Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию

Серия «Учебные издания для бакалавров»




А. С. ШАПКИН, Б. А. ШАПКИН



            ЗАДАЧИ С РЕ0ЕНИЯМИ


ПО БЫС0ЕЙ МАТЕМАТИКЕ, ТЕОРИИ БЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ, МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ПРОГРАММИРОБАНИЮ

Учебное пособие

11-е издание, переработанное

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Экономика»



Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»


2023

УДК 517(075.8)
ББК 22.11
     Ш23


РЕЦЕНЗЕНТЫ:
В. Д. Кулиев — доктор физико-математических наук, профессор;
Б. А. Лагоша — доктор экономических наук, профессор.







     Шапкин, Александр Сергеевич.
Ш23 Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию : учебное пособие для бакалавров / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. — 11-е изд., перераб. — Москва : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2023. — 402 с.

         ISBN 978-5-394-05448-8.

         Учебное пособие является руководством к решению задач по основам высшей математики и содержит задачи для контрольных работ. Материал охватывает вопросы программы курса высшей математики: общий курс, теория вероятностей и математическая статистика, математическое программирование.
         Перед каждым разделом дан необходимый справочный материал. Все задачи приводятся с подробными решениями. В конце разделов даны решения типовых задач контрольных работ. Отдельные задачи иллюстрированы соответствующими рисунками.
         Для студентов вузов, обучающихся по инженерно-экономическим направлениям подготовки.



ISBN 978-5-394-05448-8

© А. С. Шапкин, В. А. Шапкин, 2010
© В. А. Шапкин, 2022, с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение..........................................7

Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ...........................................8
  1.1. Линейная алгебра...........................8
   1.1.1. Матричный способ........................8
   1.1.2. Формулы Крамера........................16
   1.1.3. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса).17
   1.1.4. Теорема Кронекера - Капелли............20
  1.2. Элементы векторной алгебры................25
  1.3. Аналитическая геометрия...................31
   1.3.1. Аналитическая геометрия на плоскости...31
   1.3.2. Аналитическая геометрия в пространстве.49

Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ............64
  2.1. Функции, предел, непрерывность............64
  2.2. Производная и дифференциал................72
  2.3. Исследование функций......................84
Решение типовых задач контрольной работы по разделам 1 и 2...............................103

Раздел 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...............138
  3.1. Неопределенный интеграл..................138
   3.1.1.   Первообразная функция и неопределенный интеграл........................................138
   3.1.2.  Таблица основных интегралов..........140
   3.1.3.  Интегрирование методом замены переменной...141
   3.1.4.  Метод интегрирования по частям.......144
   3.1.5.  Интегрирование дробно-рациональных функций... 147
  3.2. Определенный интеграл....................152
   3.2.1. Основные понятия и свойства...........152
   3.2.2. Вычисление определенного интеграла....153
   3.2.3. Приложения определенного интеграла....154
  3.3. Функции нескольких переменных............160
  3.4. Двойные интегралы........................166

3

Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..................174
  4.1. Основные понятия ..............................174
  4.2. Уравнения с разделяющимися переменными.........175
  4.3. Однородные уравнения...........................179
  4.4. Линейные уравнения.............................182
  4.5. Уравнения Бернулли.............................186
  4.6. Дифференциальные уравнения второго порядка вида у'' = f (х)....................................187
  4.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами........189
  4.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .....................................192

Раздел 5. РЯДЫ........................................200
  5.1. Основные понятия ............................. 200
  5.2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами .... 201
  5.3. Признак сходимости Лейбница................... 205
  5.4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда ............................. 207
  5.5. Степенные ряды................................ 209
  5.6. Разложение функций в степенные ряды Тейлора....212
  5.7. Приложение рядов к приближенным вычислениям....216
Решение типовых задач контрольной работы по разделам 3, 4 и 5..................................219
Решение типовых задач контрольной работы по специальным разделам высшей математики............ 253

Раздел 6. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.......................... 278
  6.1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей. 278
   6.1.1. Классическое определение вероятности........ 278
   6.1.2. Геометрические вероятности..................279
   6.1.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей . 282
   6.1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса ... 286
  6.2. Схема повторных испытаний..................... 290
   6.2.1. Формула Бернулли............................290
   6.2.2. Локальная теорема Лапласа...................292
   6.2.3. Интегральная теорема Лапласа .............. 293

4

  6.3. Случайные величины.......................... 297
   6.3.1. Законы распределения..................... 298
   6.3.2. Числовые характеристики случайных величин.. 302
   6.3.3. Дискретные распределения................. 304
   6.3.4. Непрерывные распределения................ 307
     6.3.4.I. Равномерное распределение............ 307
     6.3.4.2. Экспоненциальное распределение......... 309
     6.3.4.3. Нормальный закон распределения........312
  6.4. Основные понятия математической статистики...316
   6.4.1. Генеральная совокупность. Выборка.
   Основные типы задач математической статистики ...316
   6.4.2. Статистическая оценка параметров распределения ...................................319
   6.4.3. Генеральная средняя. Выборочная средняя.... 320
   6.4.4. Выборочная дисперсия......................321
   6.4.5. Интервальные оценки параметров распределения.
   Доверительный интервал для математического
   ожидания нормального распределения при известном о ... 323
  6.5. Методы расчета характеристик выборки........ 326
   6.5.1. Условные варианты. Метод произведений...... 326
   6.5.2. Эмпирические и теоретические частоты....... 329
  6.6. Статистическая проверка гипотез ............ 330
  6.7. Элементы теории корреляции.................. 338
   6.7.1. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным
   данным.......................................... 339
   6.7.2. Отыскание параметров выборочного уравнения
   прямой линии регрессии по сгруппированным данным.......................................... 340
Решение типовых задач контрольной работы по разделу 6.... 342

Раздел 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ... 359
  7.1. Линейное программирование....................361
   7.1.1. Задача оптимального производства продукции. 362
   7.1.2. Транспортная задача...................... 367
     7.1.2.1. Постановка задачи и ее математическая модель........................................ 367
     7.1.2.2. Построение первоначального опорного плана     369

5

     7.1.2.З. Оптимальность базисного решения. Метод потенциалов............................. 372
     7.1.2.4. Улучшение плана перевозок............ 373
     7.1.2.5. Задача определения оптимального плана перевозок..................................... 374
     7.1.2.6. Открытая модель транспортной задачи... 378
  7.2. Математические методы в экономике............381
   7.2.1. Сетевое планирование......................381
     7.2.1.1. Сетевой график. Критический путь...... 382
     7.2.1.2. Временные параметры сетей. Резервы времени................................386
     7.2.1.3. Пример построения сетевого графика задачи 15.1 контрольной работы.............................390
   7.2.2. Межотраслевой баланс..................... 390
     7.2.2.1. Модель межотраслевого баланса......... 390
     7.2.2.2. Полные внутрипроизводственные затраты. 393
     7.2.2.3. Косвенные затраты.................... 394
     7.2.2.4. Решение типовой задачи............... 395

Список учебной литературы...........................400

6

ВВЕДЕНИЕ



   Преподавание математических дисциплин для студентов вузов, обучающихся инженерно-экономическим направлениям подготовки, имеет цель: ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических инженерно-экономических задач; привить умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести инженерно-экономическую задачу на математический язык.
   Все это имеет очень важное значение для последующей практической работы инженера-экономиста и необходимо также для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин.
   Учебными планами инженерно-экономических направлений подготовки предусмотрены математические дисциплины:
   1. Высшая математика.
   2. Теория вероятностей и математическая статистика.
   3. Математическое программирование.
   Объем и содержание этих дисциплин определяются в соответствии с требованиями Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования.
   Настоящее учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения. Материал охватывает вопросы программы курса высшей математики: общий курс, теория вероятностей и математическая статистика, математическое программирование.
   Пособие является руководством к решению задач по основам высшей математики и содержит задачи для контрольных работ.
   Перед каждым параграфом дан необходимый справочный материал. Все задачи приводятся с подробными решениями.
   В конце разделов даны решения типовых задач контрольных работ. Отдельные задачи иллюстрированы соответствующими рисунками.

7

    Раздел 1



АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Линейная алгебра

   Рассмотрим решение системы п линейных уравнений с п неизвестными.
   Постановка задачи: дана система п линейных уравнений с п неизвестными:

<

а.

а} а

11 х1  + а^2 х 2 +.. . + а1 пхп ■ = Ъ1,
(21 х1 + а 22 х 2 +. .. + а 2 пхп = Ъ 2
п х1   + ап 2 х 2 +.    ..+ аппхп  = Ъп

,

(1-1)



   Требуется найти совокупность п значений (х₁⁰,х®, •••, ХП) таких, которые бы отождествляли одновременно все уравнения системы. Такая совокупность значений называется решением системы.
   Рассмотрим решение системы (1.1) тремя способами: матричным способом, по формулам Крамера и методом исключения неизвестных — методом Гаусса.


1.1.1. Матричный способ


    Определение. Матрицей вида т • п называется таблица вида


а11     а₁₂    ... а1 п
а21     а22    ...  а2п

                              ......................
^ ат 1  ат 2   • • •   атп ?

(1.2)

   Числа а,у(i = 1,2, ..., т;у = 1,2, ..., п), образующие матрицу, называются ее элементами.


8

    Обознаются матрицы буквами А ,В, С, ... или (а^), (Ъ^), (cₚq),....
    Матрицы вида п ■ п (число строк равно числу столбцов) называются квадратными п-го порядка. В частности, квадратная матрица п-го порядка вида

11 о ... о А
°.. !.. ... °..
о о ... 1 \             ⁷
называется единичной и обозначается буквой Е. Для нее ау = °, если i Фу, и ау = 1, если i =j.
    Матрицы вида:

⁽a1, a2, ..., an⁾


называются матрицами-строками, а матрицы вида:

'а '
а 2
:
ат \ m 7
— матрицами-столбцами.

   Определение. Произведением матрицы (1.2) на число Л называется матрица (Л ау).
   Чтобы умножить матрицу на число Л, надо умножить каждый ее элемент на это число.
   Наиболее важным является следующее определение.


   Определение. Произведением матрицы А (1.2) на матрицу




В =

b11  b12        ..   b1 p
b 21 b 22       • b 2 p  
bn1  bn 2     •  ••   bnp





⁷

называется матрица

a11 b11    + a12 b 21  + .. . +  a1 nbn 1’ ••• ’ a11 b1 p   + a12 b 2 p  + .. . +  a1 nbnp 
a 21 b11   + a 22 b 21 + .  . +  a2nbn1’ ..    .’ a21 b1 p  + a 22 b 2 p + .  . +  a 2 nbnp
.........  + am 2 b 21 + .  .. + amnbn1’ .     ..’ am1 b1 p + am2b 2 p      + .. + a b     
^ am 1 b11                                                                         ^mn^np  

⁷



9

   Например,

f2   1 Afi - 2     3 А_
                        У 0 - 3 | 4   1 -1J
      2-1 +1-4     2(-2) +1-1      2 - 3 + 1- (-1) A f 6 - 3 5 А
      0-1 + (-3) - 4 0 - (-2) + (-3)-1 0 - 3 + (-3) - (-1) J=^-12 - 3 3 J ’

   Произведение матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц не коммутативно, т.е. АВ Ф ВА.

   Определение. Если в матрице А переставить местами строки и столбцы: 1-й столбец заменить 1-й строкой, 2-й столбец — 2-й строкой и т.д., то полученная в результате матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается Ат.
   Например, если

01
3 J

f 3

f 3
А =5
   у

2
-1
0

то

2 -10

5

1А

1        0 3

7

   Определение. Определителем квадратной матрицы (а^) п-го порядка, который обозначается |а^ |, det А или А называется число, вычисляемое по формуле

    det А =^ау (-1)i+jMij                   (ЕЗ) 
                        j =1                     
или det А = ^^ау(-1)i+JMij,                   (Ы)

где Mij — определитель матрицы (п - 1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-ой строки иу-го столбца:

(а11   а12    ---               аИ-1     Oj+1    ---                  а1 п А                 
а 21   а 22    ---              а 2 j-1  а 2 j+1    ---                                      
       . . .              ■ ■ ■          к * *                  * * Л а 2 п                  
       ---  ---                          ---      ...                 ---                    
ai-11  а/-12   ---              ai-1 j-1 ^-1 j+1   ---                а/-1 п •          (1.5)
ai+11  а+12  ---                ai+1 j-1 ам j+1  ---                  аМ п                   
---    ---  ---                          ---   ---                                           
У ап 1 ап 2    ---              Оу-1     ап+1    ---                  апп ,                  

10