Определение реакций подшипников вращающегося твердого тела

УДК 531.38 
ББК 22.213 
 Б26 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1216.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 

Рецензент  
д-р техн. наук, профессор Г. А. Тимофеев   

 
Барышников, Ю. Н. 
Определение реакций подшипников вращающегося твердого 
тела : методические указания к выполнению индивидуальных заданий по разделу курса теоретической механики на контролируемых 
самостоятельных работах / Ю. Н. Барышников, Н. В. Борохова. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 54, [2] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4186-0 
 

В методических указаниях даны основы применения метода кинетостатики в задачах динамики. Приведенный теоретический материал и рекомендуемый порядок решения задач позволяют студентам приобрести навыки 
решения задач и освоения теоретических разделов курса во время контролируемой самостоятельной работы (КСР). Предлагается 32 варианта заданий для индивидуальной работы со студентами на КСР.  
Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата. Методические указания могут быть также использованы студентами, обучающимися 
по программе специалитета и выполняющими домашнее задание в соответствии с учебным планом. 
 
УДК 531.38 
ББК 22.213 
 
 
 
 

ISBN 978-5-7038-4186-0 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
© Оформление. Издательство   
     МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

 Б26  

Предисловие 

Предлагаемые методические указания должны помочь студентам, изучающим применение метода кинетостатики в задачах динамики, приобрести твердые навыки решения задач и освоения 
теоретических вопросов контролируемой самостоятельной работы. 
Указания целесообразно использовать и при закреплении знаний 
путем выполнения индивидуального задания модуля по теме «Динамические реакции подшипников». Варианты этого задания для 
студентов приведены в конце методических указаний. 
Метод кинетостатики построен на использовании следствий из 
принципа Даламбера для системы материальных точек. Узловыми 
моментами решения задач являются: 
− определение силы инерции материальной точки; 
− приведение сил инерции точек тела с равномерным распределением массы по объему к заданному центру;  
− вычисление главного вектора и главного момента сил инерции относительно выбранного центра приведения; 
− нахождение главных осей инерции тела, а также вычисление 
центробежных и осевых моментов инерции относительно исходных осей координат; 
− статическое и динамическое уравновешивание тела. 
Теоретические основы метода изложены в учебном пособии [1] 
и конкретизируются на лекциях. Курсовая работа по одноимен- 
ному разделу курса сопровождается методическими указаниями 
[2, 3]. 
 

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 

При решении задач рекомендуется применять метод кинетостатики, в основе которого лежит принцип Даламбера. 

1.1. Принцип Даламбера для точки  
и системы материальных точек 

Для несвободной материальной точки принцип Даламбера заключается в том, что в каждый момент времени сумма активных 
сил, реакций связей и силы инерции равна нулю [1]: 

 
 

1
1
Ф
0,

n

k
k
k
k
F
R

µ

=
=
+
+
=
∑
∑
  
(1.1) 

где Ф
;
ma
= −
 n — число активных сил, приложенных к материальной точке; µ  — число связей, наложенных на точку. 

Обозначим главный вектор всех активных сил 

1
,

n

k
k

F
F

=
= ∑
 глав
ный вектор реакций связей — 

1
,
k
k

R
R

µ

=
= ∑
 тогда формулу (1.1) 

можно переписать в виде 

 
 
Ф
0.
F
R
+
+
=
 
 (1.2) 

В проекциях на оси декартовых координат получим 

 
 
Ф
0,  
Ф
0, 
Ф
0,
x
x
x
y
y
y
z
z
z
F
R
F
R
F
R
+
+
=
+
+
=
+
+
=
 

где Ф
;  Ф
;  Ф
.
x
y
z
mx
my
mz
= −
= −
= −


В проекциях на оси естественного трехгранника — касательную, главную нормаль и бинормаль — уравнение (1.2) принимает 
вид 

Ф
0;
Ф
0;
0,
n
n
n
b
b
b
F
R
F
R
F
R
τ
τ
τ
+
+
=
+
+
=
+
+ Φ =
 

где 
2
Ф
, Ф
, Ф
0;
n
n
b
b
ma
mdV
dt
ma
mV
ma
τ
τ
τ
= −
= −
= −
= −
ρ
= −
=
 
ρ — радиус кривизны траектории точки. 

С учетом приведенных формул сила инерции Даламбера Ф  
может быть представлена в виде двух составляющих Ф
ma
τ
τ
= −
 и 

Ф
.
n
n
ma
= −
 
Согласно принципу Даламбера, для каждой точки 
k
M  механической системы совокупность активных сил, реакций связей и сил 
инерции ( (
,
,Ф )
k
k
k
F R
, 
1, 2,...,
,
k
N
=
 N  — число точек системы) 
эквивалентна нулю.  
Следствиями этого утверждения являются: 
1) равенство нулю главного вектора всех перечисленных выше 
сил; 
2) равенство нулю главного момента этих сил относительно 
выбранного центра приведения — например, точки О: 

 
 
1
1
1
Ф
0;

Ф
0.

N
N
N

k
k
k
k
k
k

k
k
k
k
k
k

F
R

r
F
r
R
r

=
=
=
+
+
=

×
+
×
+
×
=
∑
∑
∑

∑
∑
∑

  
(1.3) 

Полученные векторные уравнения аналогичны по форме векторным условиям равновесия произвольной пространственной системы сил. Им соответствуют шесть аналитических уравнений в 
координатной форме: 

 

Ф
0;

Ф
0;

Ф
0;

(
)
(
)
(Ф )
0;

(
)
(
)
(Ф )
0;

(
)
(
)
(Ф )
0.

kx
kx
kx

ky
ky
ky

kz
kz
kz

Ox
k
Ox
k
Ox
k

Oy
k
Oy
k
Oy
k

Oz
k
Oz
k
Oz
k

F
R

F
R

F
R

M
F
M
R
M

M
F
M
R
M

M
F
M
R
M

+
+
=

+
+
=

+
+
=

+
+
=

+
+
=

+
+
=

∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑

 
(1.4) 

Уравнения (1.4) лежат в основе метода кинетостатики.  

1.2. Определение главного вектора  
и главного момента сил инерции 

Введем обозначения главного вектора 
и
R и главного момента 
сил инерции 
и
О
L , проекции которых в уравнениях (1.4) представлены формулами: 

 

и
и
и

и
и
и
Ф ;
Ф ;
Ф ;

(Ф );
(Ф );
(Ф ).

x
kx
y
ky
z
kz

Оx
Оx
k
Оy
Оy
k
Оz
Оz
k

R
R
R

L
M
L
M
L
M

=
=
=

=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
 (1.5) 

Уравнения (1.4) можно получать, проецируя векторные выражения (1.3) на подвижные и неподвижные оси координат. В данном случае будем проецировать выражения (1.3) на оси подвижной системы координат, связанной с вращающимся телом. В этой 
системе положение точки определяется неизменными во времени 
координатами, а движение системы координат задано в условии 
задачи — равномерное вращение вокруг неподвижной оси Oz. 
Для твердого тела, состоящего из N материальных точек, главный вектор и главный момент сил инерции относительно некоторого центра O определяются соответственно по формулам [1]: 

 
 
и
;
С
dQ
R
M a
dt
= −
= −
  
и
,
О
О
dK
L
dt
= −
 
(1.6) 

где M — масса тела; 
С
a  — ускорение центра масс тела; 
О
K  — кине
тический момент тела относительно центра O; Q  — количество 
движения тела. 
Замечание. При определении производных необходимо 
следовать формуле Бура.  
Проекции вектора количества движения Q  на оси подвижной 
системы координат Oxyz: 

  
;
x
z
C
Q
M
y
= −
ω
  
;
y
z
C
Q
M
x
=
ω
  
0.
z
Q =
 
(1.7) 

Проекции вектора кинетического момента на оси подвижной 
системы координат: 

 
;
Ox
xz
z
K
J
= −
ω
  
;
Oy
yz
z
K
J
= −
ω
  
,
Oz
z
z
K
J
=
ω
  
(1.8) 

где 
,
xz
k
k
k
J
m x z
=∑
 
yz
k
k
k
J
m y z
=∑
 — центробежные моменты 

инерции; 
2
2
(
)
z
k
k
k
J
m
x
y
=
+
∑
 — осевой момент инерции тела от
носительно оси Oz, совпадающей с осью вращения. 
Итак, для тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью, проекции главного вектора и главного момента 
сил инерции относительно начала координат определяются по 
формулам 

 

и
2
и
2
и

и
2
и
2
и
;
;
0;

;
;
0.

x
C
y
С
z

Оx
yz
Оy
xz
Оz

R
M
x
R
M
y
R

L
J
L
J
L

=
ω
=
ω
=

= −
ω
= +
ω
=
 
(1.9) 

При условии, что оси системы Oxyz  жестко связаны с телом, координаты 
,
C
C
x
y  его центра масс и центробежные моменты 
yz
J
 и 

xz
J
 остаются постоянными. 
Для окончательного решения задачи приведения сил инерции к 
началу координат (точке О) необходимо определить центробежные моменты инерции. 

1.3. Определение центробежных  
и осевых моментов инерции одномерных и двумерных тел 

Центробежные моменты инерции 
xz
J
 и 
yz
J
 тела определяются 

по формулам 

 
;
xz
k
k
k
J
m x z
= ∑
  
.
yz
k
k
k
J
m y z
= ∑
 
(1.10) 

Основным способом вычисления моментов инерции тела является выражение их через осевые моменты инерции. В табл. 1.1 
приведены формулы для вычисления главных центральных моментов инерции однородных тел, необходимость расчета которых 
возникает в задачах предлагаемого задания, а также в вариантах 
домашних заданий, выполняемых студентами в рамках учебного 
курса (например, [2]). 
Главные центральные моменты инерции — это моменты инерции тела относительно главных осей инерции, проходящих через 
центр масс. На рисунках в табл. 1.1 показано расположение главных