Математический анализ
Учебное пособие
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Год издания: 2023
Кол-во страниц: 502
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-016008-5
ISBN-онлайн: 978-5-16-108385-7
Артикул: 729532.04.01
Доступ онлайн
от 756 ₽
В корзину
Учебное пособие содержит краткое изложение курса математического анализа. В отличие от имеющейся учебной литературы пособие начинается главой «Элементарная математика», охватывающей и арифметику, и алгебру, т.е. основные сведения, необходимые при решении задач высшей математики. Наряду с теоретическим материалом все разделы сопровождаются большим количеством примеров, в том числе иллюстрирующих геометрический и экономический смыслы вводимых понятий, а также методами и алгоритмами решения математических, инженерных и экономических задач. Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, изучающих дисциплины «Математический анализ» и «Высшая математика» и получающих образование по направлениям естественных наук, техники и технологии, информатики и экономики (бакалавриат и магистратура). Может быть использовано лицами, занимающимися самообразованием.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
- 02.03.03: Механика и математическое моделирование
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 03.03.03: Механика и математическое моделирование
- 04.03.02: Химия, физика и механика материалов
- 09.03.04: Программная инженерия
- 11.03.02: Инфокоммуникационные технологии и системы связи
- 24.03.01: Ракетные комплексы и космонавтика
- 38.03.01: Экономика
- ВО - Специалитет
- 21.05.04: Горное дело
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) А.В. ПАНТЕЛЕЕВ Н.И. САВОСТЬЯНОВА Н.М. ФЕДОРОВА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом профессионального образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по негуманитарным направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 17 от 11.11.2019) Москва ИНФРА-М 2023
УДК 517(075.8) ББК 22.16я73 П16 Р е ц е н з е н т ы: Формалев В.Ф., доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (национального исследовательского университета), заслуженный деятель науки Российской Федерации; кафедра прикладной математики Московского государственного технического университета гражданской авиации (заведующий кафедрой Кузнецов В.Л., доктор технических наук, профессор) Пантелеев А.В. П16 Математический анализ : учебное пособие / А.В. Пантелеев, Н.И. Савостьянова, Н.М. Федорова. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 502 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1077332. ISBN 978-5-16-016008-5 (print) ISBN 978-5-16-108385-7 (online) Учебное пособие содержит краткое изложение курса математического анализа. В отличие от имеющейся учебной литературы пособие начинается главой «Элементарная математика», охватывающей и арифметику, и алгебру, т.е. основные сведения, необходимые при решении задач высшей математики. Наряду с теоретическим материалом все разделы сопровождаются большим количеством примеров, в том числе иллюстрирующих геометрический и экономический смыслы вводимых понятий, а также методами и алгоритмами решения математических, инженерных и экономических задач. Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами. Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения. Для студентов высших учебных заведений, изучающих дисциплины «Математический анализ» и «Высшая математика» и получающих образование по направлениям естественных наук, техники и технологии, информатики и экономики (бакалавриат и магистратура). Может быть использовано лицами, занимающимися самообразованием. УДК 517(075.8) ББК 22.16я73 ISBN 978-5-16-016008-5 (print) ISBN 978-5-16-108385-7 (online) © Пантелеев А.В., Савостьянова Н.И., Федорова Н.М., 2020
...........................................................................40
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................................................................................................10
Глава 1. Элементарная математика...............................................................................11
1.1. Элементы теории множеств и арифметика ...............................................11
1.1.1. Множества и действия над ними........................................................11
1.1.2. Элементы математической логики.....................................................15
1.1.3. Натуральные числа ..............................................................................16
1.1.4. Целые числа..........................................................................................25
1.1.5. Рациональные числа ............................................................................28
1.1.6. Пропорции и проценты .......................................................................37
1.1.7. Иррациональные и действительные числа.
Числовые множества
1.1.8. Некоторые характеристики числовых множеств..............................44
1.2. Алгебра..........................................................................................................46
1.2.1. Одночлены и многочлены...................................................................46
1.2.2. Формулы сокращенного умножения..................................................50
1.2.3. Корни многочленов и их кратности...................................................51
1.2.4. Алгебраические дроби.........................................................................54
1.2.5. Иррациональные выражения ..............................................................60
1.3. Определение и классификация функций одной переменной...................62
1.3.1. Определение функции действительной переменной. ......................62
1.3.2. Способы задания функций..................................................................63
1.3.3. Четные и нечетные функции ..............................................................64
1.3.4. Периодические функции.....................................................................65
1.3.5. Монотонные функции. Ограниченные функции..............................66
1.3.6. Обратные функции ..............................................................................67
1.3.7. Сложные функции ...............................................................................68
1.3.8. Построение графиков средствами элементарной математики........68
1.3.9. Класс элементарных функций............................................................71
1.4. Комплексные числа......................................................................................74
1.4.1. Основные определения........................................................................74
1.4.2. Арифметические действия над комплексными числами
в алгебраической форме .....................................................................74
1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа................76
1.4.4. Арифметические действия над комплексными числами
в тригонометрической форме. Решение уравнений.........................79
Глава 2. Введение в анализ ...............................................................................................86
2.1. Пределы функций и последовательностей .................................................86
2.1.1. Основные определения и теоремы о пределах .................................86
3
2.1.2. Арифметические свойства пределов. Предел сложной функции...91
2.1.3. Пределы основных элементарных функций .....................................92
2.1.4. Последовательность как функция целочисленной переменной .....93
2.1.5. Некоторые замечательные пределы ..................................................95
2.1.6. Сравнение функций. О- и о-символика. Эквивалентные
функции и их свойства .......................................................................97
2.1.7. Типовые задачи ....................................................................................99
2.2. Непрерывность функций одной переменной...........................................109
2.2.1. Определения и свойства функций, непрерывных в точке.............109
2.2.2. Точки разрыва и их классификация.................................................112
2.2.3. Непрерывность функций на промежутках......................................112
2.2.4. Типовые задачи ..................................................................................114
Глава 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной .................120
3.1. Производная и дифференциал. ..................................................................120
3.1.1. Основные понятия .............................................................................120
3.1.2. Смысл производной и дифференциала............................................125
3.2. Основные приемы дифференцирования ..................................................129
3.2.1. Табличное дифференцирование........................................................129
3.2.2. Общие правила дифференцирования...............................................130
3.2.3. Дифференцирование сложных и неявных функций.
Инвариантное свойство дифференциала.........................................131
3.2.4. Дифференцирование обратной функции.........................................134
3.2.5. Логарифмическое дифференцирование. Темп роста
и эластичность функции ..................................................................134
3.2.6. Параметрическое дифференцирование ...........................................137
3.3. Производные и дифференциалы высших порядков...............................140
3.3.1. Дифференцирование явной функции...............................................140
3.3.2. Производные высших порядков некоторых элементарных
функций. Формула Лейбница .........................................................143
3.3.3. Производные и дифференциалы высших порядков
параметрически заданной функции.................................................144
3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления.............................146
3.4.1. Теоремы о среднем ............................................................................146
3.4.2. Формула Тейлора...............................................................................148
3.4.3. Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций .....150
3.5. Приложения дифференциального исчисления........................................153
3.5.1. Приближенное вычисление значений функции .............................153
3.5.2. Уравнения касательной и нормали к кривой ..................................155
3.5.3. Правило Лопиталя .............................................................................160
3.6. Исследование функций..............................................................................164
3.6.1. Промежутки монотонности и точки экстремума............................165
4
3.6.2. Промежутки выпуклости и точки перегиба....................................169
3.6.3. Асимптоты графика функции...........................................................173
3.6.4. Общая схема исследования функции и построения графика........175
3.6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции .............................179
Глава 4. Интегральное исчисление функций одной переменной............................186
4.1. Первообразная и неопределенный интеграл ...........................................186
4.1.1. Основные понятия и свойства ..........................................................186
4.1.2. Основные приемы интегрирования .................................................187
4.1.3. Типовые задачи ..................................................................................198
4.2. Определенный интеграл............................................................................204
4.2.1. Основные понятия и свойства ..........................................................204
4.2.2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
и его свойства ....................................................................................206
4.2.3. Основные приемы вычисления определенного интеграла............207
4.2.4. Экономические приложения определенного интеграла ............... 211
4.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла ...............212
4.2.6. Типовые задачи ..................................................................................223
4.3. Несобственные интегралы.........................................................................228
4.3.1. Несобственные интегралы первого рода.........................................228
4.3.2. Несобственные интегралы второго рода.........................................229
4.3.3. Свойства несобственных интегралов. Обобщенная формула
Ньютона – Лейбница .........................................................................230
4.3.4. Типовые задачи ..................................................................................232
Глава 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных......234
5.1. Основные понятия......................................................................................234
5.1.1. Евклидово пространство и множества в нем ..................................234
5.1.2. Понятие функции нескольких переменных ....................................237
5.1.3. Линии и поверхности уровня............................................................239
5.1.4. Предел функции нескольких переменных ......................................240
5.1.5. Непрерывность функции нескольких переменных........................242
5.2. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных ....247
5.2.1. Частные производные и градиент ....................................................247
5.2.2. Понятия дифференцируемой функции и дифференциала.............252
5.2.3. Дифференцирование сложной функции..........................................255
5.2.4. Производная скалярного поля по направлению. Свойства
градиента............................................................................................257
5.2.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков........260
5.2.6. Формула Тейлора...............................................................................263
5.2.7. Дифференцирование неявных функций..........................................264
5.3. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких
переменных.................................................................................................269
5
5.3.1. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.......269
5.3.2. Исследование функции нескольких переменных на экстремум...271
Глава 6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных .............278
6.1. Интеграл по мере .......................................................................................278
6.1.1. Мера и ее свойства .............................................................................278
6.1.2. Определение интеграла по мере и условия его существования....278
6.1.3. Свойства интеграла по мере..............................................................280
6.1.4. Частные случаи интеграла по мере ..................................................281
6.1.5. Формула замены переменных в n-кратном интеграле....................282
6.1.6. Механические приложения интеграла по мере...............................283
6.2. Двойной интеграл ......................................................................................286
6.2.1. Определение двойного интеграла и его геометрический смысл...286
6.2.2. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному...........288
6.2.3. Формула замены переменных в двойном интеграле ......................290
6.2.4. Переход в двойном интеграле к полярным координатам ..............292
6.2.5. Вычисление площади поверхности с помощью двойного
интеграла............................................................................................294
6.2.6. Приложения двойных интегралов ....................................................297
6.2.7. Типовые задачи...................................................................................298
6.3. Тройной интеграл ......................................................................................305
6.3.1. Определение тройного интеграла.....................................................305
6.3.2. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному...........306
6.3.3. Формула замены переменных в тройном интеграле ......................308
6.3.4. Переход в тройном интеграле к цилиндрическим
и
сферическим
координатам ...........................................................308
6.3.5. Приложения тройных интегралов ....................................................309
6.3.6. Типовые задачи...................................................................................310
6.4. Криволинейный интеграл 1-го рода ........................................................318
6.4.1. Определение криволинейного интеграла 1-го рода........................318
6.4.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сведением
к определенному.................................................................................319
6.4.3. Механические приложения криволинейных интегралов
1-го рода ..............................................................................................320
6.4.4. Типовые задачи...................................................................................321
6.5. Поверхностный интеграл 1-го рода.........................................................328
6.5.1. Определение поверхностного интеграла 1-го рода ........................328
6.5.2. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сведением
к двойному ..........................................................................................329
6.5.3. Механические приложения поверхностных интегралов
1-го рода ..............................................................................................329
6.5.4. Типовые задачи...................................................................................330
Глава 7. Ряды.....................................................................................................................335
7.1. Числовые ряды...........................................................................................335
6
7.1.1. Основные понятия .............................................................................335
7.1.2. Общие свойства рядов.......................................................................339
7.1.3. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Необходимое
условие сходимости рядов ..............................................................341
7.1.4. Ряды с неотрицательными элементами. Достаточные признаки
сходимости и расходимости.............................................................342
7.1.5. Знакопеременные ряды. Достаточные признаки абсолютной
сходимости и расходимости.............................................................352
7.1.6. Знакочередующиеся ряды. Достаточный признак сходимости
Лейбница.............................................................................................354
7.1.7. Типовые задачи ..................................................................................354
7.2. Степенные ряды..........................................................................................361
7.2.1. Основные понятия .............................................................................361
7.2.2. Теорема Абеля. Теорема об интервале сходимости
степенного
ряда. Вычисление радиуса сходимости
по коэффициентам ряда...................................................................363
7.2.3. Свойства степенных рядов в интервале сходимости.
Арифметические операции над степенными рядами ....................364
7.2.4. Ряды Тейлора и Маклорена ..............................................................365
7.2.5. Типовые задачи ..................................................................................367
7.3. Приложения степенных рядов ..................................................................379
7.3.1. Вычисление пределов функций........................................................379
7.3.2. Приближенное вычисление значений функции .............................380
7.3.3. Приближенное вычисление определенных интегралов.................381
7.3.4. Типовые задачи ..................................................................................383
7.4. Комплексные ряды .....................................................................................387
7.4.1. Основные понятия .......................................................................... 387
7.4.2. Функции комплексной переменной как суммы
степенных рядов. Формула Эйлера.................................................389
7.4.3. Типовые задачи ..................................................................................391
7.5. Ряды Фурье..................................................................................................392
7.5.1. Разложение функций одной переменной в ряды Фурье
в действительной форме ...................................................................392
7.5.2. Неполные ряды Фурье.......................................................................395
7.5.3. Комплексная форма ряда Фурье.......................................................400
7.5.4. Типовые задачи ..................................................................................403
7.6. Интеграл Фурье ..........................................................................................409
7.6.1. Представление функций интегралом Фурье в действительной
форме...................................................................................................409
7.6.2. Комплексная форма интеграла Фурье. Спектр ...............................413
7.6.3. Типовые задачи...................................................................................415
7
Гаусса-Остроградского
Глава 8. Векторный анализ ............................................................................................419
8.1. Криволинейный интеграл 2-го рода .........................................................419
8.1.1. Векторное поле...................................................................................419
8.1.2. Ориентация кривой ............................................................................419
8.1.3. Определение и механический смысл криволинейного интеграла
2-го рода. Работа и циркуляция векторного поля ...........................420
8.1.4. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода и связь
с криволинейным интегралом 1-го рода ..........................................421
8.1.5. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.........................422
8.1.6. Потенциальное векторное поле, условия потенциальности поля.
Отыскание потенциала и работы потенциального поля.................424
8.1.7. Типовые задачи...................................................................................427
8.2. Поверхностный интеграл 2-го рода..........................................................434
8.2.1. Ориентация и сторона поверхности.................................................434
8.2.2. Задача о потоке векторного поля. Определение поверхностного
интеграла 2-го рода............................................................................ 435
8.2.3. Свойства поверхностного интеграла 2-го рода и его связь
с поверхностным интегралом 1-го рода...........................................436
8.2.4. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода..........................436
8.2.5. Типовые задачи...................................................................................437
8.3. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского
...................................439
8.3.1. Определение и свойства дивергенции векторного поля ................439
8.3.2. Формула
в
скалярной
и
векторной
форме ...................................................................................................440
8.3.3. Физический смысл дивергенции.......................................................441
8.3.4. Соленоидальные поля........................................................................442
8.3.5. Типовые задачи...................................................................................443
8.4. Ротор. Теорема Стокса ..............................................................................446
8.4.1. Определение и свойства ротора векторного поля...........................446
8.4.2. Механический смысл ротора. Безвихревые поля............................447
8.4.3. Символика Гамильтона......................................................................447
8.4.4. Формулы Стокса и Грина ..................................................................448
8.4.5. Типовые задачи...................................................................................449
Приложения.......................................................................................................................455
П. 1. Некоторые сведения об элементарных функциях.................................455
П. 2. Измерение углов и дуг окружностей......................................................460
П. 3. Определения и свойства тригонометрических функций......................461
П. 4. Некоторые характеристики плоских фигур...........................................464
П. 5. Некоторые характеристики пространственных фигур .........................465
П. 6. Некоторые сведения из линейной алгебры и аналитической
геометрии...................................................................................................467
П. 6.1. Матрицы и действия над ними.....................................................467
П. 6.1.1. Основные определения....................................................467
8
П. 6.1.2. Сложение матриц .............................................................468
П. 6.1.3. Умножение матрицы на число........................................468
П. 6.1.4. Умножение матриц...........................................................469
П. 6.1.5. Транспонирование матриц ..............................................471
П. 6.1.6. Элементарные преобразования.......................................471
П. 6.2. Определители ...............................................................................472
П. 6.2.1. Индуктивное определение...............................................472
П. 6.2.2. Формулы вычисления определителей............................472
П. 6.3. Элементы векторной алгебры...................................................473
П. 6.3.1. Вектор, его направление и длина...............................473
П. 6.3.2. Линейные операции над векторами ..............................475
П. 6.3.3. Ортогональные проекции векторов..............................476
П. 6.3.4. Базис и координаты векторов .....................................477
П. 6.3.5. Линейные операции в координатной форме ............478
П. 6.3.6. Ортогональный и ортонормированный базисы ........479
П. 6.3.7. Скалярное произведение векторов..............................480
П. 6.3.8. Векторное произведение векторов ..............................482
П. 6.3.9. Прямоугольные системы координат .............................482
П. 6.4. Прямые на плоскости и в пространстве...................................484
П. 6.5. Линии второго порядка............................................................487
П. 6.6. Поверхности второго порядка ................................................488
Библиографический список...........................................................................................491
Предметный указатель....................................................................................................493
9
Человек образованный í тот, кто знает,
где найти то, чего он не знает.
Георг Зиммель
DzȚȖ ȕȐ Ȗ ȟȍȔ ȕȍ șȗȘȈȠȐȊȈȍȚ,
ȚȖȚ ȕȐȟȍȔț ȕȍ ȕȈțȟȐȚșȧ.
ǺȖȔȈș ǼțȓȓȍȘ
ǩȍȏ ȗȘȐȔȍȘȖȊ ȕȍȊȖȏȔȖȎȕȖ
ȕȐ ȗȘȈȊȐȓȤȕȖ țȟȐȚȤ,
ȕȐ țșȗȍȠȕȖ țȟȐȚȤșȧ.
DzȖȓțȔȍȓȓȈ dzțȞȐȑ ȆȕȐȑ ǴȖȌȍȘȈȚ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие личности предполагает творческую деятельность, связанную с тщательным изучением хорошо известных фактов теории и практики, а также получением на их основе новых ранее неизвестных знаний и их использованием при решении
теоретических и прикладных задач. Основа математического творчества í умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы. Авторы надеются, что данное пособие, написанное на основе многолетнего опыта преподавания высшей математики на
разных факультетах Московского авиационного института (национального исследовательского университета), поможет обучаемым найти ответы на интересующие их вопросы. Оно охватывает курс математического анализа, который является базовым для
многих разделов высшей и прикладной математики.
В стандартный курс математического анализа, охватывающий введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, числовые и функциональные ряды (вплоть до рядов Фурье и интеграла
Фурье), векторный анализ, добавлены некоторые разделы элементарной математики,
что облегчает восприятие материала.
Изложение построено по единой схеме, которая включает:
1) теоретические сведения (определения, формулировки теорем);
2) методики решения типовых задач;
3) примеры их использования;
4) прикладные задачи из различных областей естествознания: геометрии, экономики, техники, которые решаются изложенными средствами;
5) задачи для самостоятельного решения с ответами.
При оформлении примеров и задач для выделения начала и конца решения используются символы Ƒ и Ŷ соответственно. С целью приведения дополнительных пояснений хода решения используются скобки .... , внутри которых даются комментарии, формулы или краткие пояснения, способствующие его пониманию и сохранению
непрерывности изложения. В приложениях имеется справочный материал по элементарной математике, а также по линейной алгебре и аналитической геометрии [6í8].
Пособие может быть использовано для самостоятельного изучения предмета, так
как содержит весь необходимый теоретический материал и большое количество детально
разобранных примеров.
10
Доступ онлайн
от 756 ₽
В корзину