамического программирования...............................206
  6.2. Задача распределения ресурсов.............209
  6.3. Задача замены оборудования................214
  6.4. Задача о загрузке.........................218
  6.5. Задача планирования рабочей силы..........223
  6.6. Задача о кратчайшем пути..................226
  6.7.   Задача выбора оптимального маршрута перевозки грузов...........................................230
Глава 7. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ..............234
  7.1. Постановка задачи ........................234
  7.2. Классическая модель экономичного размера заказа.235
  7.3. Модель экономичного размера заказа с разрывами цен  241

4

  7.4. Модель с ограниченной вместимостью склада..246
  7.5. Модель производственных поставок ..........249
  7.6. Модель оптимального размера с дефицитом ...252
Глава 8. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ......................................259
  8.1. Основные понятия сетевой модели............259
  8.2. Метод критического пути....................260
  8.3. Стоимость проекта. Оптимизация сетевого графика ........................................270
  8.4. Сетевые модели в условиях неопределенности.273
Глава 9. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ..............278
  9.1. Понятия....................................278
  9.2. Метод Монте-Карло..........................279
  9.3. Элементы дискретного моделирования.........285
Глава 10. ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.................298
  10.1. Общие понятия эконометрических моделей....298
  10.2. Элементы математической статистики........301
  10.3. Модель парной линейной регрессии..........310
  10.4. Нелинейные регрессии......................326
  10.5. Модель множественной регрессии............335
  10.6.   Гетероскедастичность и автокоррелированность случайного члена..................................346
Глава 11. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ...........................364
  11.1. Понятие временных рядов...................364
  11.2. Моделирование основной тенденции развития.365

5

  11.3. Моделирование сезонных колебаний..........371
  11.4. Адаптивное прогнозирование................380
  11.5. Автокорреляция уровней временного ряда....391
  11.6. Учет тенденции при построении модели регрессии.......................................392
  11.7. Учет сезонности при построении модели регрессии.......................................396
  11.8. Прогнозирование с помощью моделей авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего........................................398
Глава 12. СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.........................................424
  12.1. Общая характеристика системы эконометрических уравнений.......................................424
  12.2. Структурная и приведенная формы уравнений.425
  12.3. Методы оценивания структурных уравнений...428
  12.4. Ненулевое ограничение.....................444
  12.5. Условия для идентификации.................451
Глава 13. МОДЕЛИ ФИНАНСОВОГО РЫНКА................457
  13.1. Понятие риска финансового актива..........457
  13.2. Модель Марковица..........................462
  13.3. Модель Тобина.............................472
  13.4. Рыночная модель Шарпа.....................489
  13.5. Модель оценки финансовых активов (САРМ)...502
  13.6. Арбитражная теория ценообразования (АРТ) .514

6

ПРИЛОЖЕНИЯ:

   1. Значения d ₁ и d₂ критерия Дарбина — Уотсона при уровне значимости 0,05...................529
   2. Критические значения (односторонние) статистики Дики — Фуллера...............................530
ЛИТЕРАТУРА......................................531

7

        ВВЕДЕНИЕ




    Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются несущественные для решения поставленной задачи детали.
    В общем виде модель можно определить как условный образ (отражение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т. д.
    Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т. е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.
    В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели, часто объединяемые в системы моделей.
    Экономико-математическая модель — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Она представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме.

8

    В настоящие время все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.
    Экономико-математические методы — обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения экономики. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономикоматематических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.
    Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:
    •  анализ экономических объектов и процессов;
    •  экономическое прогнозирование;
    •  выработка управленческих решений.
    Единой классификации экономико-математических моделей не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.
    По целевому назначению модели подразделяются:
    •      на теоретико-аналитические (используются в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов);
    •      прикладные (применяются в решении конкретных экономических задач, таких как задачи экономического анализа, прогнозирования, управления).
    По учету фактора времени различают модели:
    •  статические;
    •  динамические.
    В статических моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.
    По цели создания и применения различают модели:
    •      балансовые. В таких моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования;
    •      эконометрические. Параметры таких моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Эконометриче

9

ские модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации. Наиболее распространены модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений;
    •     оптимизационные. Эти модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели;
    •     сетевые. Такие модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ;
    •     систем массового обслуживания. Данные модели создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания;
    •     имитационные (экспертные). Такие модели наряду с машинными решениями содержат блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может использоваться база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.
    Классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав. В составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:
    •     экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем;
    •     математическая статистика. Экономические приложения данной дисциплины — выборочный метод, дисперсионный

10

анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.;
    •     математическая экономика и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.;
    •     методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике;
    •     методы экспериментального изучения экономических явлений : математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры.
    Процесс экономико-математического моделирования можно разделить на несколько основных этапов.
    1.     Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез, объясняющих поведение и развитие объекта.
    2.     Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, формулирования ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. д.). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали.
    3.     Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает, и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются вопросы: единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д.

11

    4.     Подготовка исходной информации. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.
    5.     Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи и непосредственное проведение расчетов. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым.
    6.     Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних. Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых с помощью модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

12

Глава 1.

        ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ



    1.1. Задачи линейного программирования

    Линейное программирование (ЛП) — наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Функция, наибольшее и наименьшее значения которой отыскиваются, называется целевой функцией.
    Построим математические модели простейших экономических задач.
    Пример 1.1 (задача об использовании ресурсов). Для изготовления двух видов продукции Р1, Р ₂ используются три вида ресурсов S 1, S₂, S₃. Запасы ресурсов, затраты ресурсов на единицу продукции, а также цены единицы продукции приведены в табл. 1.1.


Таблица 1.1

Условия примера 1.1

                     Затраты ресурсов     Запасы ресур-
     Ресурсы       на ед. продукции, ед.  сов (b), ед. 
                   Р1         Р2                       
        S1         2           4              2000     
        S2         4           1              1400     
        S3         2           1               800     
Цена ед. продукции 40         60                       
  (c), усл. ед.                                        

    Требуется построить план производства, максимизирующий доход.
    Построим математическую модель задачи, определив в ней переменные, ограничения и целевую функцию.


13

     Переменные: х 1, х₂ — количество единиц выпускаемой продукции Р1, Р₂ соответственно (объемы производства).
     Ограничения. Ограничение на расход ресурсов можно записать в следующем виде


Расход

ресурсов

  ( Запас
< I
  ( ресурсов


    Это приводит к следующей системе ограничений:


'2x1 + 4x₂ < 2000, <4x + x₂ < 1400, 2x1 + x₂ < 800.


    Кроме того, переменные должны быть неотрицательными.

          x1 > 0, x₂ > 0 — условие неотрицательности.

     Целевая функция — суммарный доход от реализации всей продукции:

F(x) = 40x1 + 60x₂, x = (x1, x₂).

     Требуется найти такие неотрицательные переменные х 1, х₂, удовлетворяющие ограничениям, при которых суммарный доход максимален, т. е. max F(x).
     Экономико-математическая модель задачи кратко записывается в виде


F(x) = 40x1 + 60x₂ ^ max


при ограничениях

'2x + 4x₂ < 2000, <4x1 + x₂ < 1400, 2x1 + x₂ < 800;


           x1 > 0, x₂ > 0 — условие неотрицательности.


14

    Пример 1.2 (задача составления рациона). Пищевой рацион должен содержать не менее b ₁, b₂, b₃ питательных веществ S 1, S₂, Sз. Для составления пищевого рациона используются два вида продуктов питания Р 1, Р₂. Содержание питательных веществ в единице каждого продукта и стоимость единицы продукта (цена) приведены в табл. 1.2.


Таблица 1.2

Условия примера 1.2

     Питательные       Содержание питательных ве-  Норма (b),
       вещества          ществ в продукте, ед.        ед.    
                       Р1            Р2                      
          S1           3             1                 9     
          S2           1             2                 8     
          S3           1             6                 12    
Цена ед. продукта (c), 4             6                       
       усл. ед.                                              

    Требуется так составить пищевой рацион, чтобы обеспечить норму содержания питательных веществ при его минимальной стоимости.
    Построим математическую модель задачи, определив в ней переменные, ограничения и целевую функцию.
    Переменные: х 1, х₂ — количество единиц соответствующего вида продукта Р 1, Р₂.
    Ограничения. Ограничение на содержание питательных веществ в рационе можно записать в следующем виде

                ' Содержание ^
                               ( Норма )
питательного >1         I.
                               I вещества)
                . вещества J


     Это приводит к следующей системе ограничений:


³х + х2 > 9
< х1 + 2х₂ > 8, X + 6х₂ > 12.


15