Анализ колебаний консервативных нелинейных систем с одной степенью свободы

УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213 
Г96 
Рецензенты: Г.Я. Пановко, А.А. Головин  

 
Гуськов А.М. 
 
Ч 24 
        Анализ колебаний консервативных нелинейных систем 
с одной степенью свободы: учеб. пособие / А.М. Гуськов, 
С.В. Яресько. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 
41, [3] с. : ил.  

ISBN 978-5-7038-3650-7 
Представлены системы с зазорами и системы с упругими элементами, имеющими начальные напряжения. Подробно рассмотрено построение кусочно-линейной силовой характеристики таких систем. Даны методы получения зависимости частоты колебаний от 
амплитуды на основе как точного решения по методу припасовывания, так и приближенного решения с помощью прямой линеаризации силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного  
и приближенного решений позволяет оценить возможности широко 
применяемых на практике методов линеаризации нелинейных  
систем. 
Для студентов 3-го курса механических специальностей МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, изучающих первую часть курсов «Аналитическая 
динамика и теория колебаний» и «Теория механических колебаний». 
 
УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3650-7 
  
 
     © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 

 
Г96 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Представленное учебное пособие по теории нелинейных колебаний систем с одной степенью свободы предназначено для студентов механических специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана. По 
традиции этот раздел относится к первой части курсов «Аналитическая динамика и теория колебаний» и «Теория механических 
колебаний», изучаемых после освоения полного курса «Теоретическая механика». 
В результате изучения свободных колебаний консервативных 
систем с кусочно-линейной силовой характеристикой студенты 
должны достичь понимания ангармонизма колебаний нелинейных 
систем. 
Учебные задачи, включенные в пособие, предполагают обязательную выработку навыков вывода уравнений нелинейных силовых характеристик для комбинированных упругих систем. В 
пособии рассмотрены системы с зазорами и системы с упругими 
элементами, имеющими начальные напряжения. Зависимость частоты колебаний от амплитуды необходимо вычислить как на 
основе анализа точного решения, полученного методом припасовывания, так и приближенно, применяя метод прямой линеаризации силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного и приближенного решений позволяет оценить возможности 
широко применяемых на практике методов линеаризации нелинейных систем. 
Для более полного изучения теории нелинейных колебаний 
можно рекомендовать учебники и монографии, приведенные в 
списке литературы [1 – 8]. 

ВВЕДЕНИЕ 

В пособии рассмотрены механические системы, имеющие лагранжиан и уравнение движения соответственно 

 
2
1
( )
( , )
( )
,
2
U q
L q q
mq
U q
mq
q

∂
=
−
⇒
=−
∂

(1) 

где  q и m — обобщенные координата и масса системы; 
/
.
q
dq dt
=

Зависимость F(q) = ∂U(q) / ∂q называют силовой характеристикой упругого элемента, если потенциальная энергия U(q) есть 
энергия деформации конструкции, удерживающей обобщенную 
массу m. (В специальной литературе часто употребляют неудачный термин «упругая характеристика», чтобы подчеркнуть, что 
речь идет об упругом элементе.) 
Предполагается, что в состоянии {
0 ,
0}
q
q
=
=
система находится в устойчивом положении равновесия: 

 

2

2
0
0

( )
( )
0,
0.

q
q

U q
U q
q
q
=
=

∂
∂
=
>
∂
∂
 
(2) 

Следовательно, свободные движения системы вблизи положения 
равновесия имеют колебательный характер и фазовые траектории 
( )
q q
являются замкнутыми. 
Один оборот по траектории осуществляется за время, называемое периодом колебаний Т. Первый интеграл рассматриваемых 
систем имеет смысл полной энергии  

 
2
0
1
( , )
( )
,
2
E q q
mq
U q
E
=
+
=

(3) 

т. е. для движений, удовлетворяющих уравнению (1), 
( , )/
dE q q
dt ≡

0
≡
. Постоянная интегрирования Е0 определяется начальными 
условиями. Если упругая характеристика симметричная, т. е. 
U(q)  = U(–q) и F(q)  =  –F(–q), то фазовые траектории имеют 
симметричный вид относительно осей {
}
,
q q— рис. 1. 
 

 

Рис. 1. Фазовые траектории консервативной системы  
вблизи положения устойчивого равновесия {
0,
0}
q
q
=
=
 E02 > E01 

 
Проинтегрируем вдоль четверти полного оборота (от точки 1 
до точки 2, см. рис. 1), уравнение (3), которое на этом участке 
можно представить в виде 
[
]
0
2
( )
dt
dq
m E
U q
=−
−
. Поскольку в 

точке 1 при t = 0 имеем Е0 = U(A), то 

 

[
]
0

2
( )
4
;
( )
,
( )
2
( )
( )

A
dq
T A
A
T A
U A
U q
m

π
=
ω
=
−
∫
 
(4) 

при этом наибольшее отклонение называют амплитудой колебания 
A =  max(q): (
) (
)
{
}
,
(0)
,
(0)
0
(
2)
,
(
2)
0
.
q
A
q
q T
A
q T
=
=
=−
=
Если 
известна силовая характеристика F(q), то потенциальную энергию 
определяют как 

 

0
( )
(0)
( )
( )
( )
( )
.

q
A

q
U q
U
F x dx
U A
U q
F x dx
=
+
⇒
−
=
∫
∫
 
(5) 

Интеграл (4) в общем случае находят численно. Для линейных 
систем F(q)=cq,  U(q) = c q2/ 2 + C и возможно интегрирование в 

замкнутой форме. Период колебаний не зависит от амплитуды: 

2
.
T
m c
= π
 Такие колебания называют изохронными. Параметр с  
называют жесткостью характеристики. Жесткость нелинейных 
систем является локальной характеристикой и определяется как 
тангенс угла наклона силовой характеристики к оси q: 
c(q) = dF(q) / dq. Характеристику с возрастающей жесткостью 
(dc(q) / dq > 0, q > 0 )  называют жесткой, с убывающей жесткостью (dc(q) / dq < 0, q > 0 )  — мягкой.  
В общем случае уравнение движения имеет вид m d 2q / dt 2 =  
=  –F(q). Если ввести новый масштаб времени 
0
0 ,
t
t
F mq
←
 
где {F0 , q0} — характерные значения силы и положения, то движение системы будет описываться безразмерным уравнением 
d 2x / dt 2= –f (x), x = q / q0, f = F / F0. Так как рассматриваемые системы консервативны, а нулевое положение устойчиво, все траектории движения являются замкнутыми, т. е. осуществляются периодические движения с частотой колебаний, зависящей от 
начальных условий: 
(
)
0
0
,
.
t
t
h x
dx dt
=
=
ω=
 Выбирая в дальнейшем 

начальные условия вида {
}
0
0
,
0 ,
t
t
x
A dx dt
=
=
=
=
 будем называть 

начальное отклонение А амплитудой колебаний. При этом предполагаем, что упругая характеристика является симметричной. Для 
получения размерных частоты и амплитуды нужно выполнить обратное преобразование: 
0
0
0
,
F
mq
A
Aq
ω←ω
←
. 

Данное учебное пособие посвящено определению зависимости 
частоты колебаний от амплитуды ω(A). По традиции эту зависимость называют скелетной кривой для соответствующей колебательной системы. Иногда удобнее рассматривать обратную функцию A(ω). Для жесткой характеристики частота свободных 
колебаний возрастает с увеличением амплитуды, для мягкой — 
убывает. Принципиальный вид этих функций показан на рис. 2. 
При исследовании реальных нелинейных систем одну из основных трудностей представляет получение силовой характеристики. В первом разделе пособия дан обзор различных типов силовых характеристик консервативных нелинейных систем. Второй 
раздел посвящен балочным системам с предварительно поджаты