Эконометрика

Серия «Учебные издания для бакалавров» 

 

 

 
А. И. Новиков 

 
ЭКОНОМЕТРИКА 

 
Учебное пособие 

 

3-е издание 

 
Рекомендовано  
федеральным государственным бюджетным учреждением 
«Федеральный институт развития образования» (ФГБУ «ФИРО») 
в качестве учебного пособия для использования в образовательном  
процессе образовательных организаций, реализующих программы 
высшего образования по направлениям подготовки  
«Экономика», «Менеджмент»  
(уровень бакалавриата) 
 
Регистрационный номер рецензии 527 от 04 февраля 2018 г. 
 
 
Москва 
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 
2021 

 

УДК 336.02 
ББК 65.26 
Н73 

Автор: 
А. И. Новиков — доктор физико-математических наук, профессор. 
Рецензенты: 
В. Е. Поляк — кандидат физико-математических наук, член-кор- 
респондент Международной академии информатизации; 
М. В. Дуброва — кандидат экономических наук, профессор. 

Новиков А. И. 
Эконометрика: Учебное пособие / А. И. Новиков. — 
3-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и
К°», 2021. — 224 с.

ISBN 978-5-394-04051-1 

      Учебное пособие cодержит основные теоретические положения 
эконометрики, а также большое количество примеров и упражнений.
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки «
Экономика», «Менеджмент». 

ISBN 978-5-394-04051-1   
    © Новиков А. И., 2012 
  © ООО «ИТК «Дашков и К°», 2012 

CОДЕРЖАНИЕ 

Введение в эконометрику ..................................................................... 6 
Предмет эконометрики ................................................................... 6 
Типы данных .................................................................................... 6 
Классы моделей ............................................................................... 7 
Типы зависимостей ......................................................................... 8 
1. Элементы  математической статистики ..................................... 10 
1.1. Операция суммирования ........................................................ 10 
1.2. Случайные величины ............................................................. 11 
Числовые характеристики совокупности ............................. 12 
1.3. Статистические оценки и их свойства .................................. 16 
1.4. Ковариация и корреляция ...................................................... 19 
1.5. Проверка статистических гипотез ........................................ 22 
Правила проверки нулевой гипотезы ................................... 23 
Проверка гипотезы о корреляции случайных величин ...... 24 
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий  
нормальных генеральных совокупностей ............................ 25 
2. Модель парной регрессии .............................................................. 27 
2.1. Метод наименьших квадратов .............................................. 27 
2.2. Анализ вариации зависимой переменной ............................ 29 
F-тест на качество оценивания ............................................. 30 
Случайные составляющие коэффициентов  регрессии ...... 36 
2.4. Предпосылки регрессионного анализа ................................. 37 
Расчет стандартной ошибки коэффициентов регрессии .... 41 
Статистические свойства МНК-оценок (a; b) ...................... 42 
Проверка гипотезы H0:  ............................................... 42 
Проверка гипотезы H0: 0 ................................................. 43 
Взаимозависимость критериев .............................................. 47 
2.5. Пакет анализа Excel (программа «Регрессия») .................... 47 
2.6. Нелинейные регрессии ........................................................... 50 
2.7. Прогнозирование в регрессионных моделях ....................... 55 
3. Модель множественной регрессии ............................................... 59 
3.1. Классическая нормальная линейная регрессионная 
модель ..................................................................................................... 59 

3.2. Анализ вариации зависимой переменной ............................ 61 
Проверка гипотезы H0: j = 0 ................................................ 63 
Проверка гипотезы H0: 1 = 2 = … = k = 0 ........................ 63 
Проверка гипотезы H0: ′ = ″ (тест Чоy) ............................ 65 
Пакет анализа Excel (программа «Регрессия») .................... 65 
3.3. Мультиколлинеарность .......................................................... 67 
Частная корреляция................................................................ 69 
3.4. Спецификация модели ........................................................... 71 
Влияние отсутствия в модели переменной,  которая  
должна быть включена .......................................................... 71 
Влияние включения в модель переменной,  которая  
не должна быть включена ..................................................... 72 
Замещающие переменные ..................................................... 72 
Лаговые переменные .............................................................. 73 
Инструментальные переменные ........................................... 73 
Фиктивные переменные ........................................................ 74 
3.5. Производственная функция Кобба–Дугласа ........................ 77 
3.6. Линейные регрессионные модели  финансового рынка ..... 79 
3.6.1. Формирование оптимального портфеля .................... 79 
3.6.2. Рыночная модель доходности ..................................... 86 
3.6.3. Модель оценки доходности финансовых  
активов (САРМ) ..................................................................... 94 
4. Понятие о временных рядах .......................................................... 99 
4.1. Моделирование основной тенденции развития ................... 99 
4.2. Моделирование сезонных колебаний ................................. 103 
Аддитивная модель временного ряда ................................. 104 
Мультипликативная модель временного ряда .................. 109 
4.3. Адаптивное прогнозирование ............................................. 115 
4.4. Автокорреляция уровней временного ряда........................ 125 
4.5. Учет тенденции  при построении модели регрессии ........ 127 
4.6. Учет сезонности  при построении модели регрессии ....... 130 
5. Гетероскедастичность  и автокоррелированность  
случайного члена ............................................................................... 133 
5.1. Обнаружение гетероскедастичности .................................. 133 
5.2. Обобщенный метод наименьших квадратов ...................... 138 

5.3. Обнаружение автокорреляции ............................................ 141 
5.4. Авторегрессионное преобразование ................................... 143 
5.5. Автокорреляция с лаговой зависимой переменной .......... 147 
6. Динамические эконометрические модели ................................ 151 
6.1. Типы моделей ....................................................................... 151 
6.2. Модели с распределенным лагом ....................................... 151 
Модель геометрических лагов (модель Койка) ................. 152 
Модель полиномиальных лагов (метод Алмон) ................ 156 
6.3. Модели авторегрессии ......................................................... 159 
6.4. Примеры моделей с лагированными переменными .......... 162 
Модель частичной корректировки ..................................... 162 
Модель адаптивных ожиданий ........................................... 164 
7. Авторегрессионные процессы и их моделирование ................ 169 
7.1. Понятие стационарности ..................................................... 169 
7.2. Модель авторегрессии AR(p) ............................................... 171 
Тестирование на единичные корни .................................... 173 
7.3. Модель скользящего среднего МА(q) ................................. 174 
7.4. Модель авторегрессии и скользящего  среднего ARMA ... 176 
7.5. ARIMA-модели ...................................................................... 177 
Прогнозирование в модели ARIMA(1,1,0) .......................... 187 
7.6. Сезонные модели ARIMA ..................................................... 189 
8. Системы одновременных уравнений ......................................... 193 
8.1. Структурная и приведенная формы уравнений ................. 193 
8.2. Методы оценивания структурных уравнений ................... 195 
8.3. Ненулевое ограничение ....................................................... 210 
8.4. Условия для идентификации ............................................... 217 
Выводы .................................................................................. 221 
ЛИТЕРАТУРА .................................................................................... 222 
ПРИЛОЖЕНИЕ. Значения d1 и d2 критерия Дарбина–Уотсона   
при уровне значимости 0,05  ............................................................ 223 
 

ВВЕДЕНИЕ В ЭКОНОМЕТРИКУ 

Предмет эконометрики 

Закономерности в экономике выражаются в виде зависимостей 
экономических показателей и математических моделей их поведения. 
Такие зависимости и модели могут быть получены только путем 
обработки реальных статистических данных, с учетом внутренних 
связей и случайных факторов. 
Эконометрика — наука, изучающая количественные закономерности 
и взаимозависимости в экономике методами математической 
статистики. 
Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов. 

Задачи эконометрики — построение экономических моделей и 
оценивания их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических 
показателей и формах их связи. 
Эконометрический анализ служит основой для экономического 
анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия 
обоснованных экономических решений. 

Типы данных 

При моделировании экономических процессов оперируют с 
двумя типами данных: пространственными и временными. 
Пространственные данные — это данные по какому-либо экономическому 
показателю, полученные от разных однотипных объектов (
фирм, регионов и т. п.), но относящиеся к одному и тому же 
моменту времени (пространственный срез). Например, данные об 
объеме производства, количестве работников, доходе разных фирм в 
один и тот же момент времени. 
Временные ряды — это данные, характеризующие один и тот 
же объект в различные моменты времени (временной срез). Например, 
ежеквартальные данные об инфляции, средней заработанной 
плате, данные о национальном доходе за последние годы. 

Отличительная черта временных данных — упорядоченность 
во времени. Кроме того, наблюдения в близкие моменты времени 
часто бывают зависимы.  
Любые экономические данные представляют характеристики 
какого-либо экономического объекта. Они формируются под воздействием 
множества факторов, не все из которых доступны внешнему 
контролю. Неконтролируемые (неучтенные) факторы обусловливают 
случайность данных, которые они определяют.  
Поскольку экономические данные имеют статистическую природу, 
для их анализа и обработки необходимо применять статистические 
методы. 

Классы моделей 

Можно выделить три основных класса моделей: модели временных 
рядов, регрессионные модели с одним уравнением и системы 
одновременных уравнений. 
К моделям временных рядов относятся модели тренда и сезонности. 
Тренд представляет собой устойчивое изменение уровня показателя 
в течение длительного времени. Сезонность характеризует 
устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя. 
Кроме того, к этому классу относится множество более сложных 
моделей, таких, например, как модель с распределенным лагом, 
модель авторегрессии и модель адаптивных ожиданий.  
Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного 
ряда исходя только из его предыдущих и будущих значений. 
Модели временных данных подразделяются также на модели, построенные 
по стационарным и нестационарным временным рядам. 
Стационарные временные ряды — это ряды, которые имеют 
постоянное среднее значение и колеблются вокруг него с постоянной 
дисперсией. Распределение показателей уровня ряда в них не 
зависит от времени, т. е. такой временной ряд не содержит трендо-
вой или сезонной компоненты.  
В нестационарных временных рядах распределение уровня ряда 
зависит от времени, т. е. ряд имеет трендовую или сезонную компоненту. 

В регрессионных моделях с одним уравнением объясняемая 
переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных. 
Например, модель спроса на некоторый товар в зависимости 
от его цены и дохода.  
По виду функции регрессионные модели подразделяются на 
линейные и нелинейные. Существуют эффективные методы оценки и 
анализа линейных регрессионных моделей. Анализ линейных регрессионных 
моделей является базовым в прикладной эконометрике. 
Область применения регрессионных моделей, даже линейных, 
значительно шире, чем моделей временных рядов. 
Системы одновременных уравнений описываются системами 
уравнений, состоящими из тождеств и регрессионных уравнений, в 
каждом из которых аргументы помимо объясняющих переменных 
содержат объясняемые переменные из других уравнений системы. 
Например, модель формирования доходов. 
Все три класса моделей могут использоваться при моделировании 
экономических процессов. 
Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в 
экономической модели, оказывают на объект некое результирующее 
воздействие, величина которого задается случайной компонентой. 
Введение случайной компоненты в экономическую модель делает 
ее доступной для эмпирической проверки на основе статистических 
данных. 

Типы зависимостей 

В экономических исследованиях одной из основных задач является 
анализ зависимостей между переменными. Зависимость может 
быть функциональной либо статистической. 
Функциональная зависимость задается в виде точной формулы, 
в которой каждому значению одной переменной соответствует строго 
определенное значение другой, воздействием случайных факторов 
при этом пренебрегают.  
В экономике функциональная зависимость между переменными 
проявляется редко. 

Статистической зависимостью называется связь переменных, 
на которую накладывается воздействие случайных факторов. При 
этом изменение одной переменной приводит к изменению математического 
ожидания другой переменной. 
По направлению выделяют прямые и обратные связи. Направление 
изменения результативного признака при прямой связи совпадает 
с направлением изменения факторного признака, а при обратной 
связи — противоположно направлению изменения факторного 
признака. 
Уравнение регрессии — это формула статистической связи между 
переменными. Если эта формула линейна, то имеем линейную 
регрессию.  
Формула статистической связи двух переменных называется 
парной регрессией, зависимость от нескольких переменных — множественной 
регрессией.  

1. ЭЛЕМЕНТЫ  
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 

1.1. Операция суммирования

Пусть величина X задается последовательностью данных x1, 
x2,…, xn, каждое из которых можно записать как xi, i = 1,n.  
Сумма этих чисел обозначается следующим образом: 

n

n

i
i
x
...
x
x
x






2
1
1
.  

Если из контекста ясно, каковы начальный и конечный суммируемые 
члены, то часто используют сокращенные обозначения:  






i

n

i
i
x
x

1
. 

Сумма квадратов этих чисел обозначается следующим образом: 

2
2
2
2
1
2
n
i
x
...
x
x
x





. 

Обозначим средние значения величин X, X2, XY соответственно как 

n

y
x
xy
,
n

x
x
,
n

x
x
i
i
i
i







2
2
. 

Имеет место неравенство: 
2
2
x
)
x
(

. 
Правила суммирования (a, b – константы): 
1. 

a
n
a
. 

2. 
x
n
b
x
b
x
b
i
i

 

. 

3. 
x
n
b
a
n
)
x
b
a
(
i




. 

4. 








)
y
x
(
n
y
x
)
y
x
(
i
i
i
i
. 

5. 
0



)
x
x
(
i
. 

6. 
2
2
2
)
x
(
x
n

)
x
x
(
i




. 

7. 
y
x
y
x
n

)
y
y
)(
x
x
(
i
i





. 

1.2. Случайные величины 

Случайной величиной (переменной) называется величина, которая 
под воздействием случайных факторов может с определенными 
вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества 
чисел.  
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского 
алфавита, например Х, а их возможные значения — строчными, 
х. 
Универсальным способом задания случайной величины Х является 
задание ее функции распределения. 
Функцией распределения F(x) случайной величины X назы- 
вается вероятность того, что величина X принимает значение, меньшее 
x, т. е.  

R
x
),
x
X
(
P
)
x
(
F



. 

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.  
Дискретной называется случайная величина, которая принимает 
отдельные, изолированные друг от друга значения. 
Непрерывной называется случайная величина, множество значений 
которой непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток 

В основе математической статистики лежат понятия генеральной 
и выборочной совокупностей. 
Генеральная совокупность — множество всех значений случайной 
величины, которые она может принять в процессе наблюдения. 
Например, данные о доходах всех жителей страны. 

Выборочная совокупность (выборка) — это множество наблюдений, 
составляющих лишь часть генеральной совокупности. 
Для любой случайной величины важную роль помимо функции 
распределения играют числовые характеристики ее распределения. 

Числовые характеристики совокупности 

I. Выборочная совокупность 
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема 
n. 
Выборочной средней называется среднее арифметическое наблюдаемых 
значений случайной величины в выборке, т. е. 



ix
n
x
1
. 

Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое 
квадратов отклонения наблюдаемых значений случайной 
величины в выборке от их среднего значения, т. е. 

2
1
)
х
x
(
n
)
x
var(
i 
 
, или 
2
2
)
x
(
x
)
x
var(


,  

где 
n

x
x
i



2
2
. 

Значения x , var(х) являются числовыми характеристиками выборочной 
совокупности. 
Для разных выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, 
выборочные средние и дисперсии будут различны, т. е. 
выборочные характеристики являются случайными величинами.  
Пример 1.1. Вычислить выборочные характеристики по данным 
наблюдения: 
 
№ 
1 
2 
3 
4 
5 

X 
2 
6 
10 
14 
18 

 
▼ Исходные данные и расчетные показатели представлены в 
виде двух расчетных таблиц (два способа расчета x , var(х)): 

Для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии 
в Excel имеются функции:  

х = СРЗНАЧ(массив_x), var(x) = ДИСПР(массив_x). 

II. Генеральная совокупность 
Генеральной средней называется математическое ожидание 
случайной величины Х, т. е. 

μх = М(Х).  

Она характеризует среднее значение случайной величины в генеральной 
совокупности. 
Генеральной дисперсией называется математическое ожидание 
квадрата отклонения случайной величины Х относительно ее средней, 
т. е. 

2
2
)
X
(
M
)
X
(
D
x
x





. 

Она характеризует меру рассеяния случайной величины в генеральной 
совокупности относительно ее средней. 
Стандартным отклонением случайной величины Х называется 
корень квадратный из ее дисперсии, т. е. 

)
X
(
D
x 

. 

Оно показывает, насколько в среднем отклоняется случайная 
величина в генеральной совокупности относительно ее средней.