Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ

ПРАКТИКУМ

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

А.С. БОРТАКОВСКИЙ
А.В. ПАНТЕЛЕЕВ

Издание второе, стереотипное

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации в области
авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений

УДК 512(075.8)
ББК 22.143я73
 
Л59

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум : учебное
пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. — 2-е изд., стереотип. — 
Москва : ИНФРА-М, 2023. — 352 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-010206-1 (print)
ISBN 978-5-16-102079-1 (online)
Пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии. Приведены основные понятия и 
методы решения задач по всем разделам курса: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, квадратичные формы, линейные 
пространства, векторная алгебра, системы координат, преобразования плоскости и пространства, уравнения линий и поверхностей первого и второго порядков. Описаны некоторые приложения линейной алгебры в экономике и 
элект ротехнике, теории оптимизации и математическом анализе.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения 
с ответами. Предыдущее издание выходило под названием «Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии» в 2007 г.
Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по направлению (специальности) «Прикладная математика», а также по направлениям (специальностям) естественных наук, техники и технологий, информатики и экономики на квалификацию специалиста, степени бакалавра и магистра.

Л59

УДК 512(075.8)
ББК 22.143я73

© Бортаковский А.С., Пантелеев А.В., 2015 
ISBN 978-5-16-010206-1 (print)
ISBN 978-5-16-102079-1 (online) 

Р е ц е н з е н т ы :
кафедра «Прикладная математика» Московского государственного технического университета гражданской авиации (зав. кафедрой д-р техн. наук., проф. В.Л. Кузнецов);
А.Н. Сиротин, д-р физ.-мат. наук, проф. (Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет))

Подписано в печать 25.09.2014.
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22,0. Уч.-изд. л. 20,58. ПТ10. 
Цена свободная.
ТК  475450-476097-250914
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр.1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru                         http://www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

А в т о р ы :
Бортаковский Александр Сергеевич — д-р физ.-мат. наук;
Пантелеев Андрей Владимирович — д-р физ.-мат. наук

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
Предисловие   ...................................................................................................................... 6 
 
Глава 1. Матрицы и действия над ними ....................................................................... 7 
 
1.1. Числовые матрицы ................................................................................................. 7 

 
1.2. Операции над матрицами ...................................................................................... 9 

 
 
1.2.1. Сложение матриц ........................................................................................ 9 

 
 
1.2.2. Умножение матрицы на число ................................................................... 9 

 
 
1.2.3. Умножение матриц ................................................................................... 11 

 
 
1.2.4. Транспонирование матриц ....................................................................... 17 

 
 
1.2.5. Блочные матрицы и операции над ними ................................................. 19 

 
 
1.2.6. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду .................... 22 

 
 
1.2.7. След матрицы ............................................................................................ 28 

 
Глава 2. Определители ................................................................................................... 34 
 
2.1. Индуктивное определение .................................................................................. 34 

 
2.2. Формула разложения определителя по элементам строки 

 
 
(столбца) ............................................................................................................... 36 

 
2.3. Свойства определителей ..................................................................................... 38 

 
 
2.3.1. Основные свойства определителей ......................................................... 38 

 
 
2.3.2. Определитель произведения матриц ....................................................... 41 

 
 
2.3.3. Элементарные преобразования определителей ..................................... 41 

 
Глава 3. Ранг матрицы ................................................................................................... 48 
 
3.1. Линейная зависимость и линейная независимость строк 

 
 
(столбцов) матрицы ............................................................................................. 48 

 
3.2. Базисный минор и ранг матрицы ........................................................................ 51 

 
3.3. Методы вычисления ранга матрицы .................................................................. 54 

 
 
3.3.1. Метод окаймляющих миноров ................................................................ 54 

 
 
3.3.2. Метод Гаусса нахождения ранга матрицы ............................................. 56 

 
3.4. Ранг системы столбцов (строк) ........................................................................... 59 

 
Глава 4. Обратная матрица ........................................................................................... 64 
 
4.1. Определение, существование и единственность обратной 

 
 
матрицы ................................................................................................................ 64 

 
4.2. Свойства обратной матрицы ............................................................................... 65 

 
4.3. Алгоритмы нахождения обратной матрицы ...................................................... 65 

 
4.4. Матричные уравнения ......................................................................................... 69 

 
Глава 5. Системы линейных алгебраических уравнений ........................................ 74 
 
5.1. Основные понятия и определения ...................................................................... 74 

 
5.2. Правило Крамера ................................................................................................. 75 

 
5.3. Условие совместности системы линейных уравнений ..................................... 77 

 
5.4. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений .................................... 78 

 
5.5. Структура общего решения однородной системы ............................................ 84 

 
5.6. Структура общего решения неоднородной системы ........................................ 89 

 
5.7. Применение систем линейных уравнений для описания  

 
 
и анализа модели межотраслевого баланса ....................................................... 93 

 
5.8. Применение систем линейных уравнений в задачах расчета 

 
 
электрических цепей............................................................................................ 98 

Глава 6. Собственные векторы и собственные значения матриц ........................ 106 
 
6.1. Основные определения и свойства ................................................................... 106 

 
6.2. Приведение матрицы к диагональному виду .................................................. 115 

 
6.3. Применение собственных векторов для описания и анализа 

 
 
модели международной торговли..................................................................... 119 

 
Глава 7. Квадратичные формы ................................................................................... 123 
 
7.1. Определение квадратичной формы .................................................................. 123 

 
7.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ............................. 125 

 
7.3. Знакоопределенность квадратичных форм ...................................................... 134 

 
7.4. Применение квадратичных форм к исследованию функций 

 
 
на экстремум ...................................................................................................... 137 

 
Глава 8. Векторная алгебра ......................................................................................... 142 
 
8.1. Векторы и линейные операции над векторами ............................................... 142 

 
 
8.1.1. Вектор, его направление и длина .......................................................... 142 

 
 
8.1.2. Линейные операции над векторами ...................................................... 144 

 
8.2. Ортогональные проекции векторов .................................................................. 145 

 
8.3. Базис и координаты векторов ........................................................................... 148 

 
 
8.3.1. Базис на прямой. Координата вектора на прямой ................................ 148 

 
 
8.3.2. Базис на плоскости. Координаты вектора на плоскости ..................... 148 

 
 
8.3.3. Базис в пространстве. Координаты вектора в пространстве ............... 150 

 
 
8.3.4. Линейные операции в координатной форме ........................................ 151 

 
 
8.3.5. Ортогональный и ортонормированный базисы ................................... 153 

 
8.4. Скалярное произведение векторов ................................................................... 155 

 
8.5. Векторное произведение векторов ................................................................... 158 

 
8.6. Смешанное произведение векторов ................................................................. 161 

 
8.7. Метрические приложения произведений векторов......................................... 163 

 
Глава 9. Системы координат ....................................................................................... 174 
 
9.1. Прямоугольные системы координат ................................................................ 174 

 
 
9.1.1. Прямоугольные координаты векторов и точек .................................... 174 

 
 
9.1.2. Преобразования прямоугольных координат  

 
 
 
на плоскости и в пространстве .............................................................. 178 

 
9.2. Полярная система координат ............................................................................ 183 

 
9.3. Цилиндрическая система координат ................................................................ 187 

 
9.4. Сферическая система координат ...................................................................... 189 

 
Глава 10. Алгебраические линии на плоскости ....................................................... 195 
 
10.1. Линии первого порядка (прямые на плоскости) .............................................. 195 

 
 
10.1.1. Основные типы уравнений прямых на плоскости ............................... 195 

 
 
10.1.2. Взаимное расположение прямых на плоскости ................................... 204 

 
 
10.1.3. Метрические приложения уравнений прямых  

 
 
 
на плоскости ............................................................................................ 206 

 
10.2. Линии второго порядка ..................................................................................... 209 

 
 
10.2.1. Классификация линий второго порядка ............................................... 209 

 
 
10.2.2. Эллипс ..................................................................................................... 216 

 
 
10.2.3. Гипербола ................................................................................................ 219 

 
 
10.2.4. Парабола .................................................................................................. 222 

 
 
10.2.5. Нахождение канонической системы координат  

 
 
 
и построение линии второго порядка ................................................... 225 

Глава 11. Алгебраические линии и поверхности в пространстве ......................... 236 
 
11.1. Поверхности первого порядка (плоскости) ..................................................... 236 

 
 
11.1.1. Основные типы уравнений плоскостей ................................................ 236 

 
 
11.1.2. Взаимное расположение плоскостей .................................................... 243 

 
 
11.1.3. Метрические приложения уравнений плоскостей ............................... 245 

 
11.2. Прямые в пространстве ..................................................................................... 247 

 
 
11.2.1. Основные типы уравнений прямых в пространстве ............................ 247 

 
 
11.2.2. Взаимное расположение прямых в пространстве ................................ 253 

 
 
11.2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости ...................................... 255 

 
 
11.2.4. Метрические приложения уравнений прямых  

 
 
 
в пространстве ........................................................................................ 258 

 
11.3. Поверхности второго порядка .......................................................................... 264 

 
 
11.3.1. Классификация поверхностей второго порядка ................................... 264 

 
 
11.3.2. Эллипсоиды ............................................................................................. 279 

 
 
11.3.3. Гиперболоиды ......................................................................................... 280 

 
 
11.3.4. Конусы ..................................................................................................... 282 

 
 
11.3.5. Параболоиды ........................................................................................... 283 

 
 
11.3.6. Нахождение канонической системы координат  

 
 
 
и построение поверхности второго порядка......................................... 284 

 
Глава 12. Линейные пространства ............................................................................. 310 
 
12.1. Определение и примеры линейных пространств ............................................ 310 

 
12.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов ......................... 314 

 
12.3. Размерность и базис линейного пространства ................................................ 317 

 
12.4. Координаты и преобразования координат ....................................................... 321 

 
12.5. Подпространства линейного пространства...................................................... 326 

 
 
12.5.1. Определение линейного подпространства  .......................................... 326 

 
 
12.5.2. Примеры линейных подпространств .................................................... 327 

 
Глава 13. Линейные отображения и преобразования ............................................. 332 
 
13.1. Линейные отображения ..................................................................................... 332 

 
 
13.1.1. Определение линейных отображений ................................................... 332 

 
 
13.1.2. Свойства линейных отображений ......................................................... 333 

 
 
13.1.3. Примеры линейных отображений ......................................................... 334 

 
 
13.1.4. Матрица линейного отображения ......................................................... 335 

 
 
13.1.5. Ядро и образ линейного отображения .................................................. 338 

 
13.2. Линейные преобразования (операторы) .......................................................... 340 

 
 
13.2.1. Определение и примеры линейных преобразований ........................... 340 

 
 
13.2.2. Матрицы линейного преобразования в разных базисах ...................... 343 

 
 
13.2.3. Собственные векторы и собственные значения линейного 

 
 
 
преобразования ....................................................................................... 343 

 
 
Литература  .................................................................................................................. 346 

 
 
Предметный указатель ............................................................................................... 347 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
 
 
Пособие включает теоретические основы и методы решения задач ли
нейной алгебры и аналитической геометрии и охватывает основные разделы 
курса, читаемого в Московском авиационном институте для студентов технических и экономических специальностей. Оно предназначено для выработки у первокурсников практических навыков и умений решения основных 
задач линейной алгебры и аналитической геометрии. Поэтому основной 
упор в изложении материала делается на методики и алгоритмы решения задач, применение которых демонстрируется на специально подобранных 
примерах. Предполагается использование пособия на практических занятиях 
для всех специальностей технических университетов.  
 
Теоретический материал пособия соответствует учебникам [3,4], кото
рые непрерывным образом продолжают школьные курсы алгебры и геометрии. Упражнения и задачи составлены с учетом задачников [1,2,5,6,10,14–
16]. Изложение построено по единой схеме, включающей описание элементов постановок задач, алгоритмы решения и подробный анализ типовых 
примеров. Доказательства и обоснования алгоритмов, а также более сложные примеры и задачи на доказательства приведены в учебниках [3,4,7–9]. 
Авторы ставили перед собой цель написать доступное для широкой студенческой аудитории пособие, где все основные теоретические положения курса подкрепляются подробным разбором типовых примеров. 
 
Рассматриваются математические модели экономических задач: урав
нения межотраслевого баланса и модель международной торговли, а также 
задачи расчета электрических цепей. При описании этих моделей и решении 
поставленных задач применяются соответствующие понятия и методы линейной алгебры.  
 
В конце каждой главы предлагаются задачи для самостоятельного ре
шения с ответами. Кроме того, имеются задачи для расчетно-графических 
работ, в том числе зависящие от параметров m  – порядкового номера учебной группы в лекционном потоке и n  – номера студента по списку группы. 
Вместе с учебниками [3,4] пособие образует методическую базу для дистанционного обучения и самостоятельного изучения курса. 
 
Данное пособие входит в серию книг "Прикладная математика в при
мерах и задачах", составляя с ними единый учебно-методический комплекс.  
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА  1. МАТРИЦЫ  И  ДЕЙСТВИЯ  НАД  НИМИ 

 

1.1.  ЧИСЛОВЫЕ  МАТРИЦЫ 

 
 
Матрицей размеров 
n
m
 называется совокупность 
n
m  чисел, рас
положенных в виде прямоугольной таблицы из m  строк и n  столбцов:  

 





















mn
m
m

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

A

...

...

...

2
1

2
22
21

1
12
11




 или  
)
( ij
a
A 
, 
m
i
,...,
1

; 
n
j
,...,
1

. 

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: 
ij
a  – 

элемент матрицы, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы. Далее предполагается, что элементы матриц являются действительными числами. В некоторых случаях (см. гл. 6) рассматриваются матрицы с 
комплексными элементами.  
 
Пример 1.1. Определить размеры матриц 

 



















2
4

3
2

0
1

A
,     










1
8
6
3

2
4
0
1
B
,   


3
2
1

c
,    









 2

1
d
. 

 
 Матрица A  имеет размеры 
2
3
, матрица B  – 
4
2
, c  – 
3
1 ,    

d  – 
1
2 . 

 
Две матрицы A  и B  называются равными (
B
A 
), если они имеют 

одинаковые размеры (
n
m
) и равные соответствующие элементы: 

 
ij
ij
b
a 
,   
m
i
,...,
1

;   
n
j
,...,
1

. 

 
В общем случае матрицу (размеров 
n
m
) называют прямоугольной.   

В частности, если матрица состоит из одного столбца (
1

n
) или одной 

строки (
1

m
), то она называется матрицей-столбцом или матрицей
строкой (либо просто столбцом или строкой) соответственно. Матрицыстроки и матрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами (в примере 1.1: c  – строка, d  – столбец). Матрица размеров 
1
1  – это просто число 

(единственный элемент матрицы).  
 
Если у матрицы количество строк 

( m ) равно количеству столбцов ( n ), то 
матрицу называют квадратной ( n -го 
порядка). Элементы 
11
a ,
22
a
,…,
nn
a
 об
разуют главную диагональ квадратной 
матрицы (ей соответствует штриховая 
линия на рис. 1.1, соединяющая левый 

 

















nn
n

n

a
a

a
a

1

1
11

 

Рис. 1.1 

Главная диагональ 

Побочная диагональ 

верхний угол матрицы (элемент 
11
a ) с правым нижним углом (элемент 

nn
a
)). Диагональ, соединяющая левый нижний угол (элемент 
1
n
a ) с правым 

верхним углом (элемент 
n
a1 ), называется побочной.  

 
Квадратная матрица вида 





















nn
a

a

a

A

...
0
0

0
...
0

0
...
0

22

11




, у которой все 

элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается 


nn
a
a
a
diag
,...,
,
22
11
. Частным случаем диагональ
ной матрицы служит квадратная матрица  

 





















1
...
0
0

0
...
1
0

0
...
0
1





E
, 

которая называется единичной ( n -го порядка) и обозначается E  (или 
n
E ). 

 
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) 

главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной 
(нижней треугольной). На рис. 1.2 изображены диагональная и треугольные матрицы (здесь и далее будем полагать, что в частях матрицы, помеченных символом О, все элементы равны нулю, а в частях, помеченных символом * и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными). Заметим, 
что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно 
верхней и нижней треугольной. 
 
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.  

 
 

 
 
 
 
Пример 1.2. Определить типы матриц 

 

 










0
0
0

0
0
0
A
, 



















9
0
0

5
4
0

1
2
1

B
, 










0
1

0
0
C
, 










0
0

0
0
D
, 










1
0

0
1
E
, 

Рис. 1.2 

Диагональная 

О 

О

Верхняя 

треугольная 

О 

*

Нижняя 

треугольная 

О

*



















1
0
0

0
1
0

0
0
1

F
,   



















6
5
4

0
3
2

0
0
1

G
,   



















1
0
0

0
2
0

0
0
2

H
. 

 
 Матрица A  – прямоугольная размеров 
3
2 , нулевая; матрица B  – 

верхняя треугольная третьего порядка; С  – нижняя треугольная второго порядка; D  – квадратная второго порядка, нулевая; E  – единичная второго 
порядка; F  – единичная третьего порядка; G  – нижняя треугольная третьего порядка; H  – диагональная третьего порядка.  
 

1.2.  ОПЕРАЦИИ  НАД  МАТРИЦАМИ 

 

1.2.1. Сложение матриц 

 
 
Пусть 
)
( ij
a
A 
 и 
)
( ij
b
B 
 – матрицы одинаковых размеров 
n
m
. 

Матрица 
)
( ij
c
C 
 тех же размеров 
n
m
 называется суммой матриц A  и 

B , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц 
A и B : 
ij
ij
ij
b
a
c


, 
m
i
,...,
1

; 
n
j
,...,
1

. Сумма матриц обозначается 

B
A
C


. Операция сложения матриц определена только для матриц оди
наковых размеров и выполняется поэлементно. 
 
Из определения следует, что складывать можно только матрицы оди
наковых размеров. Нельзя, например, найти суммы вида  

 




















6

5

4
3

2
1
     или   










 4

3
2
1
. 

 
Пример 1.3. Найти сумму двух матриц  





































0
0

0
1

1
0

,

6
5

4
3

2
1

B
A
. 

 
 Складывая соответствующие элементы матриц, получаем 

 






















































































6
5

4
4

3
1

0
6
0
5

0
4
1
3

1
2
0
1

0
0

0
1

1
0

6
5

4
3

2
1

)
2
3
(
)
2
3
(
)
2
3
(


 

 








C
.  

 

1.2.2. Умножение матрицы на число 

 
 
Произведением матрицы 
)
( ij
a
A 
 на число   называется матрица 

)
( ij
c
C 
 тех же размеров, что и матрица A , каждый элемент которой равен 

произведению числа   на соответствующий элемент матрицы A : 
 
ij
ij
a
c


,    
m
i
,
,1 

;   
n
j
,
,1 

. 

Произведение обозначается 
A


 или 


A
. Операция умножения матрицы 

на число выполняется поэлементно. Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число. 

 
 

 
Пример 1.4. Найти произведение матрицы 



















6
5

4
3

2
1

A
 на число 2 . 

 
 
 Умножая на 2 каждый элемент матрицы A , получаем 

 

 




































































12
10

8
6

4
2

2
6
2
5

2
4
2
3

2
2
2
1

6
5

4
3

2
1

2
2
2
A
A
C
.  

 
 
Матрица 
A

 )1
(
 называется противоположной матрице A  и обозна
чается 

A

. Сумма матриц B  и 

A

называется разностью и обозначает
ся 
A
B 
. Для нахождения разности матриц 
A
B 
 следует из элементов 

матрицы B  вычесть соответствующие элементы матрицы A . Вычитать 
можно только матрицы одинаковых размеров. 
 

 
Пример 1.5. Даны матрицы  





































0
0

0
1

1
0

,

6
5

4
3

2
1

B
A
. Найти разности 

A
B 
 и 
B
A
. 

 
 
 Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим 

 

 
























































6
5

4
2

1
1

6
0
5
0

4
0
3
1

2
1
1
0

A
B
,     


















































6

4

1

5

2

1

0
6

0
4

1
2

0
5

1
3

0
1

B
A
. 

 
 
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называют
ся линейными операциями над матрицами [4]. Свойства линейных операций над матрицами совпадают со свойствами операций сложения (вычитания) алгебраических выражений (например, многочленов) и умножения алгебраического выражения на число [4]. 

 
 
Для любых матриц A , B , C  одинаковых размеров и любых чисел  , 

  справедливы равенства: 

 
  1. 
A
B
B
A



;     2. 



C
B
A
C
B
A





;     3. 


B
A
B
A









; 

 
  4. 

A
A
A










;  5. 



A
A









;  6. 
A
A 
1
.