Математические методы и модели в экономике

ǿȓȞȖȭ «ȁȥȓȏțȩȓ ȖȕȒȎțȖȭ Ȓșȭ ȏȎȘȎșȎȐȞȜȐ» 
 
 
dz. ǿ. ǸȡțȒȩȦȓȐȎ, ǯ. Ǯ. ǿȡȟșȎȘȜȐ 
 
ǺǮȀdzǺǮȀǶȅdzǿǸǶdz 
ǺdzȀǼDzȉ Ƕ ǺǼDzdzǹǶ  
ǰ ȋǸǼǻǼǺǶǸdz 
 
Учебник 
 
4-е издание, переработанное 
 
 
 
Рекомендовано 
Федеральным институтом развития образования 
в качестве учебника для использования в учебном процессе  
образовательных учреждений, реализующих программы  
высшего образования по направлению подготовки  
«Экономика» (уровень бакалавриата) 
 
 
 
Москва 
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 
2023 
 
1 

К91
УДК 330.4 
ББК 65.050 
 К91 
 
Рецензенты: 
Б. С. Касаев — доктор экономических наук, профессор, почетный работник 
ВПО РФ, Финансовый университет при Правительстве РФ; 
Ю. Н. Павловский — член-корреспондент РАН, доктор физико-математи- 
ческих наук, профессор, Федеральный исследовательский центр «Информатика и 
управление» РАН. 
 
 
 
Кундышева, Е. С.  
Математические методы и модели в экономике : учеб- 
ник для бакалавров / Е. С. Кундышева, Б. А. Суслаков. —  
4-е изд., перераб. — Москва : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2023. — 286 с. 
ISBN 978-5-394-05318-4. 
В учебнике рассматриваются математические методы в экономике, 
описываются методы построения экономико-математических моделей  
и даются готовые математические модели. 
Представленные в нем материалы дают возможность практического 
использования математических моделей в экономическом анализе, в принятии управленческих решений, в планировании и прогнозировании, в различных сферах и уровнях хозяйственного механизма. 
Для студентов экономико-математических направлений и профилей 
подготовки технических и экономических вузов и факультетов, бизнесменов, финансистов, менеджеров и бухгалтеров, преподавателей, а также для 
широкого круга читателей в качестве надежного самоучителя по экономикоматематическому моделированию и математическим методам в экономике.  
УДК 330.4 
ББК 65.050 
 
 
 
ISBN 978-5-394-05318-4 
© Кундышева Е. С., 2016 
 
© Кундышева Е. С., Суслаков Б. А., 2023 
 
   с изменениями 
 
© ИТК «Дашков и К°», 2023, с изменениями 
2 
 

СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ 
............................................................................................. 
6 
Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  В ЭКОНОМИКЕ 
...... 
7 
Глава 1. Основы теории графов 
........................................................ 
7 
§ 1. Что такое граф? 
......................................................................... 
7 
§ 2. Задача определения кратчайшего пути ................................ 
14 
§ 3. Графическая оптимизация сетей коммуникации ................ 
19 
Глава 2. Управление проектами ..................................................... 
22 
§ 1. Основные понятия 
.................................................................. 
22 
§ 2. Правила построения сетевых графиков ............................... 
23 
§ 3. Метод критического пути 
...................................................... 
24 
§ 4. Стоимость проекта. Оптимизация сетевого графика 
.......... 
29 
Глава 3. Транспортная задача 
......................................................... 
32 
§ 1. Постановка транспортной задачи ......................................... 
32 
§ 2. Метод северо-западного угла ................................................ 
33 
§ 3. Метод минимальной стоимости 
............................................ 
37 
§ 4. Особый случай 
........................................................................ 
39 
§ 5. Распределительный метод решения транспортной  
задачи 
...................................................................................................... 
40 
Глава 4. Основы методов прогнозирования и теории игр ........... 
47 
§ 1. Методы прогнозирования 
...................................................... 
47 
§ 2. Марковские случайные процессы 
......................................... 
49 
§ 3. Основные понятия теории игр .............................................. 
61 
Часть II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ   
В ЭКОНОМИКЕ .................................................................................. 
68 
Глава 1. Математические модели  в микроэкономике.  
Производственные функции 
................................................................. 
68 
§ 1. Общие положения .................................................................. 
68 
§ 2. Оптимизация производственных  процессов.  
Определение оптимальной  стратегии использования   
оборудования на предприятии ............................................................. 
77 
3 

§ 3. Модель Вильсона управления  производственным  
запасом с учетом спроса и цен на продукцию .................................... 
86 
3.1. Оптимальный план поставок 
............................................. 
86 
3.2. Асимптотическая оптимальность ..................................... 
93 
Глава 2. Математические модели  макроэкономики .................... 
96 
§ 1. Методы анализа многофакторных экономических  
систем ..................................................................................................... 
96 
1.1. Введение в многофакторный анализ ................................ 
96 
1.2. Анализ главных компонент ............................................... 
99 
1.3. Факторный анализ ............................................................. 108 
§ 2. Модели экономического роста 
............................................. 114 
2.1. Модель Солоу экономического роста ............................. 114 
2.2. Модель экономического роста Маркса – Моисеева 
....... 120 
§ 3. Модель открытой экономики ............................................... 126 
3.1. Основные понятия и определения ................................... 126 
3.2. Тождество рынка капитала в открытой экономике 
........ 128 
3.3. Моделирование валютного курса .................................... 128 
3.4. Конкурентная способность товара 
................................... 130 
3.5. Модель открытой экономики  на коротком временном  
интервале.  Влияние политики на реальный обменный курс 
........... 132 
3.6. Паритет покупательной способности 
.............................. 135 
§ 4. Классическая модель рыночной экономики.   
Её взаимосвязь с моделью Кейнса ...................................................... 136 
§ 5. Моделирование спроса ......................................................... 146 
§ 6. Общеэкономическое равновесие  в неоклассической  
и кейнсианской моделях ...................................................................... 156 
6.1. Совокупный спрос и совокупное предложение 
.............. 156 
6.2. Форма кривой совокупного предложения   
в классической и кейнсианской моделях ........................................... 157 
6.3. Кейнсианская модель равновесного  национального  
дохода (кейнсианский крест) 
............................................................... 159 
6.4. Понятие совокупного предложения ................................ 161 
6.5. Модель совокупного спроса ............................................. 163 
6.6. Модель совокупного предложения 
.................................. 173 
§ 7. Модель инновационной фирмы ........................................... 186 
7.1. Производственная функция 
.............................................. 187 
7.2. Постановка задачи максимизации прибыли ................... 189 
7.3. Реакция производителя на изменение цены выпуска .... 192 
4 

7.4. Реакция производителя на изменение цен ресурсов ...... 193 
7.5. Реакция производителя на одновременное изменение  
цены выпуска и цен ресурсов 
.............................................................. 194 
§ 8. Линейные экономические модели ....................................... 197 
8.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ........... 197 
8.2. Продуктивные модели Леонтьева 
.................................... 201 
8.3. Вектор полных затрат ....................................................... 204 
8.4. Собственные векторы неотрицательных матриц ........... 206 
8.5. Собственные значения матрицы Леонтьева.................... 209 
§ 9. Паутинообразная модель ...................................................... 211 
9.1. Допущения ......................................................................... 211 
9.2. Паутинообразная модель с запаздыванием спроса ........ 215 
9.3. Паутинообразная модель с запаздыванием  
предложения 
.......................................................................................... 219 
§ 10. Модель прогнозирования эколого-экономической  
системы 
.................................................................................................. 222 
10.1. Постановка задачи  
.......................................................... 222 
10.2. Основы моделирования эколого-экономических  
систем .................................................................................................... 227 
10.3. Прогнозирование эколого-экономических   
процессов и систем 
............................................................................... 234 
КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО КУРСУ 
................................................. 247 
5 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Учебник состоит из двух частей, первая посвящена математическим методам в экономике, вторая – математическим моделям в экономике. При этом особое внимание уделено вопросам использования 
методов математического моделирования в экономике. 
 «Математические методы и модели в экономике» — математическая дисциплина, успешное овладение которой требует предварительного изучения таких дисциплин, как «Математика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Экономическая теория», 
«Эконометрика», «Информатика» и др. 
Цель изучения дисциплины состоит в овладении методологией построения и практического применения математических моделей 
в экономическом анализе, в принятии управленческих решений,  
в планировании и прогнозировании, в различных сферах и уровнях 
хозяйственного механизма. 
Задачи изучения дисциплины:  
— научить студентов использовать в своей практической деятельности современные экономико-математические методы и модели; 
— привить студентам навыки самостоятельно изучать литературу по экономико-математическому моделированию. 
В результате изучения дисциплины студенты должны: 
знать: 
— существующие экономико-математические методы и модели, 
применяемые при анализе, планирования и прогнозирования экономических процессов; 
— основные принципы и этапы построения экономико-матема- 
тических моделей; 
уметь: 
— перевести экономическую задачу на математический язык; 
— решать экономические задачи с использованием типового 
программного обеспечения; 
— анализировать и прогнозировать экономические процессы, 
опираясь на результаты, полученные путем математического моделирования. 
Авторы благодарят всех, кто оказал помощь и поддержку в подготовке данного учебника, особенно издательство и студентов — 
творцов новой грядущей реальности. 
6 

Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
В ЭКОНОМИКЕ 
DZșȎȐȎ 1. ǼȟțȜȐȩ ȠȓȜȞȖȖ ȑȞȎȢȜȐ 
§ 1. Что такое граф? 
Представим на плоскости конечное множество точек V и не- 
которое множество линий Х, соединяющих попарно какие-то точ- 
ки из V. 
 
¾ ПРИМЕР 1.1. Например, рассмотрим схему автодорог, соединяющих населенные пункты Московской области. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество точек (населенных пунктов) назовем множеством вершин, а соединяющие линии (автодоро- 
ги) – множеством ребер.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность двух множеств (вершин и ребер) называют графом. 
На некоторых участках допускается только одностороннее движение. Тогда соответствующее ребро называется дугой и изображается стрелкой, направленной от начальной вершины к конечной вершине. 
Граф, состоящий из дуг, называют ориентированным (или просто орграфом), а образованный ребрами – неориентированным. Один 
и тот же граф можно изобразить по-разному. Вершины можно располагать по своему усмотрению и произвольно выбирать форму соединяющих линий. В этом проявляется свойство изоморфизма графов. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.  
7 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ребра с одинаковыми концевыми вершинами 
называются кратными.  
Изолированная вершина не соединена с другими вершинами. 
 
¾ ПРИМЕР 1.2. На рис. 1.1 изображен граф G1, состоящий из 
вершин v1, v2, v3, v4, v5, v6 и ребер x1, x2, x3, x4, x5. 
 
Рис. 1.1 
Здесь v6 – изолированная вершина, х1 и х5 – кратные ребра,  
х3 – петля, v1 и v2 – концевые вершины ребра х1. 
 
¾ ПРИМЕР 1.3. Задан орграф G2 (рис. 1.2). 
 У дуги х3 вершина v2 – начальная, а вершина v3 – конечная,  
х7 – петля. 
 
Рис. 1.2 
8 

Часто на графе требуется выделить различные маршруты, обладающие определенными свойствами.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Маршрут длины m – это последовательность 
x1 , …, хm  m ребер графа (не обязательно различных) таких, что любые два соседних ребра xi имеют общую концевую вершину. 
Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он 
начался.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цепь – это маршрут, все ребра которого различны.  
Простая цепь – это цепь без повторяющихся вершин.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замкнутая цепь называется циклом.  
Простой цикл – это простая замкнутая цепь.  
 
¾ ПРИМЕР 1.4. Дан граф G (рис. 1.3). 
В этом графе х1х2х3х6х7х2 – маршрут длины 6, соединяющий вершины v1 и v2; 
 
Рис. 1.3 
х1х2х3х6х7х2х1 – замкнутый маршрут длины 7. Он начинается и заканчивается в вершине v1; х1х2х3х6х7 – цепь длины 5 (все ребра в ней различны). Эта цепь не является простой, так как при обходе вершину v3 мы 
посетили два раза; х1х2х3 – пример простой цепи (все вершины на нашем 
пути были различны); х6, х7, х8, х3 – цикл; х7, х6, х3 – простой цикл. 
В случае орграфа вместо слова «цепь» говорят «путь», а слово 
«цикл» заменяют словом «контур». 
9 

Итак, для задания графа необходимо указать два множества: V 
(множество вершин) и X (множество ребер или дуг). Но при большом 
числе элементов рисунок графа становится громоздким. В этом случае используют матричный способ. Выбор матрицы определяется 
конкретной задачей. 
Дан граф G с вершинами v1, …, vn и ребрами x1, …, хm. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица смежности графа G – это квадратная 
матрица A(G) размера n × n (n – число вершин) с элементами  
1, если в графе вершины 
соединен
, 
ы ребром;
 
0,
а
 ин че.
i
j
ij
v
v
a
-
 ®
¯
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица инцидентности графа G – это матрица B(G) размера n × m (n – число вершин, m – число ребер) с эле- 
ментами 
 
1,  если в графе вершины 
соединены ребром;
0,  иначе.
i
ij
B
v
-
 ®
¯
 
¾ ПРИМЕР 1.5. Для графа G (рис. 1.4) построим матрицу смежности A(G) и матрицу инцидентности B(G). 
 
 
Рис. 1.4 
Так как у графа 5 вершин и 6 ребер, то размер матрицы A(G) будет 5 × 5, а матрицы B(G) – 5 × 6. 
10