Теория принятия решений и управление рисками в финансовой и налоговой сферах

Серия «Учебные издания для бакалавров» 

А. И. Новиков, Т. И. Солодкая  

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 
И УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ 
В ФИНАНСОВОЙ И НАЛОГОВОЙ 
СФЕРАХ  

Учебное пособие 

5-е издание, стереотипное

Москва  
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 
2022 

УДК 336.02 
ББК 65.26 
Н73 
Авторы: 
А. И. Новиков — доктор физико-математических наук, профессор; 
Т. И. Солодкая — кандидат физико-математических наук, доцент. 
Рецензенты: 
В. Е. Поляк — кандидат физико-математических наук, член-корреспондент 
Международной академии информатизации; 
М. В. Дуброва — кандидат экономических наук, профессор. 

Новиков А. И. 
Теория принятия решений и управление рисками в финансовой 
и налоговой сферах: Учебное пособие / А. И. Новиков, Т. И. Со- 
лодкая. — 5-е изд., стер. — М.: Издательско-торговая корпорация 
«Дашков и Ко», 2022. — 284 с. 
ISBN 978-5-394-04779-4 
В учебном пособии рассматриваются основы теории принятия 
рисковых решений, финансовая математика, методы оценки и анализа 
рисков инвестиционных проектов. 
Отдельные темы посвящены определению риска финансовых активов, 
портфельному анализу и ценообразованию на финансовых рынках, методам 
снижения риска, в том числе хеджированию с помощью опционов, а также 
анализу финансовой устойчивости и риска фирмы на основе эффекта рычага. 
По всем темам приведены примеры с подробным решением. 
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 
«Экономика», а также преподавателей экономических вузов. 

Подписано в печать 20.09.2021. Формат 60 84 1/16.  
Печать офсетная. Бумага газетная. Печ. л. 18. Тираж 100 экз. 

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732 
Тел.:  8 (495) 668-12-30, 8 (499) 182-01-58 
Email: sales@dashkov.ru — отдел продаж; 
office@dashkov.ru — офис; http://www.dashkov.ru 

ISBN 978-5-394-04779-4 
© Новиков А. И., Солодкая Т. И., 2011 
© ООО «ИТК «Дашков и К°», 2011 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Основы теории принятия рисковых решений ............................. 7 
1.1. Вероятностная постановка принятия  
предпочтительных решений ............................................................... 7 
1.2. Статистические методы принятия решений  
в условиях риска ................................................................................ 17 
1.3. Критерии оптимальности принятия решений  
в условиях неопределенности и риска ............................................ 20 
1.4. Выбор решений с помощью дерева решений .......................... 31 

2. Финансовая математика ................................................................ 37 
2.1. Логика финансовых операций ................................................... 37 
2.2. Простые проценты ..................................................................... 42 
2.2.1. Наращение простыми процентами .................................... 42 
2.2.2. Дисконтирование по простым процентам ........................ 53 
2.2.3. Наращение по учетной ставке ........................................... 56 
2.3. Сложные проценты .................................................................... 60 
2.3.1. Наращение сложными процентами ................................... 60 
2.3.2. Дисконтирование и учет ..................................................... 67 
2.3.3. Номинальная и эффективная учетные ставки .................. 68 
2.3.4. Наращение по сложной учетной ставке ............................ 70 
2.3.5. Непрерывное наращение и дисконтирование .................. 71 
2.4. Учет инфляции в финансовых вычислениях ........................... 73 
2.5. Финансовые ренты ..................................................................... 77 

3. Методы оценки инвестиционных проектов ............................... 91 
3.1. Основные понятия инвестиционного анализа ......................... 91 
3.2. Принятие решений  по инвестиционным проектам ................ 92 
3.2.1. Метод расчета чистого приведенного дохода .................. 92 
3.2.2. Метод расчета индекса рентабельности инвестиции ...... 96 
3.2.3. Метод расчета внутренней нормы  доходности 
инвестиции .................................................................................... 97 

3.2.4. Метод определения срока  окупаемости инвестиций .... 101 
3.2.5. Метод расчета коэффициента эффективности  
инвестиции .................................................................................. 104 
3.2.6. Сравнительная характеристика,  взаимосвязь  
критериев и точка Фишера ......................................................... 106 
3.2.7. Анализ проектов в условиях инфляции .......................... 109 
3.3. Методы анализа рисков долгосрочных инвестиционных  
проектов ........................................................................................... 110 
3.3.1. Метод изменения денежного потока ............................... 110 
3.3.2. Метод поправки  на риск коэффициента  
дисконтирования ......................................................................... 112 
3.3.3. Метод анализа чувствительности критериев 
эффективности ............................................................................ 113 
3.3.4. Метод сценариев ............................................................... 122 
3.3.5. Метод Монте-Карло ......................................................... 124 

4. Измерение риска финансовых активов ..................................... 127 
4.1. Понятие риска финансового актива........................................ 127 
4.2. Полная рисковая характеристика отдельных акций ............. 137 
4.3. Функция рискового предпочтения .......................................... 143 

5. Портфельный анализ .................................................................... 149 
5.1. Портфель ценных бумаг и его характеристики ..................... 149 
5.2. Эффекты диверсификации портфеля ..................................... 150 
5.3. Формирование оптимального портфеля ................................ 155 
5.3.1. Понятия эффективного и оптимального портфелей ...... 155 
5.3.2. Портфель из рискового и безрискового активов ........... 156 
5.4. Основные задачи оптимизации ............................................... 165 

6. Модель ценообразования на финансовые активы .................. 179 
6.1. Общие сведения о модели САРМ ........................................... 179 
6.2. Однофакторная модель доходности ....................................... 180 
6.3. Рыночная модель и характеристическая линия  
ценной бумаги ................................................................................. 181 

6.4. Модель оценки доходности финансовых активов с учетом 
рыночного риска.  Линия рынка ценных бумаг ........................... 191 
6.5. Линия рынка капитала ............................................................. 195 

7. Арбитражная теория ценообразования (АРТ) ......................... 200 
7.1. Концепция АРТ ........................................................................ 200 
7.2. Основные уравнения АРТ ....................................................... 201 
7.3. Основные факторы модели АРТ ............................................. 206 

8. Общие методы уменьшения рисков ........................................... 210 
8.1. Диверсификация ....................................................................... 210 
8.2. Хеджирование ........................................................................... 211 
8.3. Страхование .............................................................................. 213 
8.4. Форвардные и фьючерсные контракты .................................. 215 

9. Опционы и ценообразование опционов .................................... 218 
9.1. Виды опционов ......................................................................... 218 
9.2. Определение доходов по опциону .......................................... 219 
9.3. Биномиальная однопериодная модель ................................... 222 
Использование эквивалентных портфелей для оценки 
стоимости рискованных инвестиционных проектов ............... 227 
9.4. Стоимость опциона в условиях непрерывного изменения 
цены базового актива ...................................................................... 231 
9.5. Оценка стоимости реальных опционов  на расширение 
бизнеса .............................................................................................. 235 

10. Финансовая устойчивость  и риск фирмы ............................. 241 
10.1. Общее понятие об эффекте рычага ....................................... 241 
10.2. Базовая модель фирмы ........................................................... 242 
10.3. Эффект операционного рычага.  Методика расчета 
операционного риска фирмы.......................................................... 250 
10.4. Влияние структуры капитала  на финансовый  
риск фирмы ...................................................................................... 255 

10.5. Взаимодействие финансового  и операционного рычагов  
и оценка суммарного риска, связанного с предприятием ........... 260 

11. Прогнозирование  финансово-экономических  
показателей ......................................................................................... 268 
11.1. Виды схем адаптивных моделей прогнозирования ............. 268 
11.2. Адаптивное прогнозирование  по схеме скользящего 
среднего ............................................................................................ 269 
11.3. Прогнозирование с помощью моделей авторегрессии ....... 276 

Литература .......................................................................................... 284 
 
 
 

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ 
РИСКОВЫХ РЕШЕНИЙ 

1.1. Вероятностная постановка принятия 
предпочтительных решений 

В общем случае под риском в экономике понимают возможность 
отклонения фактических результатов проводимых финансово-
хозяйственных операций от ожидаемых (прогнозируемых). При 
этом под результатом (эффективностью) финансовой операции 
обычно понимают ее доходность, прибыль, дивиденды и т. д. Чем 
шире диапазон возможных отклонений, тем выше риск данной операции. 

Риск и доходность, как правило, изменяются в одном направлении: 
чем выше доходность, тем больше риск.  
Количественная оценка риска финансовой операции возможна 
только при известной вероятностной характеристике множества исходов 
операции.  
Случайной называется величина, которая в зависимости от случая 
может принимать то или иное, заранее неизвестное значение из 
некоторого множества возможных значений. 
Случайная величина будет полностью определена, если указаны 
не только возможные ее значения, но и соответствующие им вероятности (
закон распределения случайной величины). 
Для дискретной случайной величины X этот закон задается в 
виде таблицы, в которой перечисляются все ее возможные значения 
(xi) и их вероятности (pi), при этом ∑ pi = 1. 
Однако для решения многих практически важных задач часто 
бывает достаточно знать лишь числовые характеристики случайной 
величины.  
Важнейшие из них следующие: математическое ожидание М, 
дисперсия (σ2), среднее квадратическое отклонение σ: 

D
p
M
x
D
p
x
M
i
i
i
i









,
)
(
,
2
2
. 

Математическое ожидание М случайной величины — это среднее 
ее значение и не позволяет достаточно обоснованно принять решение 
в пользу какого-либо варианта. Для окончательного решения 
необходимо измерить колеблемость показателей, т. е. степень их 
отклонения от ожидаемого значения.  
Дисперсия σ2 и среднее квадратическое отклонение σ являются 
мерами колеблемости (разброса) случайной величины, при этом σ 
выражена в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. 

Принято считать, что риском операции является число σ — 
среднее квадратическое отклонение случайной величины (например, 
дохода). 
Чем больше σ, тем рискованнее операция. Если σ = 0, то риск 
полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики 
операции с государственными ценными бумагами считаются без-
рисковыми. 
Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе 
рисков, является коэффициент вариации: 

%
100


 M
V
. 

Коэффициент вариации — относительный показатель, поэтому 
с его помощью можно сравнивать колеблемость признаков, выраженных 
в разных единицах измерения. Чем больше коэффициент 
вариации, тем сильнее колеблемость. 
Пример 1.1. Сравним по риску вложения в акции трех типов: 
А, В, С, если каждая из них по-своему откликается на возможные 
рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных 
значений доходности, заданных в таблице. 
 

Тип 
акции 

Ситуация 1 
Ситуация 2 

вероятность 
доходность,  
% 
вероятность 
доходность,  
% 

А 
В 
С 

0,50 
0,99 
0,70 

20,0 
15,1 
13,0 

0,50 
0,01 
0,30 

10,0 
5,1 
7,0 

Для акции А находим: 
MA = 20 · 0,5 + 10 · 0,5 = 15%; 
2
А

= (20 – 15)2 · 0,5 + (10 – 15)2 · 0,5 = 25; 

%
5
25 

A
; 
%.
3,
33
%
100
15
5



A
V
 

Для акции B находим: 
MB=15,1 · 0,99 + 5,1 · 0,01 = 15%;  
2
В

= (15,1 – 15)2 · 0,99 + (5,1 – 15)2  ·  0,01 = 0,99;  

%
995
,0
99
,0


B
; 
%.
6,6
%
100
15
995
,0



B
V
 

Для акции C находим: 
MC = 13 · 0,7 + 7 · 0,3 = 11,2%;  
2
С

= (13 – 11,2)2 · 0,7+ (7 – 11,2)2 · 0,3 = 7,56; 

%
75
,2
56
,7


C
; 
%.
6,
24
%
100
2,
11
75
,2



C
V
 

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем 
для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, 
тем более что и σB = 0,995% наименьшее. 
Пример 1.2. Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый 
с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн руб., однако с 
вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн руб. Для второго проекта 
с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб. и с вероятностью 
0,2 потерять 6 млн руб. Какой проект выбрать? 
Составляем следующую таблицу распределения: 
 
Проект 
Вероятность 
Прибыль, 
млн руб. 
 
Вероятность 
Прибыль, 
млн руб. 

1 
2 
0,6 
0,8 
15 
10 
 
0,4 
0,2 
-5,5 
-6 

 
Первый проект: M1 = 0,6  ·  15 + 0,4  ·  (–5,5) = 6,8;  
2
1
 = 0,6  ·  (15 – 6,8)2 + 0,4 · (–5,5 – 6,8)2 = 100,8;  

σ1 =
8,
100
.= 10,03. 

Второй проект: M2 = 0,8  ·  10 + 0,2 · (–6) = 6,8;  
2
2
 = 0,8 · (10 – 6,8)2 + 0,2 · (–6 – 6,8)2 = 40,96; σ2 =
96
,
40
.= 6,40. 
Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыль, равную  
6,8 млн руб., однако среднеквадратичное отклонение прибыли для пер- 
вого проекта равно 10,03 млн руб., а для второго — 6,40 млн руб., 
поэтому предпочтителен второй проект. 
Следующие утверждения о риске являются следствиями соответствующих 
утверждений о дисперсии и среднем квадратическом 
отклонении из теории вероятностей. 
1. При увеличении масштаба операции в k раз, т. е. при увеличении 
всех значений случайного дохода в к раз, дисперсия операции 
увеличивается в k2 раз, а риск — в |k| раз. 
2. При изменении всех доходов на одно и то же постоянное 
число дисперсия и риск операции не изменяются. 
3. Пусть операции Q1 и Q2 некоррелированы, тогда дисперсия 
их суммы равна сумме дисперсий, следовательно, риск суммы опе-

раций равен 
2
2
2
1





. Напомним, что случайные величины Х, У 
называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции 
равен нулю. 
4. В общем случае для двух произвольных операций Q1 и Q2 
риск суммарной операции  

12
2
1
2
2
2
1
2









,  

где ρ12 — коэффициент корреляции случайных доходов операций. 
Пример 1.3. Рассмотрим две вероятностные операции: 




 
99
,0
01
,0
25
5
  :
1
Q
;
 




5,0
5,0
25
15
  :
2
Q
.
 
Пусть операции Q1 и Q2 некоррелированы. Найдем риск операции: 
Q = (Q1 + Q2)/2 (например, денег не хватит на проведение обеих 
операций в полном объеме). 
Найдем сначала математические ожидания, дисперсии и риски 
первой и второй операций. 
M1 = 0,01 · (–5)+0,99 · 25 = 24,7;  

2
1
  = 0,01 · (–5 – 24,7)2 + 0,99 · (25 – 24,7)2 = 8,91; 

98
,2
91
,8
1



.  
Аналогичные вычисления для второй операции дают: 
M2 = 20, σ2 = 5,00. Первая операция менее рискованная. 

Риск операции Q равен 
91
,2
2
/
5
98
,2
2
2
12




. 
Выбор оптимального решения с помощью доверительных 
интервалов. Если результаты экономической деятельности (прибыль, 
доход и т. д.) как случайные величины подчиняются нормальному 
закону, то с вероятностью 0,997 (практически достоверно) 
возможные значения случайной величины лежат в пределах М ± 3σ, 
или М – 3σ < X < M + 3σ. 
Пример 1.4. Акционерному обществу предлагают два рискованных 
проекта. Исходные данные приведены в таблице. 
 
Показатель 
Проект 1 
Проект 2 

Вероятность события 
0,2 
0,6 
0,2 
0,4 
0,2 
0,4 

Наличные поступления, млн руб. 
40 
50 
60 
 0 
50 
100 

 
Учитывая, что фирма имеет долг в 80 млн руб., какой проект 
должны выбрать акционеры и почему?  
Первый проект: 
M1 = 0,2  ·  40 + 0,6 · 50 + 0,2 · 60 = 50 млн руб.;  
σ1 = [0,2  ·  (40 – 50)2 + 0,6 · (50 – 50)2 + 0,2 · (60 – 50)2]1/2 = 6,32. 
Второй проект: 
M2 = 0,4  ·  0 + 0,2  ·  50 + 0,4  ·  100 = 50 млн руб.;  
σ2 = [0,4 · (0 – 50)2 + 0,2 · (50 – 50)2 + 0,4 · (100 – 50)2]1/2 = 44,72. 
Как видно из вычислений, математические ожидания М для 
обоих проектов оказываются равными, но σ1 < σ2, т. е. проект 2 является 
более рискованным. Казалось бы, без сомнений следует принять 
проект 1. 
Однако не следует терять из виду представленное в условиях 
задачи указание, что фирма имеет фиксированные платежи по долгам 
80 млн руб. и этот факт может изменить решение на противоположное. 

Если предположить доходность Q по проектам 1 и 2 распределенной 
по нормальному закону, то с вероятностью 0,997 возможные 
значения выигрышей и платежей окажутся в диапазонах: 
проект 1: Q = 50 ± 3 · 6,324, или 31,03 < Q < 68,97; 
проект 2: Q = 50 ± 3 · 44,72, или –84,16 < Q < 184,16. 
При выборе менее рискового проекта 1 компания может в 
большей степени уменьшить свой долг в 80 млн руб., но без дополнительных 
финансовых источников (условием задачи они не предусмотрены) 
от долгов предприятие полностью не освободится. 
Сильно рискуя при принятии проекта 2, фирма (если повезет) 
может полностью освободиться от долгов, получив при этом еще и 
немалую прибыль, а при неудаче компанию ожидает банкротство. 
Вывод. Принимая рисковый проект 2, если повезет, можно сразу 
решить все финансовые проблемы, оставшись еще с прибылью, 
тогда как, выбрав низко-рисковый проект 1, от долгов не уйти ни 
при каких обстоятельствах. 
Некоторые общие измерители риска. В большинстве случаев 
общие измерители риска — это вероятности нежелательных событий. 
Пусть известна функция распределения F случайного дохода Q, т. е. 
F(x) = P(Q ≤ x), 

где х — некоторое действительное число. 
Зная F(x), можно придать смысл следующим вопросам и ответить 
на них. 
1. Какова вероятность того, что доход операции будет меньше заданного 
дохода s, т. е. каков риск получения дохода, менее заданного? 

P(Q ≤ s) = F(s). 

2. Какова вероятность того, что операция окажется неуспешной, 
т. е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода mQ? 

P(Q ≤ mQ ) = F(mQ ). 

3. Какова вероятность убытков и каков их средний ожидаемый 
размер q, т. е. каков риск убытков и их оценка? 

)
0
(
/)
(
),
0
(
)
0
(

0
F
x
xdF
q
F
Q
P






. 

4. Каково отношение средних ожидаемых убытков q к среднему 
ожидаемому доходу mQ? 











)
(
/)
(
/

0
x
xdF
x
xdF
m
q
Q
. 

Чем меньше это отношение, тем меньше риск разорения, если 
ЛПР (лицо, принимающее решение) вложило в операцию все свои 
средства. 
При анализе операций ЛПР желает иметь доход как можно 
больше, а риск — как можно меньше. Такие оптимизационные задачи 
называют двухкритериальными. При их анализе два критерия — 
доход и риск — часто «свертывают» в один критерий. 
Например, одно и то же значение среднего квадратического отклонения 
σQ, которое измеряет риск операции, воспринимается по-
разному в зависимости от величины среднего ожидаемого дохода 
mQ, поэтому величину σQ /mQ иногда называют относительным риском 
операции (коэффициент вариации). Такую меру риска можно 
трактовать как свертку двухкритериальной задачи: 

mQ → max; 

σQ → min, 

т. е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновременной 
минимизации риска. 
Риск разорения. Особый вариант риска связан с разорением. 
Количественной мерой риска разорения является вероятность столь 
больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, 
следовательно, ведут к разорению. 
Пример 1.5. Пусть случайный доход операции Q имеет следующий 
ряд распределения: 
 
Q 
-60 
-40 
-30 
80 

p 
0,1 
0,2 
0,5 
0,2 

Потери в 30 ден. ед. или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, 
вероятность возникновения риска разорения в результате 
данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8. 

Степень риска разорения оценивается именно величиной соответствующей 
вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею 
часто пренебрегают. 
Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность 
осуществления подобного события. 
Пример 1.6. Предположим, что на рынке могут возникнуть 
только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным 
образом. Вероятности этих исходов и соответствующих 
им значений доходности задаются следующей таблицей: 
  

Акции 
Исход 1 
Исход 2 

Вероятность 
Доходность, % 
Вероятность 
Доходность, % 

А 
В 
0,3 
0,2 
6,00 
–1,00 
0,7 
0,8 
2,00 
4,25 

 
Ожидаемые доходности акций: 
MA = 6 · 0,3 + 2 · 0,7 = 3,2%, MB = –1 · 0,2 + 4,25 · 0,8 = 3,2% 
совпадают, а средние квадратичные отклонения (риски) равны: 
σA = [(6 – 3,2)2 · 0,3 + (2 – 3,2)2  · 0,7]1/2 = 1,83, 
σB = [(–1 – 3,2)2 · 0,2 + (4,25 – 3,2)2  · 0,8]1/2 = 1,85. 
Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, 
равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой 
доходности по акциям (3,2%), которые будут приобретены на заемные 
деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны. 
Однако если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 2 
он проиграет (2 – 2,5) = –0,5%, причем с вероятностью p2 = 0,7. Напротив, 
если он вложит деньги в акции В, то разорение ему грозит с 
вероятностью p1 = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет 
(–1 – 2,5) = –3,5%. 
Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В: 
ПА = 0,5 · 0,7 = 0,35, ПВ = 3,5 · 0,2 = 0,7. 
Ожидаемые потери ПА < ПВ склоняют инвестора к выбору в 
пользу акций А, зато риски разорения, оцениваемые через вероятность 
наступления события, наоборот, при приобретении акций А 
будут больше (0,7 > 0,2).  
Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит 
от его индивидуальных предпочтений, выражаемых, в том числе, 
функцией полезности инвестора.