Экономико-математические методы и модели
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Эконометрика
Издательство:
Дашков и К
Год издания: 2023
Кол-во страниц: 174
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-394-05407-5
Артикул: 616796.03.99
Доступ онлайн
150 ₽
В корзину
В учебном пособии рассматриваются основные экономико-математические методы и модели, а также специальные модели, предложенные авторами. В качестве примера приводится применение экономико-математических моделей при анализе процессов в агропромышленном комплексе. Для удобства изучающих в пособии приведен используемый математический аппарат.
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки «Экономика», а также управленческого персонала и практических работников.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Серия «Учебные издания для бакалавров» А. В. Гетманчук, М. М. Ермилов ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Учебное пособие 2-е издание, переработанное Москва Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 2023
Г44
УДК 330.115
ББК 65.01
Г44
Авторы:
А. В. Гетманчук — кандидат технических наук, доцент;
М. М. Ермилов — старший преподаватель Российского университета коопе-
рации.
Рецензенты:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор, МИРЭА — Рос-
сийский технологический университет;
О. А. Новиков — доктор экономических наук, профессор, РГГУ.
Гетманчук, Андрей Владимирович.
Экономико-математические методы и модели : учебное
пособие для бакалавров / А. В. Гетманчук, М. М. Ермилов. —
2-е изд., перераб. — Москва : Издательско-торговая корпора-
ция «Дашков и Ко», 2023. — 174 с.
ISBN 978-5-394-05407-5
В учебном пособии рассматриваются основные экономико-математические методы и модели, а также специальные
модели, предложенные авторами. В качестве примера приводится применение экономико-математических моделей при
анализе процессов в агропромышленном комплексе. Для
удобства изучающих в пособии приведен используемый математический аппарат.
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки «Экономика», а также управленческого персонала и практических работников.
ISBN 978-5-394-05407-5
© Гетманчук А. В., Ермилов М. М., 2011
© ООО «ИТК «Дашков и К°», 2011
© Гетманчук А. В., Ермилов М. М., 2023,
с изменениями
© ООО «ИТК «Дашков и К°», 2023,
с изменениями
2
СОДЕРЖАНИЕ 1. Экономико-математические модели и экономико-математические методы .......................................................... 5 2. Применяемый математический аппарат ................................................. 9 2.1. Некоторые основные понятия линейной алгебры .......................... 9 2.1.1. Векторы ....................................................................................... 9 2.1.2. Матрицы .................................................................................... 12 2.1.3. Системы линейных уравнений ................................................ 18 2.1.4. Линейные преобразования базиса ........................................... 21 2.2. Элементы теории множеств ............................................................. 24 2.3. Функции многих переменных. Понятие градиента ....................... 30 2.4. Целевые функции. Определение экстремальных точек ............... 32 2.5. Дифференциальные и конечно-разностные уравнения ................ 35 2.5.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ..... 35 2.5.2. Уравнения в конечных разностях ............................................ 37 3. Основные экономико-математические методы .................................... 40 3.1. Линейное программирование .......................................................... 40 3.2. Динамическое программирование .................................................. 49 3.3. Методы теории игр ........................................................................... 58 3.3.1. Основные понятия теории игр ................................................. 58 3.3.2. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры .............. 61 3.3.3. Решение игр в смешанных стратегиях .................................... 67 3.4. Сетевые методы ................................................................................ 71 3.4.1. Общие сведения о сетевых методах ........................................ 71 3.4.2. Плоские графы. Эйлеровы и Гамильтоновы графы. Орграфы ............................................................................................... 73 3.4.3. Сетевой график и его характеристики .................................... 77 4. Базовые экономические модели .............................................................. 83 4.1. Модель Леонтьева ............................................................................ 83 3
4.2. Модель Кейнса .................................................................................. 91 4.3. Модель фон Неймана ..................................................................... 100 4.4. Модель Самуэльсона–Хикса ......................................................... 110 4.5. Модель Кондратьева ...................................................................... 113 4.6. Модель экономического роста Солоу ........................................... 121 5. Специальные экономико-математические модели ............................ 133 5.1. Леонтьевские системы: оптимальное распределение средств ........ 133 5.2. Производственная функция и ее свойства ................................... 136 5.3. Энтропийные методы исследования экономических систем ..... 144 5.4. Моделирование деятельности предприятий на основе канонических корреляций Хотеллинга................................................ 147 5.5. Модификации уравнения Слуцкого для анализа потребительского спроса ...................................................................... 151 6. Применение экономико-математических моделей при анализе процессов в агропромышленном комплексе ................... 158 6.1. Моделирование процессов в агропромышленном комплексе ... 158 6.2. Модели АПК зарубежных стран ................................................... 162 6.3. Модели экономических процессов в АПК России ..................... 168 Литература .................................................................................................... 173 4
1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Современные экономические исследования все чаще обращаются к построению и использованию экономико-математических моделей. Для построения таких моделей служат классические или специально разработанные экономико-математические методы. Необходимость построения экономико-математических моделей подчеркивает известное утверждение Конта: знать, чтобы предвидеть, предвидеть, чтобы управлять. Экономико-математические модели реализуют первую часть этой формулы и являются базисом для второй ее части. Как известно, модель в широком смысле можно определить как некую мыслительную конструкцию, отражающую интересующие исследователя особенности функционирования изучаемого объекта. В зависимости от целей исследования для описания одного и того же объекта может использоваться множество моделей. Это является следствием относительности и неполноты знаний, точки зрения исследователя на изучаемый объект, а также специфики выдвигаемых целей моделирования, в соответствии с которыми одни элементы, свойства и отношения считаются главными и включаются в модель, в то время как влияние других, считающихся несущественными, не учитывается. Справедливо в известной степени и обратное утверждение: одна и та же модель может описывать однотипные свойства и механизмы функционирования различных по своей природе объектов. Корректность модели определяется степенью адекватности лежащих в ее основе аксиом, гипотез, исходных данных, относящихся к реальной структуре моделируемого объекта, особенностям его функционирования и взаимосвязям с окружающей средой. В целом всякая модель является упрощенным представлением действительности, и искусство моделирования состоит в знании того, что, где и как можно упростить. В наше время роль экономико-математического моделирования многократно возрастает в силу активного применения компьютер5
ных технологий. Задачи, которые раньше казались нерешаемыми, теперь успешно рассчитываются с помощью компьютерного моделирования. В математических моделях аналитического типа и моделях, использующих объектно-ориентированное программирование, упрощение достигается за счет замены интересующих исследо- вателя отношений между реальными элементами подходящими отношениями между математическими объектами и последующим использованием для описания зависимостей известных методов математического и компьютерного анализа. В числе последних — методы линейной алгебры, дифференциальных уравнений, математической статистики, теории оптимизации, теории игр, исследования операций, математического моделирования и других математических дисциплин. Перспективным направлением представляется математическое моделирование развития экономических систем, включающее стадии потери устойчивости и фазовых переходов к новой структуре. При описании динамики подобной системы воспроизводится ее временная организация с учетом различия процессов по времени протекания. Основным требованием к модели является воспроизведение эволюции экономической системы, в ходе которой могут меняться параметры, считающиеся константами на малых промежутках времени. Любые экономические данные представляют собой характеристики какого-либо экономического объекта. Они формируются под воздействием множества факторов, не все из которых доступны наблюдению и контролю. Неконтролируемые (неучтенные) факторы обусловливают случайность данных, которые они представляют. Математическая модель может быть представлена в виде формул, графов, блок-схем, алгоритмов, компьютерной реализации. Каждый из перечисленных математических методов использует широкий арсенал математических моделей. Выбор моделей зависит от ответов на следующие вопросы: — насколько изучены подлежащие моделированию процессы; — известны ли для них закономерности и правила функционирования; 6
— существует ли достаточная информационная база и инструментарий для ее наполнения; — какого рода результаты требуется получить — прогноз количественных показателей или качественная картина изучаемого процесса или явления. Необходимо отметить, что существуют как методологические проблемы экономико-математического моделирования, так и проблемы прикладного характера. Прежде всего это связано с несовершенством существующих моделей, что неизбежно ведет к дискредитации идеи полезности экономико-математического моделирования, медленному внедрению экономико-математических моделей в теорию и практику. Сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования. Однако именно эта сложность процессов и явлений затрудняет не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, истинности получаемых результатов. Еще одна проблема — это недостаток системного, комплексного подхода к моделированию задач, который бы объединял коллективы математиков, физиков, программистов и т. д. Этому способствует и борьба научных школ, научных направлений, порой диаметрально противоположно трактующих одни и те же явления. Поэтому возможность математического моделирования экономических процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной техники. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. В силу ряда причин парадигмой последних десятилетий является не производство и даже не торговля, а перераспределение финансовых активов и финансовые спекуляции. Поэтому в современных условиях в экономико-математические модели наряду с используемыми ранее можно ввести новые сектора: производство финансовых средств и зависимый от него торговый сектор, а также сектор добычи полезных ископаемых, аграрный сектор, сектор обслуживания 7
населения и сектор теневой экономики. Финансовый сектор — это прежде всего мировая банковская система, торговый сектор в большой степени представляют всемирные торговые сети, остальные сектора особых комментариев не требуют. Современное развитие экономико-математических методов вплотную подошло к возможности построения адекватных моделей, основанных на новых аналитических и проектных методах. Построение таких моделей в масштабах мировой экономики — дело ближайшего будущего. 8
2. ПРИМЕНЯЕМЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 2.1. Некоторые основные понятия линейной алгебры Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные, пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках. Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей, и привело к появлению теории векторных пространств. Линейные уравнения как уравнения прямых и плоскостей стали предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон в своей работе (1833) представлял комплексные числа в виде двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились в работах Лагерра (1867). 2.1.1. Векторы Вектором будем считать любой столбец, элементы которого — числа: § · · ¨ ¨ . c b a ¸ ¸ ¨ ¨ § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¸ 7 0 3 ; 3 2 ; 2 0 1 G G G © ¹ © ¹ Число элементов вектора называется его размерностью. Так, размерности векторов c , b , a G G G равны соответственно 3, 2, 3. 9
Операции с одним вектором Умножение вектора на произвольное число: § · · 0 2 2 c b a G G G , 2 ; 0 0 0 ; 3 · ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¹ ¨ ¨ ¨ § ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ ¸ ¸ ¸ 4 0 © ¹ © ¹ каждый элемент вектора умножается на это число. Транспонирование превращает столбец в строку, а строку — в столбец: § · ¨ ¨ ¸ ¸ 2 0 1 ; 2 0 1 T T T a a G G и т. д. © ¹ Операции с двумя векторами Операция сложения. Любые два вектора-столбца (или два вектора-строки) одинаковой размерности можно складывать или вычитать друг из друга: · § · · § · G G c a § ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ § ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 2 0 1 7 0 3 2 0 1 7 0 3 ; 5 0 2 ¸ ¸ ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ § · · § § · · G G c a ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ § ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 6 0 3 2 3 14 0 6 6 0 3 14 0 6 . 20 0 9 ¸ ¸ ¸ © ¹ © ¹ © © ¹ ¹ Операция скалярного умножения существует для векторов одинаковой размерности. Обычно первый вектор-множитель записывается в виде строки, а второй – как столбец. Часто используется точка в качестве множителя. Найдем, например, произведение векторов a G и c G: 17 14 3 7 2 0 0 3 1 c a c a Т G G G G . 10
Доступ онлайн
150 ₽
В корзину