Исследование кристаллической структуры графита

А.Г. Андреев, М.Ю. Константинов

Исследование кристаллической 
структуры графита 

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5313-9

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2020

А65

УДК 530.1+539.27
ББК 22.317
        А65

Издание доступно в электронном виде по адресу 
https://bmstu.press/catalog/item/6524/

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Физика»

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Андреев, А. Г.
Исследование кристаллической структуры графита : учебно-
методическое пособие / А. Г. Андреев, М. Ю. Константи- 
нов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 
14, [6] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5313-9

Представлена лабораторная работа по курсу общей физики. Изложены 
основные теоретические сведения о дифракции электронов на 
кристаллах и ее применении для определения межплоскостных расстояний — 
методе электронографии. Дано описание экспериментальной 
установки, описана методика выполнения эксперимента по определению 
межплоскостных расстояний кристалла графита, приведены порядок 
обработки полученных результатов и контрольные вопросы, 
требования к отчету о работе.
Для студентов 2-го курса всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Бау- 
мана, изучающих квантовую физику.

УДК 530.1+539.27
ББК 22.317

Предисловие

Учебно-методическое пособие предназначено для подготовки 
к выполнению лабораторной работы «Исследование кристалличес- 
кой структуры графита» в рамках модуля «Элементы квантовой 
механики». 
Подготовка к выполнению лабораторной работы предполагает 
изучение теоретического материала, знакомство с устройством 
экспериментальной установки, порядком проведения эксперимента 
и обработки результатов измерений. 
Лабораторная работа направлена на закрепление студентами 
теоретических знаний, полученных на лекциях и семинарских занятиях, 
приобретение навыков обращения с физическим оборудованием, 
постановки эксперимента и обработки результатов 
эксперимента.
После изучения материала пособия и выполнения лабораторной 
работы студенты овладеют знаниями современных методов 
исследования структуры кристаллов, теоретических основ метода 
электронографии, методикой определения межплоскостных расстояний 
методом электронографии, умением обрабатывать полученные 
методом электронографии экспериментальные данные, 
определять число систем кристаллических плоскостей, участвующих 
в образовании дифракционной картины и определять межплоскостные 
расстояния для каждой из систем плоскостей.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Механические и физические свойства твердых тел формируются 
структурно-фазовым состоянием вещества. Обычно твердые 
тела подразделяют на две большие группы: кристаллические  
и некристаллические (аморфные или стекла). Первые характеризуются 
наличием дальнего порядка в расположении атомов, ионов 
или молекул, а вторые — отсутствием такового. Отличительной 
чертой кристаллического состояния является строгая периодичность 
расположения частиц, составляющих решетку кристалла. 
Любое нарушение такой периодичности представляет собой дефект.
Для экспериментального исследования кристаллической структуры 
твердых тел были разработаны и доведены до высокой степени 
совершенства стандартные методы структурного анализа, 
основанные на использовании явления дифракции. Основное 
условие дифракции — соизмеримость длины падающей волны  
с расстоянием между рассеивающими центрами. Для большинства 
твердых тел это расстояние составляет ( ... )
1
2 10 10
⋅
−  м.
Вплоть до середины XX века единственным методом дифракционного 
исследования кристаллов был метод рентгеноструктурного 
анализа, который подразделяется на метод Лауэ, метод вращения 
кристалла и метод Дебая — Шерера — Хэлла, или метод 
порошка.

Методы рентгеноструктурного анализа

Метод Лауэ. При использовании метода Лауэ монокристалл 
неподвижно укрепляют в держателе и направляют на него пучок 
рентгеновских лучей с длинами волн, распределенными непрерывно 
в некотором интервале значений (непрерывный спектр).
Пусть периоды решетки вдоль осей координат X Y Z
,
,
, параллельных 
трем ребрам решетки, равны d
d
d
1
2
3
,
,
. Тогда при фраун-

гоферовой дифракции главные максимумы должны удовлетворять 
трем соотношениям, называемым условиями Лауэ, которые имеют 
следующий вид:

d
m
1
0
1
(cos
cos
)
α
α
λ
−
= ±
;

d
m
2
0
2
(cos
cos
)
β
β
λ
−
= ±
;

d
m
3
0
3
(cos
cos
)
γ
γ
λ
−
= ±
,

где a0, b0, g0 и a, b, g — углы между осями координат X Y Z
,
,
 
и направлениями распространения падающего и дифрагирован-
ного пучков; m
m
m
1
2
3
,
,
 — целые числа, определяющие порядок 
максимума (0, 1, 2, ...).
Углы a, b, g не являются независимыми. В случае прямоугольной 
системы координат они связаны соотношением

cos
cos
cos
,
2
2
2
1
α
β
γ
+
+
=

которое с учетом условий Лауэ может быть переписано в виде

(
cos
)
(
cos
)
(
cos
)
.
d
m
d
d
m
d

d
m

d

1
0
1
2

1
2
2
0
2
2

2
2
3
0
3
2

3
2
1
α
λ
β
λ
γ
λ
+
+
+
+
+
=

Таким образом, дифракция на заданной пространственной 
решетке дает максимум не для всех длин волн, а только для тех, 
которые удовлетворяют полученному соотношению. Волны других 
длин формируют дифракционный максимум нулевого порядка.
По расположению максимумов и значению длин волн l, которым 
они соответствуют, оказывается возможным однозначно 
воспроизвести ту пространственную решетку, которая обусловила 
дифракцию.
Метод вращения кристалла. Метод вращения используют, когда 
объект исследования — монокристалл, а задача — установление 
формы и размеров элементарной ячейки, нахождение координат 
всех атомов базиса, т. е. когда необходимо полное определение 
атомной структуры кристалла. 
Монокристалл размером не более 1 мм вращается вокруг какой-
то фиксированной оси в монохроматическом пучке рентгеновских 
лучей, перпендикулярном оси вращения. При вращении изменение 
угла скольжения q приводит к тому, что атомные плоскости кристалла 
последовательно занимают положения, при которых может 
иметь место отражение. Дифракционная картина фиксируется на 
фотопленке, закрепленной на внутренней поверхности цилиндра, 
ось которого совпадает с осью вращения кристалла. 

Метод Дебая — Шерера — Хэлла. Порошковый образец кристаллического 
материала помещается в некотором фиксированном 
положении в монохроматическом пучке рентгеновских лучей. 
Среди кристалликов порошкового образца найдутся такие, ориентация 
которых по отношению к направлению пучка такова, что 
угол скольжения q удовлетворяет уравнению Брэгга — Вульфа

2d
n
sinθ
λ
=
,

где l  — длина волны излучения, а n  — порядок дифракции.
Применяют все три метода, иногда с модификациями, обусловленными 
конкретными особенностями исследуемого вопроса. 
Метод Лауэ удобен для быстрого определения ориентации кристаллографических 
направлений и симметрии, а также для изучения 
размеров искажений и дефектов, возникающих в кристалле 
при механической или термической обработке. Метод вращения 
является основным методом определения структуры монокристаллического 
образца. Метод Дебая — Шерера — Хэлла используют 
в основном для определения расстояний между кристаллическими 
плоскостями.

Методы структурной нейтронографии и электронографии

Начиная с 50-х годов XX века наряду с методами рентгеноструктурного 
анализа получили распространение методы структурной 
нейтронографии и электронографии. Геометрическая теория 
дифракции всех трех излучений одинакова, но физическая 
природа взаимодействия их с веществом различна, что опреде- 
ляет специфику и области применения каждого из методов. 
Рентгеновские лучи рассеиваются электронными оболочками 
атомов, нейтроны (через короткодействующие ядерные силы) — 
атомными ядрами, электроны — электрическим потенциалом 
атомов. При этом интенсивность дифракции нейтронов в 100 раз 
слабее, чем в случае рентгеновского излучения, а интенсивность 
дифракции электронов в 106  раз сильнее, чем в случае рентгеновского 
излучения. Кроме классических трехмерных кристаллов, 
электронная дифракция позволяет определять кристаллическую 
структуру квазикристаллов и несоразмерных кристаллов.
Метод дифракции нейтронов позволяет изучать не только 
кристаллографическую, но и магнитную структуру вещества,  
к которой рентгеновские лучи совершенно нечувствительны. 

Электронная дифракция в совокупности с другими методами 
дает возможность провести более детальное исследование структуры 
кристаллов, уточнить и дополнить рентгеновские и нейтронографические 
данные, изучить структуру дефектных кристаллов. 
Ввиду особенностей взаимодействия пучка электронов с атомами 
метод электронной дифракции значительно менее точен, чем 
рентгеновский: относительная погрешность дифракционной 
электронографии составляет 2…5 %, тогда как относительная погрешность 
рентгеновских методов — доли процента. Однако высокая 
интенсивность дифракции электронов позволяет получить 
дифракционную картину в течение нескольких секунд, тогда как 
в рентгено- и нейтронографии это время может составлять от нескольких 
часов до нескольких суток. 
Во всех методах дифракционная картина фиксируется на специальной 
фотопластинке или фотопленке. При этом следует учитывать, 
что благодаря трехмерности кристаллической структуры 
дифракционная картина формируется в результате отражения от 
разных систем кристаллических плоскостей. Поэтому в процессе 
расшифровки полученных рентгенограмм для идентификации 
каждого элемента дифракционной картины необходимо проверять 
различные предположения о возможной структуре исследуемого 
кристалла.

Корпускулярно-волновой дуализм материи, гипотеза де Бройля

Впервые предположение о наличии у материи волновых свойств 
было высказано в 1924 г. Луи де Бройлем, который на основании 
теоретического анализа постулатов Бора предположил, что двойственной 
природой обладает не только свет, но и частицы, распространив 
таким образом корпускулярно-волновой дуализм на 
все без исключения микрообъекты. 
Согласно гипотезе де Бройля, свободной частице с кинетичес- 
кой энергией E и импульсом p, движущейся вдоль оси x, соответствует 
плоская волна

Ψ( , )
,
(
)
x t
A

i Et
px
=

−
−
e 

которая называется волной де Бройля и описывает волновые свойства 
частицы, характеризующиеся частотой

ω = E



и длиной волны де Бройля

 
λ
π

Б = 2 

p .  
(1)

В общем случае связь импульса частицы p  с ее кинетической 
энергией E  дается известной из специальной теории относительности 
формулой

p
c
E E
m c
=
+
1
2
0
2
(
),

где E — ее кинетическая энергия; m0 — масса покоя частицы;  
c — скорость света в вакууме.
При малых значениях энергии (
)
E
m c

0
2  частица является 
нерелятивистской и для вычисления ее кинетической энергии 
можно пользоваться нерелятивистской формулой, связывающей 
кинетическую энергию и импульс частицы: 

E
p
m
=
2

2
,

откуда

p
mE
=
2

и

 
λ
π
π

Б =
=
2
2

2




p
mE
. 
(2)

Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля

Первые экспериментальные исследования, подтвердившие 
волновую природу частиц, были выполнены в 1927 г. физиками 
К. Дэвиссоном и Л. Джермером (США), наблюдавшими дифракцию 
электронов на монокристаллах. В 1928 г. независимо от них 
физики Дж.П. Томсон (Англия) и П.С. Тартаковский (Россия) 
наблюдали дифракцию электронов на поликристаллической решетке. 

Теоретический анализ дифракции электронов на кристаллах во 

многом аналогичен анализу дифракции рентгеновского излучения. 
При значении угла скольжения q, удовлетворяющем условию 
Брэгга — Вульфа:

 
2d
n
sin
,
θ
λ
=
Б  
(3)

электроны, отраженные от одной из кристаллических плоскостей, 
интерферируют с электронами, отраженными от соседней плоскости, 
отстоящей от первой на расстояние d (рис. 1), в результате 
чего возникает интенсивный дифракционный максимум отраженной 
волны. 

В экспериментах Томсона и Тартаковского, аналогичных экс-

периментам Дебая — Шерера, коллимированный пучок моноэнергетических 
электронов падал нормально на тонкую металлическую 
поликристаллическую фольгу. 

Поликристалл состоит из большого числа очень маленьких 

монокристаллических зерен — кристаллитов, хаотически ориентированных 
по отношению друг к другу. Ориентация некоторой 
выделенной системы атомных плоскостей в кристаллитах показа-

Рис. 1. Дифракция электронов на кристаллических 

плоскостях

Рис. 2. Дифракция электронов на кристаллите

на на рис. 2. Эта ориентация произвольным образом изменяется 
при переходе от одного кристаллита к другому.
При падении пучка электронов на поликристалл найдутся 
кристаллиты, ориентированные так, что какая-либо система атомных 
плоскостей будет находиться в отражающем положении, 
удовлетворяя условию Брэгга — Вульфа. Постоянная решетки d 
и порядок отражения n  однозначно определяют значение угла 
скольжения q. Дифрагирующий пучок электронов отклоняется на 
угол 2q по отношению к проходящему пучку и, попадая на фотопластинку, 
оставляет на ней точку. Ввиду осевой симметрии  
в дифракции будут принимать участие кристаллиты, у которых 
отражающие плоскости по-разному повернуты относительно оси, 
задаваемой направлением падения электронов, при условии, что 
падение пучка осуществляется под тем же углом q. Поэтому направления 
движения частиц, дифрагирующих на поликристалле 
при фиксированном значении q, образуют конус с углом раствора 
a = 2q, сечение которого плоскостью фотопластинки представляет 
собой окружность. Отражение от разных плоскостей кристалла 
и наличие разных порядков отражения приводят к появлению 
на фотопластинке системы концентрических окружностей.