Техническая механика

ТЕХНИЧЕСКАЯ 
М Е Х А Н И К А

УЧЕБНИК

Г.Г. САФОНОВА, Т.Ю. АРТЮХОВСКАЯ, Д.А. ЕРМАКОВ

Допущено

Федеральным агентством по строительству 

и жилищно-коммунальному хозяйству 

в качестве учебника для студентов 

средних специальных учебных заведений, 

обучающихся по строительным специальностям

Москва 
ИНФРА-М 

202

Сафонова Г.Г.

Техническая механика : учебник / Г.Г. Сафонова, Т.Ю. Артюхов
ская, Д.А. Ермаков. – Москва : ИНФРА-М, 2024. — 320 с. — (Среднее 
профессиональное образование). 

ISBN 978-5-16-012916-7 (print)
ISBN 978-5-16-105533-5 (online)

В учебнике изложены основные положения статики при действии сил 

на абсолютно твердое тело для плоской системы. Приведены простейшие 
расчеты элементов конструкций, работающих в условиях растяжения-сжатия, сдвига, изгиба. Даны методы расчета многопролетных статически 
определимых и неопределимых балок и рам, плоских ферм, подпорных 
стен.

Подробно разобраны примеры решения задач по всем темам и разделам, 

а также задачи для самостоятельного решения.

Для учащихся строительных колледжей.

УДК 531.8я7(075.32)

ББК 30.12я723

С21

© Сафонова Г.Г., Артюховская Т.Ю., 

Ермаков Д.А., 2009

УДК 531.8я7(075.32)
ББК 30.12я723
 
С21

Р е ц е н з е н т ы: 
А.Л. Воронцов, д-р техн. наук, проф. (Московская государственная академия приборостроения и информатики, МГАПИ);

Л.В. Клюкина (зав. отделением «Строительство городских путей сообщения» в Московском колледже «Градостроительство и предпринимательство», МКГП)

ISBN 978-5-16-012916-7 (print)
ISBN 978-5-16-105533-5 (online)

ВВЕДЕНИЕ

Техническая механика — комплексная дисциплина, состоящая 

из трех частей: «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Статика сооружений».

Впервые термин «механика» ввел Архимед (287—212 до н.э.).
В технической механике рассматривается взаимодействие 

внешних сил на сооружение, определяются усилия и деформации, возникающие в элементах конструкций зданий и сооружений под влиянием внешних воздействий, а также изучаются вопросы прочности материалов, устойчивости, жесткости элементов конструкций и надежности зданий и сооружений.

Начало развития науки о прочности конструкций относят к 

первой половине XVII в. и связывают с работами Галилео Галилея 
(1564—1642). Книга Галилея «Беседы и математические доказательства двух новых отраслей науки», изданная в 1638 г., содержала первые сведения о расчете балок и основы сопротивления материалов. Некоторые вопросы прочности материалов были затронуты в работах Леонардо да Винчи (1452—1519).

Расцвет механики начался в эпоху Возрождения в связи с разви
тием строительства домов, мостов, дорог. Роберт Гук (1635—1703) — 
англичанин, современник Ньютона — открыл закон о пропорциональной зависимости между нагрузкой и перемещением.

Арки и своды — очень древние конструкции, но вопрос о рас
чете арок возник только в конце XVII в. (Делагир). Ряд важнейших исследований в этой области выполнен академиком Петербургской академии наук, знаменитым математиком Леонардо Эйлером (1707—1783) — в частности, в 1773 г. им была решена задача 
об устойчивости сжатого стержня.

Гениальный русский ученый и изобретатель И.П. Кулибин 

(1735—1818) спроектировал деревянный арочный мост через Неву 
пролетом 300 м, модель моста в масштабе 1:10 (30 м) выдержала 
испытание на прочность под нагрузкой, однако проект остался 
неосуществленным. Если бы мост был построен, то представлял 
бы собой грандиозное сооружение. И.П. Кулибин был первым механиком, который изучил свойства веревочного многоугольника.

Расчет балки как упругого тела был сделан Брессом (1822—

1883) в 1854 г., он также разработал методику расчета двухшар

нирных и бесшарнирных арок. Расчет неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов был выполнен Клайпероном 
(1799—1864) в 1857 г.

В XIX в. в связи с бурным ростом промышленности и строи
тельства потребовались новые высокопрочные материалы. Французские инженеры и математики Навье и Коши получили полную 
систему уравнений для решения пространственной задачи изотропного тела. Первый систематический курс «Сопротивления 
материалов» был опубликован Навье в 1826 г. Французский математик Сен-Венан сыграл крупную роль в развитии математической теории упругости, решив задачу о косом изгибе бруса с произвольной формой сечения.

Развернувшееся в начале XIX в. строительство железных дорог 

поставило вопрос о расчете ферм. Первый правильный расчет 
фермы (системы ГАУ) был сделан известным мостостроителем 
Д.И. Журавским (1821—1891) в 1845 г. Ему же принадлежат исследования по теории изгиба балок. Профессор Ф.С. Ясинский 
(1856—1899) описал работу сжатых раскосов. Профессор Н.А. Белелюбский (1845—1922), автор проектов многих мостов, написал 
первый полный курс строительной механики.

Много нового в расчет ферм было внесено профессором Мос
ковского института инженеров путей сообщения Л.Д. Проскуряковым (1858—1926). При проектировании моста через реку Енисей в Красноярске он применил совершенно новые шпренгельные конструкции. Его двухтомный курс строительной механики, 
изданный в 1912 г., не утратил своего значения и в настоящее 
время.

Важную роль в популяризации новых методов при расчете 

стати чески неопределимых систем сыграли работы В.П. Кирпичева (1845—1916). Им был написан наиболее полный курс «Графической статики».

В прошлом столетии И.Т. Бубновым (1872—1919) и А.Н. Кры
ловым (1863—1945) были выполнены выдающиеся исследования 
в области строительной механики корабля. А.Н. Крылов первым 
предложил помещение корабля делить на отсеки, чтобы в случае 
пробоины в одном отсеке корабль не затонул. Им же была предложена теория вращательного движения снаряда.

Большой вклад в строительную механику внес профессор 

И.П. Прокофьев, написавший в 1932 г. «Теорию сооружений» в 
трех частях. Много ценных работ в различных областях строительной механики опубликовано Героем Социалистического Тру

да, чл.-корр. Академии наук СССР И.М. Рабиновичем. По расчету рам и балок, лежащих на упругом основании, много сделано 
профессором Б.Н. Жемочкиным.

Теория расчета статически неопределимых ферм была разра
ботана Максвеллом (1831—1879) в 1864 г. Предложенный им графический способ после работы Кремоны получил широкое распространение. Немецкий ученый Отто Мор (1835—1918) представил способ определения перемещений.

1. ТЕорЕТИчЕская мЕхаНИка

1.1. осНоВНыЕ положЕНИя

1.1.1. осНоВНыЕ поНяТИя сТаТИкИ

Статикой называется раздел механики, изучающий условия 

равновесия абсолютно твердых тел под действием приложенных 
к ним сил. Равновесием называется состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения тела по отношению к другим материальным телам. Если движением тела, 
по отношению к которому рассматривается равновесие, можно 
пренебречь, то равновесие тела будет абсолютным, в противном 
случае равновесие относительное. В статике рассматривается 
только абсолютное равновесие тел, называемых телом отсчета. 
Обычно при расчетах за тело отсчета принимают Землю.

В статике рассматриваются две основные задачи: приведение 

системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, к простейшему виду; определение условий равновесия абсолютно твердого 
тела под действием произвольной системы сил. Эти задачи можно решать с помощью геометрических построений (графоаналитический и графический методы) или с помощью численных расчетов (аналитический метод).

В теоретической механике рассматриваются абсолютно твер
дые тела, т.е тела, расстояние между двумя точками которых всегда остается постоянным. Это позволяет пренебречь теми свойствами реальных тел, которые не влияют на решение задач статики.

Любое тело можно представить в виде системы материальных 

точек. Материальной точкой называется тело, размером и формой 
которого можно пренебречь, но обладающее массой.

Рассматривая какое-либо тело, нельзя представить его изоли
рованно, вне влияния на него других тел. Это взаимное влияние 
проявляется в виде силы. Сила — мера механического взаимодействия тел. Сила есть векторная величина, т.е. она имеет точку при

ложения, направление и численное значение (модуль) (рис. 1.1.1). 
Единицей измерения силы в Международной системе единиц 
(СИ) является Ньютон (Н).

Несколько сил, действующих на данное тело, называется сис
темой сил, а каждая из этих сил является составляющей этой системы F
F
Fn
1
2
0
,
,
,


{
}.

Если под действием системы сил свободное тело не изменяет 

своего движения или продолжает оставаться в покое, то такая 
система сил называется уравновешенной F
F
Fn
1
2
0
,
,
,


{
}
.

Сила, которая, будучи присоединенной к некоторой системе 

сил, приводит систему к равновесию, называется уравновешивающей для данной системы сил (рис. 1.1.2).

Две системы сил, действующих на свободное твердое тело, на
зываются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не изменяя при этом состояние, в котором находится тело.

Одна сила, эквивалентная данной системе сил, называется 

равнодействующей этой системы (рис. 1.1.3).

Линия 
действия

F

Fn

F1

Fуравновешивающая

Fравн

F2

F2
F1
F3

Рис. 1.1.1

Рис. 1.1.3

Рис. 1.1.2

Силы разделяются на внешние и внутренние. Внешними назы
ваются силы, действующие на тело со стороны других тел. Силы 
взаимодействия между частицами данного тела называют внутренними силами.

1.1.2. аксИомы сТаТИкИ

Статика основана на аксиомах, вытекающих из опыта и при
нимаемых без доказательств. Аксиомы статики устанавливают 
основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому 
телу.

аксиома 1 (закон инерции)
Твердое тело, свободное от внешних воздействий, сохраняет 

состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

аксиома 2
Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действи
ем двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю 
и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны 
(рис. 1.1.4).

F2

Рис. 1.1.4

F1
F2
F1

|
|
|
|
F
F
1
2
=

;
F
F
1
2
0
{
} ∼

аксиома 3
Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не 

изменится, если к ней добавить или исключить из нее любую 
уравновешенную систему сил.

Другими словами, присоединяя к данной системе сил любую 

уравновешенную систему сил, получаем систему, эквивалентную 
данной. И наоборот, если в состав данной системы сил входит 
уравновешенная система сил, то ее можно отбросить.

следствие 1. Любую силу, приложенную к какой-либо точке 

твердого тела, можно перенести в любую другую точку, лежащую 
на линии действия этой силы.

Доказательство. Пусть на тело действует сила F−, приложенная 

к точке А (рис. 1.1.5). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две силы F−

1 и F−

2, равные по 

модулю силе F− (F = F1 = F2) и действующие с ней по одной прямой 
в противоположные стороны. По второй аксиоме статики они взаимно уравновешиваются; следовательно, на основании третьей 
аксиомы от их присоединения состояние абсолютно твердого 

тела не изменится. Но силы F−

1 и F−

2 также взаимно уравновешива
ются (на основании второй аксиомы) и их можно отбросить, не изменяя состояние абсолютно твердого тела. Остается одна сила F−

1, 

равная силе и лежащая на линии ее действия. Так как точка приложения силы F−

1 выбрана произвольно, то следствие доказано.

следствие 2. Равнодействующая и уравновешивающая силы 

равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Доказательство. Пусть сила F−

равн есть равнодействующая сил 

F−

1, F−

2, …, F−

n (рис 1.1.6). Приложим по линии действия равнодейс
твующей равную ей по модулю и направленную в противоположную сторону силу F−′. Силы F−

равн и F−′, равные по модулю и проти
воположно направленные, взаимно уравновешиваются. А так как 
сила F−′ уравновешивает равнодействующую F−

равн, то она будет 

являться уравновешивающей и для системы сил F−

1, F−

2, …, F−

n.

Из следствия 2 вытекает, что нахождение силы, уравновешива
ющей данную систему сил, можно свести к определению равнодействующей этой системы.

Fравн

F1

F1

Fn

B
B

A
A
D

C
F2

F2

F

Рис. 1.1.5
Рис. 1.1.6

′
Fуравн

аксиома 4
Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке под 

углом друг к другу, приложена к той же точке и изображается диагональю параллелограмма, построенного на данных силах как на 
сторонах.

Параллелограмм, построенный на данных силах, называется 

параллелограммом сил, а способ нахождения равнодействующей 
силы путем построения параллелограмма (рис. 1.1.7) — правилом 
параллелограмма: F−

равн = F−

1 + F−

2.

Сложение двух сил, как и других векторных величин, по пра
вилу параллелограмма называется геометрическим сложением.

аксиома 5  
(закон равенства действия и противодействия)
Всякому действию одного тела на другое соответствует равное 

по модулю и противоположно направленное действие второго 
тела на первое (рис. 1.1.8). Действие и противодействие всегда 
приложены к разным телам, поэтому они не могут уравновешиваться.

Fравн

F1

O

1
2

F2

F12
F21

Рис. 1.1.7
Рис. 1.1.8

аксиома 6 (принцип отвердевания)
Равновесие нетвердого тела не нарушится, если оно станет аб
солютно твердым.

1.1.3. сВобоДНыЕ И НЕсВобоДНыЕ ТЕла,  

сВязИ И рЕакцИИ сВязЕй

Под свободным телом понимается тело, не скрепленное с дру
гими телами, т.е. тело, которому можно сообщить любое перемещение в пространстве. Если никакие перемещения для тела невозможны, то тело называется несвободным, или связанным. В таком 
случае говорят, что на тело наложены связи. Связями называют 
тела, ограничивающие свободу перемещения данного тела. Наличие связей обусловливает возникновение сил, препятствующих 
перемещению несвободного тела. Эти силы называются реакцией 
связи.

Все действующие на тело силы можно разделить на активные 

и реактивные — реакции связи. К активным силам относят все 
силы, действующие на тело.

В отличие от активных сил сила реакции связи зависит от 

действующих на данное тело сил. Она существует лишь тогда, когда тело под действием приложенных к нему активных сил оказывает воздействие на данную связь. Если нет действия на связь, то 
не будет и противодействия связи (реакции связи).

Задачи на равновесие несвободных тел решаются в статике на 

основании следующего очевидного обстоятельства: всякое несво