Краткий курс высшей математики

КРАТКИЙ КУРС 
ВЫСШЕЙ 
МАТЕМАТИКИ

Учебник

Под общей редакцией
доктора экономических наук, профессора 
К. В. Балдина

6-е издание

Рекомендовано
Учебно-методическим советом 
по высшему образованию в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по экономическим направлениям 
и специальностям

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2023

Серия «Учебные издания для бакалавров»

УДК 517 (0. 75.8)
ББК 22.16
К78
Авторы:

К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор;
А. В. Рукосуев — старший преподаватель.

Рецензенты:
И. В. Минаев — доктор технических наук, профессор, 
заслуженный деятель науки РФ, 
Военная академия РВСН им. Петра Великого;
А. И. Данилов — доктор экономических наук, профессор, 
Финансовый университет при Правительстве РФ.

Краткий курс высшей математики : учебник для бакалавров / [К. В. Балдин, А. В. Рукосуев] ; под общ. ред. д. э. н., 
проф. К. В. Балдина. — 6-е изд. — Москва : Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°», 2023. — 510 с.

ISBN-978-5-394-05268-2.

Настоящий учебник содержит систематизированное изложение 
основ математики и написан на базе лекционных курсов, которые авторы преподавали в ряде вузов столицы. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по 
экономическим направлениям и специальностям.

К78

ISBN-978-5-394-05268-2
© Коллектив авторов, 2009
© Оформление. ООО «ИТК «Дашков и К°»,   
    2021, с изменениями

Сертификат соответствия № РОСС RU.AB51.HO5316
Подписано в печать 10.09.2022. Формат 60 × 90 1/16. 
Печ. л. 32. Тираж 100 экз. Заказ № 181793

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732
Тел.:  8 (495) 668-12-30, 8 (499) 182-01-58
E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
office@dashkov.ru — офис; http://www.dashkov.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Глава 1. 
Основы дискретной математики ..........................................12

1.1. 
Основы теории множеств ..............................................................12

1.2. 
Основные понятия комбинаторики ......................................26

1.3. 
Основы теории графов .....................................................................29

1.4. 
Некоторые сведения 
из математической логики ...........................................................59
Задачи для самостоятельного решения ...........................66
Вопросы для самопроверки ........................................................67

Глава 2. 
Элементы линейной и векторной алгебры ..................69

2.1. 
Матрицы, определители и их свойства ............................69

2.2. 
Системы линейных 
алгебраических уравнений .........................................................90

2.3. 
Собственные числа, собственные векторы 
матриц и квадратичные формы ..............................................97

2.4. 
Некоторые сведения о векторах ..........................................106
Задачи для самостоятельного решения ........................119
Вопросы для самопроверки .....................................................121

Глава 3. 
Функции и пределы .......................................................................123

3.1. 
Некоторые сведения о функциях .......................................123

3.2. 
Предел последовательности. 
Предел функции. Вычисление пределов .....................136

3.3. 
Комплексные числа ........................................................................150

Задачи для самостоятельного решения ........................152
Вопросы для самопроверки .....................................................154

Глава 4. 
Основы дифференциального исчисления.................155

4.1. 
Производная первого порядка. Дифференциал. 
Производные высших порядков ..........................................155

4.2. 
Некоторые сведения о функциях многих 
переменных. Понятие о частной производной ........166

4.3. 
Некоторые приложения 
дифференциального исчисления ........................................176
4.3.1. Формула Тейлора ............................................................176
4.3.2. Правило Лопиталя ..........................................................179
4.3.3. Асимптоты .............................................................................182
4.3.4. Исследование функций с помощью 
производных первого и второго 
порядков, построение их графиков ..................186
4.3.5. Экстремумы функций двух и многих 
аргументов .............................................................................197
4.3.6. Понятие о методе 
наименьших квадратов ...............................................202
Задачи для самостоятельного решения ........................205
Вопросы для самопроверки .....................................................207

Глава 5. 
Элементы интегрального исчисления ..........................210

5.1. 
Первообразная и неопределенный интеграл ...........210

5.2. 
Определенный интеграл .............................................................233

5.3. 
Некоторые сведения 
о несобственных интегралах ...................................................242
5.3.1. Несобственный интеграл первого рода .........242
5.3.2. Несобственный интеграл второго рода .........247

5.4. 
Некоторые приложения 
определенного интеграла ...........................................................251
5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур .........251

5.4.2. Нахождение длины дуги кривой ........................257
5.4.3. Объем тела вращения ..................................................260

5.5. 
Приближенное вычисление определенных 
интегралов ...............................................................................................263

5.6. 
Понятие о двойном интеграле ................................................269

5.7. 
Некоторые сведения о тройном интеграле .................289
Задачи для самостоятельного решения ........................295
Вопросы для самопроверки .....................................................299

Глава 6. 
Некоторые сведения о дифференциальных 
уравнениях .............................................................................................301

6.1. 
Основные понятия и определения .....................................301

6.2. 
Дифференциальные уравнения 1-го порядка .........302
6.2.1. Общие понятия ...................................................................302
6.2.2. Дифференциальные уравнения первого 
порядка с разделяющимися 
переменными .......................................................................303
6.2.3. Однородные дифференциальные 
уравнения и дифференциальные 
уравнения, сводящиеся к однородным .........307
6.2.4. Линейные дифференциальные 
уравнения первого порядка. 
Уравнение Бернулли ....................................................315
6.2.5. Уравнения в полных дифференциалах. 
Интегрирующий множитель ..................................323
6.2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро ..............................326

6.3. 
Дифференциальные уравнения 2-го порядка .........331
6.3.1. Общие понятия ...................................................................331
6.3.2. Дифференциальные уравнения 
второго порядка, решаемые 
с помощью понижения порядка ..........................334

6.3.3. Линейные однородные 
дифференциальные уравнения 
второго порядка с постоянными 
коэффициентами ..............................................................339
6.3.4. Линейные неоднородные 
дифференциальные уравнения 
второго порядка с постоянными 
коэффициентами ..............................................................342

6.4. 
Понятие о системах обыкновенных 
дифференциальных уравнений ...........................................350
Задачи для самостоятельного решения ........................355
Вопросы для самопроверки .....................................................358

Глава 7. 
Ряды .............................................................................................................360

7.1. 
Числовые ряды ...................................................................................360

7.2. 
Функциональные ряды ................................................................365

7.3. 
Степенные ряды .................................................................................367

7.4. 
Некоторые приложения степенных рядов .................370
7.4.1. Приближенное вычисление 
определенных интегралов ........................................370
7.4.2. Приближенное решение 
дифференциальных уравнений ..........................372

7.5. 
Понятие о рядах Фурье ...............................................................374
Задачи для самостоятельного решения ........................378
Вопросы для самопроверки .....................................................379

Глава 8. 
Краткие сведения из теории вероятностей .............381

8.1. 
Общие понятия и определения .............................................381

8.2. 
Классификация событий ............................................................382

8.3. 
Алгебра событий ................................................................................383

8.4. 
Вероятность события .....................................................................385

8.5. 
Алгебра вероятностей...................................................................390

8.6. 
Случайные величины ....................................................................394

8.7. 
Понятие о нормальном распределении .........................408

8.8. 
Системы случайных величин .................................................411

8.9. 
Понятие о предельных теоремах ........................................425
Задачи для самостоятельного решения ........................428
Вопросы для самопроверки .....................................................429

Глава 9. 
Задачи линейного программирования 
и методы их решения ...................................................................431

9.1. 
Постановка задачи линейного 
программирвоания ...........................................................................431

9.2. 
Графический метод решения задач 
линейного программирования ...............................................433

9.3. 
Симплекс-метод решения задач 
линейного программирования ...............................................440
9.3.1. Стандартная форма задач линейного 
программирования ..........................................................440
9.3.2. Основные понятия симплекс-метода..............442
9.3.3. Алгоритм симплекс-метода ....................................445
9.3.4. Метод искусственных переменных .................448

9.4. 
Двойственная задача 
линейного программирования ...............................................452

9.5. 
Анализ чувствительности задачи 
линейного программирования ...............................................458

9.6. 
Классификация методов решения задач 
целочисленного линейного программирования ......463

9.7. 
Метод отсекающих плоскостей Гомори ........................465
9.7.1. Метод Гомори для полностью 
целочисленных задач ...................................................465
9.7.2. Метод Гомори для частичноцелочисленных задач ...................................................470

9.8. 
Метод ветвей и границ .................................................................473
Задачи для самостоятельного решения ........................476
Вопросы для самопроверки .....................................................477

Глава 10. Специальные задачи 
линейного программирования .............................................478

10.1. Вербальная и математическая постановка 
транспортной задачи линейного 
программирования ...........................................................................478

10.2. Решение транспортной задачи .............................................482

10.3. Практическое решение задачи 
оптимального планирования ...................................................492

10.4. Многопродуктовая транспортная задача ....................499

10.5. Транспортная модель 
с промежуточными пунктами ................................................503
Задачи для самостоятельного решения ........................506
Вопросы для самопроверки .....................................................507

Литература .........................................................................................................................508

ВВЕДЕНИЕ

Математика проникла практически во все сферы человеческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что она 
способна создавать модели изучаемых явлений1, а во-вторых — 
используется для обработки цифровых данных (как средство 
расчета. В настоящее время различные численные и аналитические методы используются не только в естественных, но и в 
гуманитарных науках, например в социологии, лингвистике, 
юриспруденции, экономике.
С помощью математических методов можно более глубоко анализировать сложные экономические явления и процессы. Проблемы экономики стимулирует разработку новых математических теорий. Например, необходимость решения задач 
экономического планирования привела к разработке теории 
линейного программирования в 30-х гг. XX в. Можно сделать 
вывод о том, что глубокое изучение экономических процессов и 
управление этими процессами невозможны без знания современного математического аппарата. Математическая подготовка современного специалиста в области экономики имеет свои 
специфические особенности, связанные со сложностью проведения финансово-экономических операций и принятия рациональных управленческих решений по ним.
Как наука математика имеет определенное математическое мировоззрение, однако для специалистов в области экономики, менеджмента, психологии и юриспруденции она является 
прежде всего мощным инструментарием при проведении необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом, на 
котором строится современное здание высшего образования.

1 Математической моделью изучаемого явления называется логическая конструкция, которая отражает геометрические формы этого явления и количественные соотношения между его числовыми параметрами.

Материал учебника представлен в виде десяти глав и предназначен для студентов 1-го и 2-го курсов экономических направлений подготовки.
В первой главе “Основы дискретной математики” представлены основы теории множеств, введены элементы комбинаторики, основы теории графов и элементы математической 
логики. Вторая глава “Элементы линейной и векторной алгебры” посвящена матрицам, векторам, определителям и их 
свойствам, а также действиям над ними. Приведены методы 
решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 
В третьей главе “Функции и пределы” даны определение функции, способы ее задания и основные свойства, а также понятия 
предела, методы его вычисления и понятие о комплексных числах. В четвертой главе “Основы дифференциального исчисления” кратко рассмотрены такие фундаментальные понятия, как 
производная, дифференциал, их геометрический смысл, дано 
понятие о функции многих переменных и о частных производных, а также приведены некоторые сведения о приложениях 
дифференциального исчисления (формула Тейлора, правило 
Лопиталя, исследование функции одного и многих аргументов 
с помощью производной). В пятой главе “Элементы интегрального исчисления” раскрыто содержание интегрального исчисления, приведены определения и свойства неопределенного, 
определенного, несобственного и кратного интегралов, а также способы их вычисления. Рассматриваются некоторые приложения интегрального исчисления. Шестая глава “Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях” написана на 
основе материалов, изложенных в предыдущих главах. В ней 
представлены обыкновенные дифференциальные уравнения 
первого и второго порядка, а также методы их решения. Особое место занимает решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Дано также понятие 
о решении систем дифференциальных уравнений. В седьмой 
главе “Ряды” имеются сведения о числовых, функциональных 
и степенных рядах и рядах Фурье. Восьмая глава “Краткие 
сведения из теории вероятностей” посвящена основам иссле