Теория вероятностей и математическая статистика

К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, 
А. В. Рукосуев

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА
 
Учебник

6-е издание, стереотипное

Рекомендовано 
Государственным университетом управления 
в качестве учебника для студентов экономических вузов, 
обучающихся по направлению подготовки 
«Экономика» 

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2023

УДК 519.2
ББК 22.17
Б20
Авторы:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор — 
введение, глава 9 (пп. 9.6, 9.7, 9.8), глава 10 (п. 10.6);
В. Н. Башлыков — доцент — глава 1 (кроме пп. 1.1, 1.2, 1.3), главы 2–10 
(кроме пп. 9.6, 9.7, 9.8, 10.6), приложения;
А. В. Рукосуев — ст. преподаватель — глава 1 (пп. 1.1, 1.2, 1.3).

Рецензенты:
Н. И. Брагин — доктор экономических наук, профессор;
И. В. Минаев — доктор технических наук, профессор.

Балдин К. В.
Теория вероятностей и математическая статистика: 
Учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. — 
6-е изд., стер. — М.: Издатель ско-торговая корпорация 
«Дашков и К°», 2023. — 472 с.

ISBN 978-5-394-05335-1

Учебник содержит два раздела: “Теория вероятностей” и “Математическая статистика”. В него включены прикладные наработки 
авторов, вопросы для самоконтроля, примеры использования классических методов и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
Для студентов, аспирантов и преподавателей, а также для научных сотрудников, предпринимателей и менеджеров фирм.

Б20

ISBN 978-5-394-05335-1
© Коллектив авторов, 2009

Подписано в печать 28.09.2022. Формат 60×84 1/16. 
Печать офсетная. Бумага газетная.
Печ. л. 29,5. Тираж 100 экз. 

Издательско-торговая корпорация “Дашков и К°”
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732.
E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
office@dashkov.ru — офис; http://www.dashkov.ru

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Раздел I
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Случайные события.............................................................................16
1.1. 
Предмет теории вероятностей ....................................................16
1.2. 
Основные понятия и определения ...........................................21
1.3. 
Частота и вероятность. Способы нахождения 
вероятностей случайных событий ...........................................26
1.3.1. Аксиоматическое построение теории 
вероятностей ..............................................................................26
1.3.2. Классический способ определения 
вероятности .................................................................................30
1.4. 
Понятие условной вероятности. Стохастическая 
зависимость случайных событий .............................................32
1.5. 
Правила действий с вероятностями ......................................33
1.6. 
Повторение независимых испытаний. Схема 
Бернулли ........................................................................................................39
1.7. 
Формула полной вероятности .....................................................41
1.8. 
Формула Байеса ......................................................................................43
Вопросы для самопроверки .........................................................................46
Задачи для самостоятельного решения ........................................46

Глава 2. Случайные величины ........................................................................51
2.1. 
Случайные величины и их классификация ....................51
2.2. 
Закон распределения случайной величины 
и формы его представления ..........................................................52
2.2.1. Понятие распределения 
случайной величины ...........................................................52
2.2.2. Функция вероятности ........................................................53
2.2.3. Функция распределения .................................................54

2.2.4. Плотность распределения..............................................60
2.3. 
Числовые характеристики скалярных случайных 
величин ............................................................................................................62
2.3.1. Характеристики положения ........................................63
2.3.2. Характеристики рассеивания ....................................67
2.3.3. Моменты случайной величины ..................................71
2.4. 
Основные теоретические распределения 
скалярных случайных величин .................................................74
2.5. 
Распределение случайного вектора .......................................88
2.6. 
Частные и условные распределения компонент 
случайного вектора ...............................................................................93
2.6.1. Частные распределения ..................................................93
2.6.2. Условные распределения. Стохастическая 
зависимость случайных величин .............................97
2.7. 
Числовые характеристики векторных 
случайных величин ............................................................................101
2.8. 
Нормальное распределение двумерного 
случайного вектора ............................................................................106
Вопросы для самопроверки ......................................................................109
Задачи для самостоятельного решения .....................................109
Глава 3. Функции случайных аргументов .........................................113
3.1. 
Общая характеристика задач исследования 
функций случайных аргументов ...........................................113
3.2. 
Теоремы о числовых характеристиках 
случайных величин ............................................................................114
3.3. 
Определение числовых характеристик 
функций случайных аргументов ...........................................119
3.4. 
Распределение однозначного 
преобразования случайных величин .................................126
3.5. 
Распределение неоднозначного 
преобразования случайных величин .................................131
3.6. 
Распределение функции двух 
случайных величин ............................................................................133
3.7. 
Композиция распределений ......................................................135
3.7.1. Композиция нормального и 
равномерного распределений ..................................135
3.7.2. Композиция нормальных распределений .....138
Вопросы для самопроверки ......................................................................140
Задачи для самостоятельного решения .....................................141

Глава 4. Случайные процессы .......................................................................143
4.1. 
Понятие случайного процесса. 
Классификация случайных процессов .............................143
4.2. 
Вероятностные характеристики 
случайных функций ..........................................................................148
4.3. 
Основные типы случайных процессов ..............................157
4.4. 
Основное уравнение Маркова для марковских 
случайных процессов .......................................................................162
4.5. 
Дискретный марковский случайный процесс 
с дискретным временем .................................................................165
4.6. 
Потоки событий .....................................................................................171
4.7. 
Дискретный марковский случайный процесс 
с непрерывным временем .............................................................176
4.8. 
Процесс гибели и размножения ..............................................185
4.9. 
Системы массового обслуживания .......................................187
4.9.1. Система массового обслуживания 
с отказами ..................................................................................189
4.9.2. Система массового обслуживания 
с ожиданием.............................................................................196
Вопросы для самопроверки ......................................................................202
Задачи для самостоятельного решения .....................................203

Раздел II
Математическая статистика

Глава 5. Статистические методы оценивания 
характеристик продукции ..........................................................206
5.1. 
Общая характеристика статистических методов 
оценивания характеристик продукции ...........................206
5.2. 
Общая схема эксперимента ........................................................209
5.3. 
Сущность выборочного метода ................................................212
5.4. 
Понятие о законе больших чисел 
и центральной предельной теореме ....................................217
Вопросы для самопроверки ......................................................................222
Задачи для самостоятельного решения .....................................223

Глава 6. Методы статистической обработки 
результатов испытаний ................................................................224
6.1. 
Постановка задачи оценивания вероятностных 
характеристик случайных величин ....................................224

6.2. 
Основные требования к оценкам ............................................225
6.3. 
Оценивание законов распределения 
случайных величин ............................................................................229
6.4. 
Точечное оценивание числовых характеристик 
случайных переменных .................................................................236
6.4.1. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................236
6.4.2. Оценивание математического ожидания 
случайной величины ........................................................238
6.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного 
отклонения случайной величины .........................242
6.4.4. Определение числовых характеристик 
случайных величин при большом объеме 
измерений ..................................................................................244
6.5. 
Интервальное оценивание числовых 
характеристик случайных переменных ..........................245
6.5.1. Понятие доверительной вероятности 
и доверительного интервала .....................................245
6.5.2. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................249
6.5.3. Оценивание математического ожидания .......254
6.5.4. Оценивание стандартного отклонения ............259
Вопросы для самопроверки ......................................................................263
Задачи для самостоятельного решения .....................................265
Глава 7. Статистическая проверка гипотез .....................................268
7.1. 
Сущность проверки статистических гипотез .............268
7.2. 
Методы проверки гипотез 
о законах распределения ..............................................................276
7.2.1. Постановка задачи .............................................................276
7.2.2. Проверка гипотез о законе распределения......279
7.3. 
Методы проверки гипотез 
о параметрах законов распределения ...............................288
7.3.1. Проверка гипотез о равенстве 
математических ожиданий ........................................288
7.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .....294
7.4. 
Проверка гипотез методом 
последовательного анализа ........................................................300
7.4.1. Сущность метода 
последовательного анализа .......................................300

7.4.2. Проверка гипотезы о вероятности 
наступления случайного события ........................302
7.4.3. Проверка гипотезы о математическом 
ожидании ....................................................................................304
Вопросы для самопроверки ......................................................................306
Задачи для самостоятельного решения .....................................307

Глава 8. Методы статистического анализа 
результатов испытаний ................................................................311
8.1. 
Общая характеристика методов статистического 
анализа результатов испытаний ...........................................311
8.2. 
Основы дисперсионного анализа ...........................................313
8.2.1. Сущность дисперсионного анализа ....................313
8.2.2. Однофакторный дисперсионный анализ .......315
8.2.3. Проверка существенности влияния фактора 
в однофакторном дисперсионном анализе ...319
8.2.4. Выявление уровня фактора, влияющего на 
результаты испытаний ..................................................323
8.2.5. Примеры однофакторного дисперсионного 
анализа .........................................................................................326
8.2.6. Особенности проведения двухфакторного 
дисперсионного анализа ...............................................330
Вопросы для самопроверки ......................................................................335
Задачи для самостоятельного решения .....................................335

Глава 9. Основы регрессионного анализа ...........................................337
9.1. 
Сущность регрессионного анализа ......................................337
9.2. 
Задача регрессионного анализа ..............................................340
9.3. 
Метод наименьших квадратов .................................................342
9.4. 
Предпосылки регрессионного анализа .............................350
9.5. 
Статистический анализ уравнения регрессии ..........352
9.6. 
Спецификация регрессионной модели .............................379
9.7. 
Регрессионные модели 
с гетероскедастичными остатками .......................................383
9.8. 
Метод взвешенных наименьших 
квадратов ....................................................................................................393
9.9. 
Нелинейные регрессионные модели и их 
линеаризация ..........................................................................................397
9.9.1. Логарифмические модели ...........................................398
9.9.2. Полулогарифмические модели ..............................401

9.9.3. Логлинейная модель .........................................................401
9.9.4. Линейно-логарифмическая модель ....................403
9.9.5. Обратная модель .................................................................403
9.9.6. Степенная модель ...............................................................404
9.9.7. Показательная модель ...................................................406
9.10. Оценки коэффициентов нелинейных 
регрессионных моделей .................................................................407
9.10.1. Оценки коэффициентов параболы 
второго порядка ....................................................................407
9.10.2. Определение коэффициентов функций, 
отличных от полинома ....................................................408
Вопросы для самопроверки ......................................................................410
Задачи для самостоятельного решения .....................................411

Глава 10. Основы корреляционного анализа .....................................413
10.1. Сущность корреляционного анализа .................................413
10.2. Классификация методов 
корреляционного анализа ............................................................415
10.3. Однофакторный корреляционный анализ ....................415
10.4. Анализ тесноты связи .....................................................................419
10.5. Многофакторный корреляционный анализ .................421
10.6. Автокорреляция ...................................................................................427
Вопросы для самопроверки ......................................................................430
Задачи для самостоятельного решения .....................................430

Литература .........................................................................................................................433

Приложение ......................................................................................................................435

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях массового характера независимо от их конкретной природы.
Под случайным понимается явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания) каждый раз может протекать по-разному и точное прогнозирование результатов которого невозможно.
Различные результаты ряда одинаковых опытов всегда 
связаны с наличием второстепенных факторов, влияющих на 
исход опыта, но не заданных в числе его основных условий. Основные условия опыта определяют протекание явления в общих чертах и сохраняются неизменными, а второстепенные от 
опыта к опыту меняются и вносят случайные различия в результаты.
Со случайными явлениями приходится сталкиваться во 
многих практических задачах, которые требуют изучения не 
только основных закономерностей, определяющих явление в 
главных чертах, но и анализа случайных возмущений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих исходу опыта при заданных условиях элемент неопределенности.
Очевидно, должна существовать принципиальная разница 
в методах учета основных факторов, определяющих течение 
явления в главных чертах, и второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве возмущений. Элемент 
неопределенности, присущий случайным явлениям, требует 
создания специальных методов для изучения этих явлений.
Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. 
Ее предметом являются специальные закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. Закономерности, свойственные случайным явлениям, проявляются тем отчетливее, чем 

больше проведено опытов. Практика показывает, что подобные 
закономерности, или своего рода устойчивости, присущи массовым случайным явлениям. Именно эта устойчивость закономерностей, проявляющаяся в массовых случайных явлениях, 
служит базой для применения вероятностных методов исследования.
Вероятностный метод в науке не противопоставляется 
классическому детерминистскому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим изучать явление с учетом 
присущих ему элементов случайности.
В настоящее время многие науки кроме классического детерминистского подхода широко используют вероятностные 
методы исследования.
Большое значение для инженеров, экономистов, социологов и других специалистов имеют такие практические приложения теории вероятностей, как математическая статистика, 
теория надежности сложных систем, теория массового обслуживания и др.
Исторически теория вероятностей, как и любая другая область науки, развивалась из потребностей практики. Начало 
ее становления относится к ХVII веку. Необходимость разработки специального математического аппарата, приспособленного для анализа случайных явлений, диктовалась потребностью обобщения и обработки большого объема статистического 
материала, накопленного во многих областях науки. Однако 
эти задачи на начальном этапе развития теории вероятностей 
были слишком сложными, а законы, управляющие случайными явлениями, проступали недостаточно отчетливо. Необходимо было изучить закономерности случайных явлений на более 
простых задачах. Такими задачами оказались задачи из области “азартных игр”. Схемы азартных игр являются простыми моделями случайных явлений, позволяющими в простой и 
доступной форме изучать закономерности случайных явлений. 
В настоящее время примеры из области азартных игр часто используют при изучении и уяснении сущности основных правил 
и законов теории вероятностей.