Теория колебаний

Теория колебаний

“Механика в техническом университете”

Серия основана в 1999 году

В восьми томах

Том 4



Ответственный редактор К. С. Колесников


Редакционный совет:

              К. С. Колесников (председатель)
              НА. Алфутов
              О. С. Нарайкин
              Д.Н. Попов
              О.А. Ряховский
              В.А. Светлицкий
              В. И. Усюкин
              КВ. Фролов
              ИС. Шумилов

Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2003

Федеральная целевая программа «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки»



М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов








            Теория колебаний



Под редакцией К. С. Колесникова Издание второе, стереотипное


Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов в области машиностроения и приборостроения

Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2003

    УДК 534.1 (075.8)
    ББК 22.213
         И46


               Рецензенты: академик РАН Р.Ф. Ганиев, д-р техн, наук, проф. Н.Ф. Шклярчук

           Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С.
     И46 Теория колебаний: Учеб, для вузов / Под общ. ред. К.С. Колесникова. - 2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 272 с., ил.: (Сер. Механика в техническом университете; Т. 4).

           ISBN 5-7038 -1903-2 (Т. 4)
           ISBN 5-7038-1371-9

              Изложены основные разделы курса «Теория колебаний». Наиболее полно представлены колебания линейных систем с одной и двумя степенями свободы, которые являются основой для понимания более сложных колебательных процессов. Рассмотрены нелинейные, параметрические колебания и автоколебания в системах с одной степенью свободы, колебания в системах с конечным числом степеней свободы (матричном виде), колебания в системах с распределенными параметрами. Кроме того, для систем с распределенными параметрами даны приближенные методы решения и рассмотрены вопросы распространения волн. Для лучшего усвоения теоретического материала приведены примеры с решениями.
              Содержание учебника соответствует программе и курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
              Для студентов вузов и технических университетов машиностроительного и приборостроительного профиля. Книга может бьггь полезна аспирантам и преподавателям.

                                                       УДК 534.1 (075.8) ББК 22.213

Издание осуществлено при финансовой поддержке Федеральной целевой программывГосударственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки»



ISBN 5-7038-1903-2 (Т. 4)
ISBN 5-7038-1371-9

                                                © Центр «Интеграция», 2001
                 © М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов, 2001

Предисловие


        Теория колебаний, к сожалению, еще не стала обязательным предметом при подготовке инженеров-машиностроителей. Однако в последние годы отдельные ее разделы все больше включают в профилирующие инженерные курсы, связанные с управлением машинами и динамическими расчетами. Особенно широко теорию колебаний изучают студенты авиационных и ракетных специальностей.
        В первой части учебника на примере механической системы с одной степенью свободы рассмотрены основные процессы теории колебаний, которые изложены подробно и занимают значительную часть книги. Во второй и третьей - более сложные колебательные процессы в системах с конечным числом степеней свободы и распределенными параметрами, принципиально мало отличающиеся от процессов в системах с одной степенью свободы.
        Материал в учебнике распределен между авторами следующим образом: введение и главы 4,8,9-11 написаны К.С. Колесниковым, им же проведено редактирование книги, главы 1,2,5,6 написаны М.М. Ильиным, главы 3,7 — Ю.С. Саратовым.
        Авторы будут благодарны всем, кто пришлет свои замечания и пожелания по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская, 5, Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.

5

Введение


         Колебательным называется процесс, сопровождающийся многократным чередованием возрастания и убывания некоторых физических величин.
         Почти невозможно назвать какие-либо отрасли науки и техники, в которых бы отсутствовали колебательные процессы. Радиотехника и электроника целиком основаны на использовании колебательных процессов. В оптике, акустике, механике, электротехнике — всюду мы встречаемся с колебательными процессами. От неуравновешенности вращающихся роторов возникают колебания строительных конструкций; целый ряд технологических машин, установок и инструментов основаны на использовании колебаний.
         Физическая сущность процессов, в которых имеют место колебания, различна. Например, колебания железнодорожного моста и колебания тока в электрическом контуре — совершенно различные явления. Но даже беглое знакомство с законами этих колебаний показывает много общего между ними. Детальный анализ колебательных процессов, встречающихся в физических явлениях и технических устройствах, показывает, что основные законы колебаний во всех случаях одинаковы. Такая универсальность этих законов заставляет выделить изучение их в отдельную дисциплину, которая и носит название теории колебаний. Таким образом, задачей курса теории колебаний является изучение с единой точки зрения колебательных процессов, встречающихся в разнообразных физических явлениях и технических устройствах.
         Все колебательные процессы можно классифицировать по кинематическим признакам, т. е. по характеру закона из

6

     менения во времени некоторой величины, участвующей в процессе.
        Прежде всего все встречающиеся на практике колебательные процессы разделяют на периодические и непериодические. Кроме того, существенное значение имеют промежуточные почти периодические процессы.
        Периодическим называется такой процесс, при котором колебательная величина, взятая в любой момент времени, через определенный отрезок времени Т имеет то же самое значение. Математическое определение периодической функции таково: функция f(t) называется периодической с периодом Т, если существует такая постоянная величина Т, для которой
f(t+T)=f(t)
    при любом значении переменной t. Непериодическими называются все остальные функции, не удовлетворяющие сформулированному условию периодичности.
        Почти периодическая функция обладает следующим свойством: f(t ₊ x)-f(t)<£
    при любом t, где т и 8 — постоянные величины. Величина т, которая вообще есть функция 8, называется почти периодом. Если значение 8 очень мало по сравнению со средним значением модуля функции f (/) за время т, то можно считать, что почти периодическая функция на некотором участке практически близка к периодической. Например, функция
f (t) = cos t + cos(V2z)
    почти периодическая. Если приближенно полагать V2 =1,41, то на ограниченном участке времени t функцию f(t) можно рассматривать как периодическую с периодом, равным 1 Отг.
        Среди периодических огромную роль играют гармонические колебания, при которых изменение физической величины со временем происходит по закону синуса или косинуса.
        Непериодические колебания гораздо разнообразнее периодических. Из них отметим лишь «затухающую (нарастающую) синусоиду» и лимитационные движения.

7

         Колебания по закону «затухающей синусоиды» или, как их иногда называют, затухающие гармонические колебания (рис. В1, а) математически описываются уравнением
у = Ae~zt sin(ctH + а),

    где А, ос, е, со — постоянные величины, t — время.

    Нарастающие гармонические колебания показаны на рис. В1, б и математически уравнение этих колебаний отличается от затухающих гармонических колебаний только знаком величины е .

Рис. В1                                   Рис. В2

        Характерные примеры лимитационных движений показаны на рис. В2. Переменная величина здесь изменяет знак не более одного раза и с течением времени стремится к некоторому постоянному значению. Математически лимитационные движения могут быть описаны, например, уравнением вида
                        у = (Ае~е‘ +Вее‘)е^‘, где А, В, е, X — действительные числа, причем X > е .
        Перечисленные чисто внешние признаки колебательных процессов совершенно недостаточны для их изучения. Поэтому принято классифицировать колебательные процессы по ряду признаков.
        1.     По числу учитываемых в расчетной схеме степеней свободы различают: '
        а) колебания в системах с одной степенью свободы;
        б) колебания в системах с конечным числом степеней свободы;
        в)      колебания в системах с распределенными параметрами (с бесконечным числом степеней свободы).
        2.    По типу колебательного процесса выделяют:
        а) свободные колебания;
        б) вынужденные колебания;
        в) параметрические колебания;
        г)автоколебания.

8

        Свободные колебания происходят в изолированной системе после внешнего возмущения. Характер колебательного процесса в основном определяется только внутренними силами системы, зависящими от физического строения системы. Необходимая энергия поступает извне в начальный момент возбуждения колебаний.
        Вынужденные колебания происходят под действием заданных внешних переменных сил, которые действуют независимо от колебаний в системе. Характер колебаний определяется не только свойствами системы, но и существенно зависит от внешней силы. Необходимая для колебаний энергия обеспечивается источником внешних сил.
        Параметрические колебания отличаются от вынужденных характером внешнего воздействия. При вынужденных колебаниях извне задана сила или какая-либо величина, совершающая колебания, а параметры самой системы остаются при этом постоянными. Параметрические колебания вызываются периодическим изменением извне какого-либо физического параметра системы (например, массы, жесткости).
        Автоколебания возникают в системе в отсутствии внешнего периодического воздействия. Характер колебаний определяется исключительно устройством системы. Источник энергии, компенсирующий потери энергии вследствие выделения теплоты при колебаниях, обычно составляет неотъемлемую часть колебательной системы.
        Все типы колебательных процессов исследованы для систем с одной степенью свободы; для систем с конечным числом степеней свободы и систем с распределенными параметрами рассмотрены только свободные и вынужденные колебания.
        3.    По типу дифференциальных уравнений, описывающих колебательный процесс различают:
        а)    линейные колебания, когда движение описывается линейными дифференциальными уравнениями,
        б)    нелинейные колебания, для описания движения в которых используются нелинейные дифференциальные уравнения.
        Анализ последних усложняется отсутствием регулярных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Вместе с тем для технических задач в большинстве случаев достаточно изучения линейных колебаний. Поэтому почти вся книга посвящена рассмотрению линейных колебательных процессов, составляющих фундаментальную основу теории колебаний.

9

Часть I


СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ



Глава 1

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

1.1. Дифференциальные уравнения колебаний линейной системы с одной степенью свободы

1.1.1. Основные положения


        Рассмотрим малые колебания относительно устойчивого положения равновесия в системах с одной степенью свободы, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.
           Понятие устойчивого положения равновесия определим для механической системы с п степенями свободы, подчиненной голономным стационарным неосвобождающим связям, положение которой определяется обобщенными координатами q{, q₂,..., qₙ. В соответствии с принципом возможных перемещений в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю:
21=0....2„=0.

    Для консервативной системы эти условия принимают вид


— = 0 (z = l,2,.


(i.i)

    где П-n(q₁,q₂,...,qₙ) —потенциальная энергия системы.
        Однако положение равновесия может быть устойчивым, не-


устойчивым и безразличным.

Рис. 1.1

     На рис. 1.1 представлены устойчивое (а), неустойчивое (6) и безразличное (в) положения равновесия простейшей механической системы.


10