Теория вероятностей

ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

УЧЕБНИК

Москва
ИНФРА-М
2022

Р.Ш. ХУСНУТДИНОВ

Рекомендовано в качестве учебника для студентов
 высших учебных заведений,
 обучающихся по направлениям подготовки
38.03.01 «Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент»
 (квалификация (степень) «бакалавр») 

Хуснутдинов Р.Ш. 
Теория вероятностей : учебник / Р.Ш. Хуснутдинов. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 175 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-005312-7

Учебное пособие написано в соответствии с Государственными 
образовательными стандартами высшего профессионального образования и содержит весь материал по курсу теории вероятностей.
Для студентов вузов и лиц, использующих вероятностные методы 
при решении практических задач.

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73

Х98

ISBN 978-5-16-005312-7
© Хуснутдинов Р.Ш., 2013

Р е ц е н з е н т ы:
Ф.Г. Мухлисов, профессор кафедры высшей математики и математического моделирования Казанского федерального университета;
И.П. Семенов, профессор кафедры высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного университета

УДК 519.2(075.8)
ББК 
22.171я73
 
Х98

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Предисловие

Предлагаемая читателям книга написана на основе лекций, прочитанных автором в течение последних лет студентам Казанского 
государственного технологического университета (КГТУ) и полностью соответствует новым Государственным образовательным 
стандартам высшего профессионального образования по указанной 
математической дисциплине.
Книга посвящена полному и систематическому изложению курса 
теории вероятностей и состоит из 13 разделов. Каждый раздел завершается приведением задач и упражнений, рекомендованных для самостоятельной работы.
Первый раздел носит вспомогательный характер, и здесь приведены основные сведения из теории множеств и теории функций, 
которые в дальнейшем используются для аксиоматического построения вероятностных пространств.
Второй раздел является основным. Здесь проводится аксиоматическое построение вероятностного пространства, где вероятность 
определяется как положительная аддитивная функция, заданная на 
пространстве элементарных исходов (событий). Вводятся основные 
вероятностные понятия, изучаются их свойства и формулируются и 
доказываются основные теоремы.
Третий раздел посвящен изложению теории независимых и зависимых испытаний. Подробно изучена биномиальная схема Бернулли; в частности, для нее получены асимптотические формулы. 
В четвертом разделе излагается теория дискретных случайных 
величин и их числовых характеристик. Здесь случайная величина 
определяется как функция, заданная на некотором вероятностном 
пространстве.
Изложению закона больших чисел посвящен пятый раздел. Здесь 
приведены и доказаны основные теоремы: теорема Чебышева и Ляпунова — и выяснен их вероятностный смысл.
В следующих пяти разделах (6–10 разделы) излагается теория непрерывных случайных величин. Вводятся их числовые характеристики и устанавливаются формулы для их вычисления. Подробно 
изучены случайные величины, распределенные равномерно, нормально, а также величины, имеющие показательный закон распределения.
В одиннадцатом и двенадцатом разделах изучаются многомерные 
случайные величины. Устанавливаются условия их зависимости и 
независимости, а также подробно рассматривается вопрос об их линейной и нелинейной корреляционной зависимости.

Тринадцатый раздел посвящен изложению центральной теоремы 
Ляпунова. Приведены и доказаны следствия из этой теоремы, которые имеют широкое приложение при решении различных вероятностных задач.
Для облегчения усвоения изложенного материала многие теоретические выкладки сопровождаются решением типовых задач (при 
изложении курса приведено и решено 86 таких типовых задач). 
В книге для краткости изложения используется общепринятая математическая символика. Нумерация разделов в книге — сквозная, 
а для формул, теорем, определений и т. д. — по разделам. Например, 
запись «Теорема 1.5» обозначает, что это пятая теорема из первого 
раздела.
Автор выражает глубокую благодарность рецензентам — заведующему кафедрой математического анализа КГПУ, профессору 
Ф.Г. Мухлисову и декану автодорожного факультета КАСА, профессору И.П. Семёнову, внимательно прочитавшим рукопись книги и 
сделавшим ряд ценных советов и замечаний, которые были учтены 
автором при окончательном редактировании книги.
Автор также глубоко признателен директору Бугульминского филиала КГТУ, профессору А.В. Ефремову, вдохновившему автора к 
написанию этой книги: без его моральной и материальной поддержки эта книга едва ли увидела бы свет.


1. ЭлеМеНТЫ Теории МНоЖесТв

 
1.1. осНовНЫе оПерации Над МНоЖесТваМи

Определение 1.1. Множеством называется совокупность некоторых объектов, объединенных по некоторому признаку.
Например, можно говорить о множестве всех решений некоторого уравнения, множестве студентов в аудитории, множестве всех 
целых положительных чисел и т.д.
Объекты, которые составляют данное множество, называются элементами множества. Множества обычно обозначаются прописными 
буквами латинского алфавита: A, B, C,…, X, Y, Z, а их элементы — 
строчными: a, b, c, …, x, y, z. Запись a
A
∈
 обозначает, что a принадлежит множеству A, и наоборот: b
A
∈
 (или b
A
∉
) — b не принадлежит 
множеству A. Если множество не содержит ни одного элемента, то это 
множество называется пустым и обозначается символом∅ .
Пусть заданы множества A и B.
Определение 1.2. Если элементы множества B одновременно принадлежат и множеству A, то B называется подмножеством множества 
A. Этот факт записывается следующим образом: B
A
⊂
 и читается 
«множество B входит (включается) во множество A». Если эти множества отличаются хотя бы одним элементом, то говорят, что B составляет правильную часть множества A. Одновременное выполнение включений B
A
⊂
 и A
B
⊂
 означает равенство этих множеств: 
A = B, т.е.

 
B
A
A
B
A
B
⊂
⊂



⇔
=
.  
(1.1)

Условие (1.1) обычно используют для установления равенства 
двух множеств.
Для множеств можно ввести операции, аналогичные операциям, 
совершаемым над арифметическими числами.
Определение 1.3. Под суммой (объединением) множеств A и B (обозначение: A
B

 или A
B
+
) понимают множество, состоящее из 
элементов этих множеств, т.е.

 
A
B
x
x
A

=
∈
{ :
 или x
B
∈ }.

Пример 1.1. Пусть A = {
}
1 2 3 7 8
, , , ,
,
 
 
 
 
 B = {
}
0 2 3 4 5 6 9
, ,
,
, , ,
.
 
 
 
 
 
 
 Тогда 

A
B

= {
}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , ,
, , , ,
,
.
  
 
 
 
 
 
 
 

Пример 1.2. Пусть C
n
= {
} = {
}
2 4 6
2
,
,
,
 
 
 и D
n
= {
} =
−
{
}
1 3 5
2
1
, , ,
 
 
– 
два множества соответственно четных и нечетных положительных 
чисел. Тогда их суммой будет множество всех натуральных чисел:

 
C
D
n
n
N
∪
∪
…
= {
}
−
{
} = {
} =
2
2
1
1 2 3
,
, ,
.
 
 

Пример 1.3. Пусть E = −
{
}
1 0 1 3 5
,
, , ,
 
  
 
 и F = {
}
0 1 3
, ,
.
  
 Нетрудно заметить, что F
E
⊂
 и E
F
E

= −
{
} =
1 0 1 3 5
,
, , ,
.
 
  
 

Определение 1.4. Под произведением (пересечением) множеств A и B 
(обозначение: A
B

 или AB ) понимают множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно обоим этим множествам, т.е.

 
A
B
x
x
A

=
∈
{ :
 и x
B
∈ }.

Найдем произведения множеств, рассмотренных в примерах 1.1, 
1.2, 1.3:

 
A
B
C
D
E
F
F



= {
}
= ∅
=
2 3
,
;
;
.
 

Аналогично рассматриваются сумма и произведение любого 
числа (конечного или бесконечного) множеств.
Определение 1.5. Под разностью множеств A и B (обозначение:

A
B
\
) понимают множество, состоящее из элементов A, не принадлежащих множеству B, т.е.

 
A
B
x
x
A
x
B
\
:
,
.
=
∈
∈
{
}
=>

Для множеств, рассмотренных в примерах 1.1–1.3:

 
A
B
C
D
n
E
F
\
, ,
;
\
;
\
,
.
= {
}
= {
}
= −
{
}
1 7 8
2
1 5
 
 

Если B
A
⊂
,  то разность A
B
\
 называется дополнением множества 
B до множества A и обозначается C B
A , т.е.

 
A
B
C B
A
\
.
=

Чтобы дать геометрическую интерпретацию введенных операций 
над множествами, рассмотрим точечные множества, расположенные 
на плоскости (рис. 1.1).
На рис. 1.1 слева рассмотрены два круговых точечных множества 
A и B на плоскости: первый круг A заштрихован горизонтально, второй круг B — вертикально. Их сумма, произведение и разность представлены на том же рисунке справа и заштрихованы наклонно.
Пример 1.4. Доказать, что A
B
A
A
B

=
(
)
\
\
.

|  Пусть x
A
B
∈

 ⇒  x
A
∈
 и x
B
∈ .  Следовательно, x
A
B
∈
\
.  
Так как x
A
∈ ,  то x
A
A
B
∈
(
)
\
\
.  Итак,

 
A
B
A
A
B

⊂
(
)
\
\
.

Пусть теперь x
A
A
B
∈
(
)
\
\
 ⇒  x
A
∈ ,  но x
A
B
∈
\
 ⇒  x
B
∈ . Так 
как x
A
∈
 и x
B
∈ , то x
A
B
∈

. Следовательно,

 
A
A
B
A
B
\
\
.
(
) ⊂


Полученные два противоположных включения доказывают равенство рассматриваемых множеств.  |

Рис. 1.1

Пример 1.5. Справедлив принцип двойственности в теории множеств:

а) C
A
CA
n
n
n
n
∩
∪
(
) =
;   б) C
A
CA
n
n
n
n
∪
∩
(
) =
,

т.е.: а) дополнение произведения множеств равно сумме их дополнений; б) дополнение суммы множеств равно произведению их дополнений.

|  Для определенности докажем равенство множеств, рассматриваемых в пункте а). Справедливость утверждения в пункте б) проверяется аналогично.

Пусть x
C
A
x
A
n
n
n
n
∈ (
)
⇒
∈


 ⇒  ∃
=
 n
k,  что x
Ak
∈
 ⇒  x
CAk
∈
 

⇒  x
C A
n
n
∈
,  т.е. C
A
C A
n
n
n
n
∩
∪
(
) ⊂
.

Пусть теперь, наоборот, x
C A
n
n
∈
. Следовательно, ∃
=
 n
k,  что 

x
CAk
∈
 ⇒  x
Ak
∈
 ⇒  x
A
n
n
∈
 ⇒  x
C
A
n
n
∈ (
)

.  Следовательно, 

∪
∩
n
n
n
n
C A
C
A
⊂ (
).  Из взаимно противоположных включений следует 

равенство рассматриваемых множеств:

 
C
A
C A
n
n
n
n
∩
∪
(
) =
.  |

Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1.1. Если множества An  ( n =
∞
1,
) образуют убывающую 
последовательность: A
A
An
1
2
⊃
⊃
⊃
⊃
...
... — и их пересечение пусто, 

т.е. 
n
n
A
=

∞
= ∅
1
, то

 
A
A
A
n
n
n
1
1
1
=
(
)
=

∞

+

\
,

где слагаемые в правой части не пересекаются.

|  То, что слагаемые в правой части не пересекаются и правая 
часть включается в A1,  очевидно. Покажем обратное включение. 
Пусть x
A
∈
1.  Так как пересечение рассматриваемых множеств пусто, 
то существует наибольший номер n, например n
k
= ,  что x
Ak
∈
,  но 

x
Ak
∈
+1.  Следовательно, x
A
A
k
k
∈
+
\
1  ⇒  x
A
A
n
n
n
∈
(
)
=

∞

+

1
1
\
, и обратное 
включение доказано.  |

Теорема 1.2. Пусть задана последовательность An ( n =
∞
1,
) попарно непересекающихся множеств и B
A
m
n m
n
=
=
+

∞

1
. Тогда 
m
m
B
=

∞
= ∅
1
 

и множества Bm  образуют убывающую последовательность.

|  Предположим, вопреки доказываемому, что пересечение 
m
m
B
=

∞

1
 

не пусто, т.е. ∃
∈
 x
Bm  для ∀m. В частности, x
B
∈
1.  Следовательно, 

∃  номер n
k
=
≥ 2,  что x
Ak
∈
.  Так как x
An
∈
 при n
k
> ,  то 

x
B
A
m
n m
n
∈
=
=
+

∞

1
 при m
k
≥ ,  что противоречит сделанному предположению.  |

Теорема 1.3. Если множества An( n =
∞
1,
) образуют возрастающую 

последовательность и A
A
n
n
=
=

∞

1
, то

 
A
A
A
A
A
A
n
n
=
(
)
(
)
−
1
2
1
1
∪
∪…∪
∪…
\
\
,

где слагаемые справа не пересекаются.

|  Так как правая часть содержится в левой, то проверяем только 
обратное включение.
Пусть x
A
∈ . Тогда существует наименьший номер n, например 

n
n
=
0, при котором x
An
∈
0 , но x
An
∈
−
0 1. Следовательно, x
A
A
n
n
∈
−
0
0 1
\
,  
т.е. этот элемент принадлежит правой части доказываемого равенства. Если n0
1
= , то x
A
∈
1.  |

1.2. ЭквивалеНТНЫе МНоЖесТва.  
счеТНЫе и НесчеТНЫе МНоЖесТва.  
МощНосТь МНоЖесТв

Если множества конечные, то, подсчитав число элементов в 
каждом из них, мы можем сравнить эти множества, т.е. определить, 
в каком из них элементов больше или меньше. Этот подход совершенно неприемлем для бесконечных множеств. Для их сравнения 
вводится понятие эквивалентности множеств.
Определение 1.6. Два множества A и B называются эквивалентными (имеющими одну и ту же мощность, обозначение: A ~ B ), если 
между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие

 
A
a
b
B
    ↔
∈ .

Очевидно, все конечные множества, состоящие из одинакового 
количества элементов, эквивалентны между собой и за мощность 
таких множеств принимают число их элементов. В частности, мощность множества A a a
am
1
2
,
,
,

{
}  (обозначение: n A
( ) ) равна m, 
т.е. n A
m
( ) =
. Мощность пустого множества равна нулю: n ∅
( ) = 0.

В математике важную роль играют множества, эквивалентные 
множеству натуральных чисел, т.е. множеству N= {
}
1 2
, ,
, ,
.
 

n
 Такие 
множества называются счетными, и их мощности приписывается 
число a, т.е. n N
a
(
)
.
=
 Справедливо следующее очевидное утверждение, выражающее необходимое и достаточное условие счетности 
множеств.
Теорема 1.4. Для того чтобы множество A было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его элементы можно было перенумеровать, 
т.е. A a a
an
1
2
,
,
,
,
.


{
}

Из бесконечных множеств, оказывается, самыми «бедными» являются счетные множества. В этом убеждает следующая теорема.
Теорема 1.5. Из любого бесконечного множества A можно выделить его счетную правильную часть B
a a
A
={
} ⊂
1
2
,
,
.


|  Из множества A выберем некоторый элемент a1. Так как множество A
a
\
1
{ }  бесконечно, из него аналогичным образом выберем 
элемент a2. Затем выберем элемент a3 из множества A
a a
\
,
.
1
2
{
}  На 
n­м шаге выберем элемент an из множества A
a a
an
\
,
,
,
.
1
2
1

−
{
}  Ясно, 
что, продолжая этот процесс бесконечно, мы построим требуемое 
счетное множество B
a a
a
A
n
= {
} ⊂
1
2
,
,
,
,
.


 |

Существуют несчетные множества, т.е. бесконечные множества, 
не эквивалентные множеству натуральных чисел. В частности, справедлива следующая важная теорема.

∈

Теорема 1.6. Сегмент 0 1
,
[
]  несчетен, и все сегменты (ограниченные или неограниченные) эквивалентны между собой.

|  Вопреки доказываемому, предположим, что сегмент ∆ =[
]
0 1
,
 счетен. Тогда согласно теореме 1.4 его элементы можно перенумеровать: 
1 0
1
2
,
,
,
,
,
.
[
] = {
}
a a
an


 Далее, разделим сегмент 0 1
,
[
]  на три равные 

части: ∆11
0 1
3
= 



,
, ∆12
1
3
2
3
= 



,
 и ∆13
2
3 1
= 



,
.  Число a1 не принадлежит 

хотя бы одной из них. Обозначим ее через ∆1. Следовательно, a1
1
∈∆  и 

mes ∆1
1
3
(
) =
. А теперь уже сегмент ∆1  разбиваем на три равные части: 

∆
∆
∆
∆
1
21
22
23
=


. Одной из них не принадлежит a2. Обозначим ее 

через ∆2 . По условию a2
2
∈∆  и mes ∆2
1
9
(
) =
.  На n­м шаге построим 

сегмент ∆n  с длиной mes
n
n
∆
(
) = 1
3 , не содержащий an. Продолжая этот 

процесс бесконечно, построим последовательность вложенных друг в 
друга сегментов

 
∆
∆
∆
∆
⊃
⊃
⊃
⊃
⊃
1
2
...
...,
n

длины которых mes
n
n
∆
(
) =
→
1
3
0,  n → ∞. По лемме о вложенных сегментах [3] они имеют общую точку ξ ∈
=

∞

n
n
1∆ .  Точка ξ , будучи точкой 

сегмента ∆, совпадает с одной из ak,  например ξ = an.  Так как 

ξ =
∈
=

∞
an
n
n

1∆ , то an
n
∈∆ .  Но по построению an
n
∈∆ .  Получили противоречие, которое показывает ошибочность нашего исходного 
предположения. Следовательно, сегмент ∆  несчетен.
Для доказательства второй части теоремы сначала рассмотрим 
ограниченные сегменты, например сегменты B =[
]
α β
,
 и A
a b
=[
]
,
. 

Нетрудно проверить, что функция y
a
b
a x
=
+
−
−
−
(
)
β
α
α  устанавливает 

взаимно­однозначное соответствие между точками этих сегментов. 
Здесь x и y — соответствующие точки сегментов B и A. Причем при 
x
B
=
∈
α
 получаем точку y
a
A
=
∈ ,  а при x
B
=
∈
β
— точку y
b
A
=
∈ . 
Если теперь x, монотонно возрастая, пробегает сегмент B =[
]
α β
,
, то 
вышеуказанная функция как непрерывно возрастающая функция 
принимает все свои значения от a до b.