Математический анализ. Теория и практика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

серия основана в 1 996 г.


В.С. ШИПАЧЕВ



МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

        УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


Третье издание

Допущено
                   УМО по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладная математика»



Электронноznanium.com
Москва ИНФРА-М 2023

УДК 517.2(078.8)
ББК 22.16я73
      Ш63

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

       Рецензенты:
       П.И. Самойленко, д-р пед. наук, проф., чл.-кор. РАО
       (Московский государственный университет технологии и управления);
       В.Н. Калинина, канд. техн. наук, проф.
       (Государственный университет управления)



      Шипачев В.С.
Ш63 Математический анализ. Теория и практика : учебное пособие / В.С. Шипачев. — 3-е изд. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 351 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/5267.

         ISBN 978-5-16-010073-9 (print)
         ISBN 978-5-16-101798-2 (online)

         В книге в доступной форме рассмотрены важнейшие понятия математического анализа функций одной переменной: числовые последовательности и их пределы; функции, пределы и непрерывность функций; производные и интегралы, их применения и приложения.
         Многочисленные подробно разобранные примеры и задачи способствуют глубокому освоению теории и позволяют развить самостоятельное математическое мышление. Вопросы для самопроверки позволяют проконтролировать степень усвоения материала.
         Для студентов очных и заочных отделений высших учебных заведений. Может быть полезна студентам техникумов и колледжей, учащимся школ, лицеев и гимназий.

УДК 517.2(078.8)
ББК 22.16я73













ISBN 978-5-16-010073-9 (print)
ISBN 978-5-16-101798-2 (online)

© Шипачев В.С., 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ



   В предлагаемом учебном пособии обобщен многолетний опыт преподавания автором математического анализа на нематематических факультетах и на Всероссийских курсах повышения научной квалификации учителей средних школ в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова.
   Книга знакомит с основными идеями и методами современного математического анализа, что делает ее полезной широкому кругу читателей.
   В процессе преподавания автором были выявлены разделы математического анализа, которые вызывают затруднения как у учащихся средней школы, так и у студентов, начинающих его изучение. Именно этим разделам в пособии уделено основное внимание.
   Книга начинается с обзора разделов школьной программы, наиболее важных при изучении математического анализа. Материал изложен доходчивым языком, что позволяет активно включиться в повторение элементарной математики и успешно перейти к изучению математического анализа.
   Теоретический материал сопровождается большим числом подробно решенных типовых примеров и задач как вычислительного характера, так и способствующих глубокому пониманию теории. Для самостоятельной работы приведены упражнения, решение которых требует непосредственного применения изложенного материала.
   Автор старался выявить точный смысл основных понятий математического анализа, а также всюду, где это возможно, сформулировать определения этих понятий и привести строгие доказательства теорем в доступном изложении.
   Хорошо известны трудности, возникающие при изучении теории пределов. Понятие предела является очень глубоким и одним из важнейших в математике. Именно по

этому следует обратить особое внимание на формулировки с «е—N»-*e—8»-терминологией. Важно ясное и четкое понимание сути определений, роли и места в них каждого слова. Для этого следует детально разобрать предлагаемые примеры и задачи.
   В заключение следует отметить, что данное пособие заканчивает серию книг автора по высшей математике, в которую вошли учебник «Высшая математика», «Задачник по высшей математике», «Основы высшей математики», неоднократно издаваемые издательством «Высшая школа» и пользующиеся неизменным спросом у студентов и преподавателей, и другие книги. В своих книгах автор ставил перед собой две цели: во-первых, показать математику в ее развитии как одну из основных наук XXI века (см. «Введение» в книге: Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш, шк., 2008); во-вторых изложить материал так, чтобы он был доступен всем, кто хочет серьезно изучать математику, — и надеется, что ему удалось это сделать.
   Автор искрение благодарит рецензентов В.Н. Калинину, П.И. Самойленко и всех коллег и друзей за полезные советы и поддержку при работе над книгами.


Автор

ГЛАВА 1





                ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ





      Современный математический анализ является основной областью математики, вобравшей в себя дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), интегральные уравнения, дифференциальную геометрию, функции комплексного переменного, вариационное исчисление и многое другое. Математический анализ в настоящее время является незаменимым инструментом исследования в самых различных областях науки и техники. Знание дифференциального и интегрального исчислений необходимо каждому инженеру и научному работнику, способствует формированию современного научного мышления и является условием дальнейшего прогресса науки и техники.


        § 1.1. ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА И ПОДМНОЖЕСТВА. ОБОЗНАЧЕНИЯ

      В математике все понятия делятся на первичные и определяемые через первичные¹.
   Основным первичным понятием математики, ее фундаментом является понятие «множество». Слова: совокупность, семейство, система, набор, объединение, коллекция и т. п. — синонимы слова множество. Примерами множеств служат: множество учащихся в данной аудитории; совокупность тех из них, кто получает по математике только хорошие и отличные оценки; множество страниц данной книги; семейство звезд Большой Медведицы; коллекция картин Третьяковской галереи; множество всех натуральных чисел; множество всех целых чисел; множество, состоящее из одного числа нуль, и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное число объектов произвольной природы.
   Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами или точками. Множества чаще всего обозначают

    ¹ Следует подчеркнуть, что первичные понятия не могут быть определены. Их, как правило, разъясняют на примерах.

5

большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми буквами. Если хр хп — некоторые элементы, то запись X = {Xj, .... хп} означает, что множество X состоит из элементов Хр ..., хп.
   Если х — элемент множества X, то пишут: х е X (х принадлежит X). Если х не является элементом множества X, то пишут: х г X (х не принадлежит X).
   Пусть Р(х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись {х|Р(х)} обозначает множество всех таких чисел, которые обладают свойством Р(х). Например, множество {х|х² - Зх + 2 = 0} — совокупность корней уравнения х² - Зх + 2 = 0, т. е. это множество состоит из двух элементов: 1 и 2; {х|3 < х < 7} — множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам 3 < х < 7.
   Пусть X и У — два множества. Если X и Y состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут X = Y.
   Например, множество студентов всех факультетов института X и множество всех студентов того же института Y совпадают: X = Y; или, если X — множество, состоящее из двух чисел 2 и 3, а У — множество корней уравнения х² — 5х + 6 = 0, то X = У.
   Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят, что X содержится в У или что X — подмножество множества У. В этом случае пишут: X сУ (X содержится в У).
   Например, множество четных чисел X — подмножество множества У целых чисел: X с У; множество X = {1, 2, 3} есть подмножество множества У = {1, 2, 3, 4}: {1, 2, 3} с {1, 2, 3, 4}.
   Если же множество X состоит из чисел 1, 2 и 3: X = {1, 2, 3}, а множество У — из чисел 2, 3 и 4: У = {2, 3, 4}, то не имеет места ни соотношение X а У, ни соотношение У с X.
   Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом 0. Например, множество чисел, удовлетворяющих системе двух неравенств: х < 3 и х > 4, пусто. Так, множество {х> 7 их < 3} = 0. Множество всех вещественных корней уравнения х² + 1 = 0 — пустое.
   Из определения подмножества следует, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е. каково бы ни было множество У, имеет место соотношение 0 с У. Действительно, предположим противное, т. е. что соотношение 0 с У не имеет места. Это значит, что существует элемент множества 0, который не содержится в У. Но это невозможно, так как множество 0 не содержит элементов. Значит, соотношение 0 с У верно.
   Из определения подмножества следует также, что само множество У всегда является своим подмножеством, т. е. У с У. (Объясните почему.)

6

   Пример. Дано множество X = {1, 2, 3}. Выписать все подмножества множества X.
   Решение. Сначала выпишем подмножества, состоящие из одного элемента: {1}, {2}, {3}. Затем выпишем подмножества, состоящие из двух элементов: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}; наконец, само множество {1, 2, 3} и пустое подмножество 0. Таким образом, множество всех подмножеств данного множества X содержит восемь элементов: {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, 0}.
   Множество с установленным порядком расположения элементов называют упорядоченным. Упорядоченное множество, в отличие от просто множества, записывают внутри круглых скобок. Например, из одного и того же множества {хр х₂} можно получить два упорядоченных множества: (xₜ; х₂)(х₂; xj. Если Xj, ..., хп — произвольные числа, то запись х = шах (хх, ..., хп} (х = min {xj, ..., хп})х означает, что число х максимальное (минимальное) из чисел Xj, ..., хп.
   В заключение отметим, что первичными понятиями являются точка, прямая и плоскость. Для всех остальных понятий даются определения.

        Вопросы для самопроверки

1. Какую роль в математике играют первичные понятия?
2. Назовите основное первичное понятие.
3. Приведите примеры различных множеств.
4. Приведите пример совпадающих множеств.
5. Дайте определение подмножества.
6. Почему пустое множество является подмножеством любого множества?
7. Что называется упорядоченным множеством? Приведите пример.

        § 1.2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ) ЧИСЛА И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

      В элементарной математике изучаются вещественные числа. Как известно, числа 1, 2, 3, ..., появившиеся в процессе счета, называют натуральными. Эти числа служат фундаментом, на котором построена вся числовая система.


    ¹ От лат. maximum (minimum) — наибольший (наименьший)

7

   Над натуральными числами выполнимы действия сложения и умножения. Однако действия вычитания и деления не всегда возможны. Например, разность 3 — 6 и частное 2 : 3 невозможно вычислить, не выходя за пределы натуральных чисел. Даже такое простое уравнение, как 6 + х = 3, нельзя решить, оставаясь во множестве натуральных чисел. Поэтому, чтобы все четыре арифметических действия были выполнимы для любой пары чисел (кроме действия деления на нуль), потребовалось введение целых отрицательных чисел -1, -2, -3, ... и числа О, а затем и рациональных чисел вида p/q, где р и q — целые числа, причем q * 0. Целые отрицательные числа с натуральными, или, что то же, целыми положительными числами и с числом нуль образуют множество всех целых чисел
{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
   Необходимость измерения различных геометрических и физических величин и проведения таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, привело к рассмотрению иррациональных чисел. Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество всех вещественных чисел.
   Множество натуральных чисел обычно обозначают через N, множество всех целых чисел — через Z, множество рациональных чисел — через Q, множество всех вещественных чисел — через R (или R¹). Между этими множествами существуют следующие соотношения:
NcZcQcR.
   Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 представляются соответственно следующими десятичными дробями: 0,75 и 0,333...; иррациональные числа 72 и л представляются соответственно непериодическими бесконечными десятичными дробями: 1,41421356... и 3,14159... .
   Итак, множество всех вещественных чисел состоит из двух множеств: множества рациональных чисел (множества конечных или бесконечных периодических десятичных дробей) и множества иррациональных чисел (множества бесконечных непериодических десятичных дробей).

8

   Пример 1. Доказать, что число
           0,101001... 1000...01... иррациональное. п нулей
   Решение. Действительно, между n-й единицей и (п + 1)-й стоит и нулей, а между (п + 1)-й единицей и (п + 2)-й стоят п + 1 нулей, чего не может быть в периодической дроби; следовательно, данное число иррациональное.
   Пример 2. Доказать, что сумма рационального числа а и иррационального числа р есть число иррациональное.
   Решение. Предположим, что а + Р = у — число рациональное. Тогда Р = у - а — число рациональное, как разность двух рациональных чисел, что противоречит условию. Следовательно, число а + Р иррациональное.
   Пример 3. Привести пример, показывающий, что сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
   Решение. Рассмотрим, например, два иррациональных числа а и Р: а = 0,1010010001..., р = 0,8989989998... . Их сумма а + Р = 0,9999999999... выражена периодической дробью, следовательно, сумма а + Р — рациональное число.

   Пример 4. Доказать, что 72 — иррациональное число.
   Решение. Действительно, предположим, что 72 — число рациональное. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби p/q, где р и q — целые положительные числа без общих множителей. Из равенства 72 = p/q имеем р² = 2q², поэтому р², следовательно, и р четное, так как в противном случае р² было бы также нечетным, поскольку квадрат любого нечетного числа есть число нечетное: (2k + I)² = 4fe² + 4fe + 1 = 2(2k² + 2k) -I- 1. Пусть p = 2k, где k — какое-то целое число. Подставляя 2k вместо р, получаем 4/г² = 2q² или 2k² = q². Следовательно, ид — четное число, но тогда дробь p/q оказывается сократимой (на два) дробью, что противоречит сделанному предположению о несократимости дроби. Этим доказано, что 72 не есть рациональное число; значит, оно иррациональное.

   Пример 5. Доказать, что число 72 + 7з иррациональное.
   Решение. Предположим противное, т. е. допустим, что число 72 + 73 = г, где г — некоторое рациональное число. Заме

9

тим, что число г, очевидно, не равно нулю. Тогда «/3 = г - 72 , откуда, возводя в квадрат обе части равенства, находим 3 = г² --2г Л + 2, или 72 = r ₂г ¹. Но число, стоящее в правой части равенства, является рациональным, как частное рациональных чисел (напомним, что г — рациональное), и получили, что 72 — рациональное число, что противоречит иррациональности числа J2 (см. пример 4). Следовательно, сделанное предположение неверно, и число 72 + 73 иррациональное.
   Пример 6. Доказать, что log₂ 3 — иррациональное число.
   Решение. Предположим противное, т. е. допустим, что число log₂ 3 — рациональное число p/q, где р и q — целые числа. Тогда log₂ 3 = p/q, откуда 2Р/⁹ = 3, или 2Р = 3?. Но это равенство невозможно, так как 2Р — четное число, а 3? — нечетное. Из полученного противоречия следует, что сделанное предположение неверно и log₂ 3 является иррациональным числом.
   Упражнения. 1. Вспомните правило обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные и запишите дробь 1,3333... в виде обыкновенной дроби.
   2.    Какие числа имеют два различных представления в виде десятичной дроби?
   3.    Определите, какие из данных бесконечных десятичных дробей — рациональные числа, какие — иррациональные: 5,424242...; 0,32375375...; 1,313013001...; 7,1308367...; 10,30330333033330... .
   4.    Приведите пример, показывающий, что разность двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
   5.    Докажите, что разность рационального числа а и иррационального числа Р — число иррациональное.
   6.    Докажите, что произведение и частное рационального числа а 0 и иррационального числа р — число иррациональное.
   7. Докажите, что 73 не является рациональным числом.
   8. Докажите, что число 75-72 иррациональное.
   9. Докажите, что число lg2 иррациональное.
   Приведем основные свойства вещественных чисел, которые примем за аксиомы, выведем из них некоторые следствия, а затем определим вещественные числа.

10