Учебное пособие по оптике для поступающих в вузы

 
Учебное пособие 
для поступающих в вузы 
 
А.Е. Иванов 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Москва 2014 

УДК 535(075.8) 
ББК 22.3 
        И20 

Рецензенты:  
профессор кафедры физической электроники 
физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, 
д-р физ.-мат. наук Э.И. Рау; 
зам. заведующего кафедрой «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
канд. физ.-мат. наук, доцент О.С. Еркович 

Иванов А. Е. 
И20 
Учебное пособие по оптике для поступающих в вузы :  

 
учеб. пособие / А. Е. Иванов. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. – 447, [1] с. : ил.  
 
ISBN 978-5-7038-3689-7 
 
Рассмотрены основные разделы школьного курса оптики. Приведен необходимый теоретический материал, достаточно полно изложены основные методические приемы и решения задач различного 
уровня сложности. Большинство представленных задач предлагалось 
на физико-математических олимпиадах в МГТУ им. Н.Э. Баумана и 
других вузах, а также при проведении ЕГЭ (раздел С). 
Для учащихся старших классов средних школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов, выпускников средних специальных учебных заведений, лиц, самостоятельно изучающих физику и готовящихся к вступительным испытаниям в технические вузы, студентов, а также для преподавателей физико-математических 
лицеев, гимназий и факультетов довузовской подготовки. 

УДК 535(075.8) 
                                                                                         ББК 22.3 

 
 Иванов А.Е., 2014 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3689-7 
  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 

  
Введение 
3 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для школьников старших 
классов и выпускников средних специальных учебных заведений, 
предполагающих участвовать в физико-математических олимпиадах МГТУ им. Н.Э. Баумана и других технических вузов.  
Пособие разработано на основе лекций и семинаров, проводившихся в течение многих лет в физико-математическом лицее 
№ 1580 (при МГТУ им. Н.Э. Баумана). 
Пособие включает 10 глав. В каждой главе наряду с изложением основных законов оптики приведено решение задач разного 
уровня сложности. Большинство представленных заданий предлагалось на физико-математических олимпиадах, вступительных экзаменах по физике в МГТУ им. Н.Э. Баумана и других технически 
вузах, а также при проведении ЕГЭ (раздел С). Значительное внимание уделено освоению таких сложных для школьников тем, как 
волновая оптика (интерференция, дифракция, поляризация), основы квантовой оптики.  
Пособие является самодостаточным: в нем изложены физические законы и дано решение более 160 задач. Многие из них составлены таким образом, чтобы заинтересовать читателя оптическими 
явлениями. Решение задач – необходимый элемент изучения физики. Основное внимание уделено разъяснению физического смысла и 
содержания основных законов и понятий оптики, а также развитию 
у учащихся навыков физического мышления и умения ставить и 
решать конкретные задачи. Бóльшая часть рисунков выполнена автором. 
Содержание пособия соответствует программам по физике и математике, изучаемым в средней школе. Достаточно полно представлены разделы, которые, как показала практика преподавания в упомянутом лицее, наиболее сложны для учащихся. 

Введение 

 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Развитие учения о природе и свойствах света 

Оптика (греч. optike  – наука о зрительных восприятиях, от 
optos  – видимый, зримый) – раздел физики, в котором изучаются 
природа оптического излучения (света), его распространение и явления, наблюдаемые при взаимодействии света с веществом. Оптическое излучение представляет собой электромагнитные волны, и 
поэтому оптика – часть общего учения об электромагнитном поле. 
Природа и свойства света интересовали людей с давних пор.  
В древние времена греки на основании наблюдений смогли сформулировать ряд важнейших законов, лежащих в основе геометрической оптики, – о закономерностях распространения света. 
1. Закон прямолинейного распространения света. Этот закон 
по существу был сформулирован Евклидом (III в. до н. э.): «Все, 
что видно, видно по прямой, или испускаемые глазом лучи распространяются по прямому пути».  
Современная формулировка: «В оптически однородной среде 
свет распространяется прямолинейно» (оптически однородная 
среда – среда, во всех точках которой скорость распространения 
света одинакова). 
2. Закон отражения света от 
зеркальной 
поверхности. 
Древние 
греки уже знали закон отражения. 
Близкую к современной формулировку дал греческий математик Герон 
(вторая половина I в.). В настоящее 
время закон формулируется так: «Падающий и отраженный лучи, а также 
перпендикуляр, восстановленный в 
точке падения луча на границе двух сред, лежат в одной плоскости. 
Угол падения равен углу отражения» (рис. В.1): 

                    N

  
             i      i  

 
Рис. В.1 

  
Введение 
5 

 
'

1
1.
i
i

 
(В.1) 

3. Закон преломления cвета на границе двух прозрачных сред. 

Явление преломления света известны были еще древним грекам – 
Аристотелю (384–322 до н. э.), Птолемею (ок. 87 – ок. 165 до н. э.).  

Однако представления о природе света у древних греков носи
ли весьма наивный характер. Например, существовало мнение  
(в школе пифагорийцев), что свет – это флюид, который испускают глаза и которым они «ощупывают» предметы. Представитель 
материалистической школы Демокрит утверждал, что предметы 
«испускают образы (призраки)», которые, попадая в глаза, вызывают ощущение формы и цвета. 

В XVII в. был сформулирован закон 

преломления света – независимо голландским физиком профессором Лейденского 
университета В. Снеллиусом (1580–1626) 
и французским математиком и физиком  
Р. Декартом (1596–1650). Современная 
формулировка этого закона следующая: 
«Преломленный луч монохроматического 
света лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной 
в точке падения луча на границе двух сред. 
Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть 
величина постоянная для данных веществ» (рис. В.2): 

 
1
2

12

2
1

sin
.
sin

i
n
n
i
n


 
(В.2) 

Здесь n  – показатель преломления среды, равный отношению скорости света в вакууме c  к скорости света в веществе :v   

 
;
c
n  v  
 

12
n  – относительный показатель преломления двух веществ. 

Сейчас известно, что законы (В.1) и (В.2) справедливы лишь 

при определенных ограничениях: размеры тела или области, охваченной процессом, велики по сравнению с длиной волны света. 

                    N



 

                      1i  
                             
1n      

                         
                             
2
n  

               2i  

 

Рис. В.2 

Введение 

Отступление от закона прямолинейного распространения света 
рассматривается в учении о дифракции. 
Принцип Ферма. В неоднородной среде 
лучи искривляются. Примерно в 1660 г. французским физиком и математиком П. Ферма 
(1601–1665) был предложен принцип, утверждающий, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему 
требуется минимальное время (рис. В.3). 
Элементарное время, необходимое для 
прохождения светом элементарного пути 
,
ds  
равно 
.
dt
ds

v  Показатель преломления среды 
.
n
c

v  Следовательно,  

2

min
1

1
1
min.
dt
n ds
t
n ds
с
c





 

Оптическая длина пути 

2

min
min
1

1
1
.
L
nds
t
L
c
c




 

В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути s  на показатель преломления :
n  

.
ns
L 
 

Свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. 
4. Закон независимости световых пучков. 
5. Закон обратимости направления световых лучей. 
В 1676 г. датским ученым О. Ремером (1644–1710) на основании наблюдений за затмением спутника Юпитера впервые 
была сделана оценка (на основе наблюдений) значения скорости 
света: 
215 000
с 
 км/c (современные измерения скорости света 
дают 
299 792
с 
 км/c). 
Первую научную теорию о природе света, которая получила 
название корпускулярной, разработал И. Ньютон (1643–1727 по григорианскому календарю). Согласно этой теории, свет есть поток 

                       2 
    ds  
   

1 
 
Рис. В.3 

  
Введение 
7 

материальных частиц (корпускул), летящих прямолинейно с большой скоростью от источника света. Однако уже к концу 
V

  в. 
накопилось много фактов, которые поставили под сомнение теорию 
Ньютона о природе света. Одним из таких фактов стало открытие 
итальянского ученого Ф. Гримальди (1618–1663). Гримальди экспериментировал с тонкими пучками света. Помещая на пути экран с 
малым отверстием, он обнаружил, что светлое пятно оказывается 
больше, чем это следует из закона прямолинейного распространения цвета, на котором базировалась теория Ньютона. При этом 
края светлого пятна были окаймлены красными и голубыми кольцами. Гримальди открыл способность света огибать малые тела и 
тонкие нити. Это явление он назвал дифракцией. Гримальди высказал предположение о волновой природе света. Он указал, что 
наблюдаемое им явление схоже с явлением распространения волн 
на воде. Позднее, в 1672 г., аналогичные опыты повторил английский естествоиспытатель Р. Гук (1635–1703). Он также отстаивал 
волновую природу света и был противником корпускулярной теории Ньютона. 
Так зародилась мысль о волновой природе света. 
В 1669 г. датским ученым Э. Бартолином (1635–1698) было открыто явление двойного лучепреломления. Он экспериментировал 
с кристаллами исландского шпата (кальцит 
3
CaCO ) и обнаружил, 
что падающий на кристалл луч раздваивается. Последовательное 
объяснение этого явления удалось сделать лишь примерно 160 лет 
спустя французскому физику О.Ж. Френелю (1788–1827), который 
исходил из теории поперечных колебаний (поперечных волн). Еще 
задолго до исследований Френеля была сделана попытка построить последовательную теорию, в основе которой лежали бы идеи о 
волновой природе света. 
Это было сделано голландским физиком Х. Гюйгенсом (1629–1695) 
в 1690 г. Он выступил с критикой теории Ньютона. При этом Гюйгенс указывал на один из хорошо известных законов геометрической оптики – закон независимости световых лучей. Независимость световых лучей заключается в том, что они, пересекаясь, не 
возмущают друг друга1. 

_________________ 
1 Позднее, в наше время, установлено, что этот закон верен, если интенсивность света мала. При высокой интенсивности (лазеры) этот закон перестает действовать. 

Введение 

Гюйгенс рассуждал: «Если свет состоит из корпускул, то как 
же это может быть, чтобы два пересекающихся пучка лучей не 
возмущали друг друга путем взаимных соударений частиц? Другое 
дело волны. Волны после взаимного пересечения расходятся, не 
имея никаких следов встречи (принцип суперпозиции, от лат. superpose – кладу наверх)». 
Он предложил следующую теорию: «Источник света сообщает 
частицам окружающего эфира движение. Каждая частица эфира, в 
свою очередь, становится центром следующей волны. Движение 
распространяется от частицы к частице эфира через посредство 
вторичных волн подобно тому, как распространяется пожар». 
Гюйгенс сформулировал принцип огибающей волны, согласно которому каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичной волны; вторичные волны гасятся во 
всех направлениях, кроме направления движения исходного фронта; огибающая вторичных волн есть фронт волны света».  
Рассмотрим фронт волны в момент времени 
1  (рис. В.4). 
Каждая точка волны – центр вторичной сферической волны. Эти 
вторичные волны за время 
2
1
      пройдут расстояние 
,
R 
 
v
 где 

v
скорость волн. Построив огибающую всех вторичных волн, получим положение фронта волны в момент времени 

2  (напомним: фронт волны – поверхность, различных точек которой световое возбуждение достигает в один и тот же момент времени). Аналогично можно найти положение фронта волны в момент времени 
3 . 
На основе своей теории Гюйгенс дал объяснение законов преломления и отражения. 
На рис. В.5 представлена схема, поясняющая закон преломления. На поверхность раздела двух сред падает плоская волна с 
фронтом 
.
AA  Волновой фронт в среде 2 можно получить, проведя 
огибающую вторичных волн, центры которых лежат на поверхности раздела. Если угол падения не равен нулю, то различные участки волнового фронта AA  достигнут поверхности неодновременно: 
в точку В  волна придет позднее, чем в точку 
,
А  на время 
.
   
Возбуждение в точке В  начнется тогда, когда из точки А волна 
пройдет путь 
2
.

v
 Фронт остался плоским, но направление перемещения изменилось. Лучи перпендикулярны к фронту. 

  
Введение 
9 

                 
3  

          
2
  
      1                
                         r  

    
3
R 

v
 

 

Рис. В.4 
Рис. В.5 

Согласно рис. В.5, 

 
2
2
sin
;
i
AB

 v
 
(В.3) 

 
1
1
sin
,
i
AB

 v
 
(В.4) 

где 1
2
,

v v
 скорости света в средах 1 и 2.  
Из выражений (В.3) и (В.4) следует, что 

 
1
1

2
2

sin
.
sin
i
i  v
v
 
(В.5) 

С учетом формулы (В.2) из уравнения (В.5) получим 

 
1
2

2
1

sin
.
sin
i
i  n
n
 
 

Если 
1
2
n
n

, то говорят, что первая среда оптически более 
плотная, чем вторая, и наоборот. Показатель преломления n  зави

Введение 

сит от длины волны света (явление дисперсии, от лат. disperso – 
рассеяние). 
Гюйгенс, однако, не смог дать четкого объяснения явлениям 
дифракции. Это было воспринято многими как несостоятельность 
волновой теории; в ΧVΙΙΙ  в. большинство не признавало теорию 
Гюйгенса. Интересно отметить, что русские ученые М.В. Ломоносов (1711–1765), Л. Эйлер (1707–1783) стояли на позициях волновой теории. Ломоносов в своем «Слове о происхождении света» 
решительно отвергал теорию Ньютона. 
В 1801 г. английский ученый Т. Юнг (1773–1829) наблюдал 
следующее явление. Он пропускал солнечные лучи через очень 
маленькую щель в непрозрачном экране S  (рис. В.6). От этой щели световая волна падала на две узкие равноудаленные щели 
1S  и 

2
S  в экране Э1, параллельные щели 
.
S  На экране Э2 Юнг видел 
серию темных полос. Наблюдениям он дал следующее объяснение: «Темные полосы там, где провалы волн, прошедших через 
одну щель, наблюдаются на гребне волн, прошедших через другую 
щель». Это явление Юнг назвал интерференцией (от лат. inter – 
взаимно, ferio – ударяю). Интерференция – одно из явлений, доказывающих волновую природу света. 

Рис. В.6 

Французский физик О.Ж. Френель в 1815 г. дал объяснение явлению дифракции, дополнив принцип Гюйгенса положением о том,