Постановка и решение задачи оптимального проектирования и расчет теплонапряженного состояния лопаток и дисков турбин

Б.Е. Васильев 

Постановка и решение задачи 
оптимального проектирования
и расчет теплонапряженного 
состояния лопаток 
и дисков турбин 

Методические указания 
к выполнению домашнего задания 

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-4872-2 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

УДК 517.31
ББК 34.445
 
В19 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/127/book1821.html

Факультет «Энергомашиностроение» 
Кафедра «Газотурбинные и нетрадиционные энергоустановки» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

 
Васильев, Б. Е.

В19 
 
Постановка и решение задачи оптимального проектирования и расчет 
теплонапряженного состояния лопаток и дисков турбин : методические 
указания к выполнению домашнего задания / Б. Е. Васильев. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 47, [5] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4872-2 

Приведены условия домашних заданий, примеры их выполнения, а также не
обходимые теоретические сведения. Задания направлены на формирование у обучающихся навыков проведения расчетов напряженно-деформированного состояния и прочности лопаток и дисков турбин как в 2D-, так и в 3D-постановках. 
Дополнительно рассмотрено решение задачи конструктивно-прочностной оптимизации диска турбины. 

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана, обучающихся по специальности 

«Проектирование авиационных и ракетных двигателей», а также для начинающих 
инженеров. 
УДК 517.31
ББК 34.445

Предисловие

В издании приведены условия двух общих домашних заданий (ДЗ) по 
курсу «Численное моделирование процессов в авиационных двигателях 
и энергоустановках», примеры решений и теоретические основы для их выполнения. Также представлены задания повышенной сложности и перечень 
основных действий для их решения.
Целью настоящего издания является приобретение навыков постановки, 
решения и критического анализа результатов задачи определения тепло-напряженного состояния и прочности с помощью метода конечных элементов (МКЭ) на примере расчетов дисков и лопаток турбин в 2D-постановке 
(в общем порядке), а также решения этой задачи в 3D-постановке и проведения конструктивно-прочностной оптимизации диска (ДЗ повышенной сложности). Для каждого из указанных ДЗ предусмотрены различные варианты.
Помимо приобретения указанных выше навыков обучающиеся после 
решения ДЗ должны получить знания о том, какие факторы и как сильно 
влияют на напряженно-деформированное состояние (НДС) и прочность лопаток и дисков. 

Для упрощения проведения расчетов в рамках данных методических 
указаний не учитываются многие важные факторы и делаются допущения, 
использование которых в инженерной практике возможно только на стадии 
предварительных расчетов. 
Домашние задания повышенной сложности выдаются лишь некоторым 
обучающимся. Для одного задания имеется несколько вариантов твердотельных моделей, для другого рекомендуется выбирать конструктивный облик диска, нагрузки и граничные условия из курсового проекта по турбомашинам. 
Теоретические основы метода конечных элементов (МКЭ) изложены 

в [1, 2], расчет прочности дисков и лопаток турбин — в [3, 4], подготовка граничных условий для определения их теплового состояния — в [5].  
Подробная инструкция по вычислению НДС диска турбины приведена в [6], 
а также наряду с инструкциями по проведению других вычислений, в том 
числе лопаток турбин, может быть найдена в практикуме к этому курсу.  
Материалы по оптимизации представлены в курсе лекций. 
Для выполнения задания 1 повышенной сложности автор разработал 
видеоинструкцию с показом основных действий. Задание 2 повышенной 
сложности выполняется самостоятельно на примере оптимизации детали 
(крюка под нагрузкой), проект которой размещен на сайте автора. 
Автор выражает благодарность М.С. Свинаревой за помощь в подготовке рукописи к печати, а также проректору по учебной работе МГТУ 
им. Н.Э. Баумана Ю.Б. Цветкову за поддержку и рекомендации.

Условные обозначения и сокращения

ГТД 
— газотурбинный двигатель
ГТУ 
— газотурбинная установка
ДЗ 
— домашнее задание
ДСП 
— длительная статическая прочность
КЛТР 
— коэффициент линейного температурного расширения (α 1/°С)
КЭМ 
— конечно-элементная модель
МКЭ 
— метод конечных элементов
МЦУ 
— малоцикловая усталость
НДС 
— напряженно-деформированное состояние
ЦБС 
— центробежная сила
ЦТ 
— центр тяжести
∆ε 
— размах деформаций
N 
— центробежная сила (Н)
Mx, My — изгибающие моменты относительно осей x и y (Н · мм)
E 
— модуль упругости (МПа)
PЛМ 
— параметр Ларсона — Миллера
T 
— температура (°C)

Tw
*, Tв 
— температура газа и температура воздуха соответственно (K) 
µ 
— коэффициент Пуассона
ρ 
— плотность (кг/м3)
λ 
— коэффициент теплопроводности (Вт/(м · К)) 
σдл 
— предел длительной прочности материала (МПа)
σe 
— эквивалентные по Мизесу напряжения (МПа)
σm 
— среднее напряжение в расчетной точке (МПа)
KM 
— коэффициент запаса длительной статической прочности
KN 
— коэффициент запаса по циклической долговечности
Rс 
— радиус центра тяжести (мм) 

ψmin  
— относительное поперечное сужение (%)
ω 
— угловая частота (рад/с) 

1. ОБЩИЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 

1.1. Теоретические основы  
для выполнения общих домашних заданий

2D-расчет теплонапряженного состояния и прочности диска турбины. 
В настоящее время на основании нормативных требований прочность 
дисков газотурбинного двигателя (ГТД) оценивается расчетными запасами как по разрушающей частоте вращения, найденной с использованием 
теории предельного равновесия или по энергетическому критерию, так 
и по напряжениям. Для оценки долговечности дисков в течение требуемого 
циклического ресурса используются коэффициенты запасов по малоцикловой усталости. Допускаемые величины запасов прочности устанавливаются 
на основании испытаний и положительного опыта проектирования и эксплуатации. 
Двумерные расчеты дают общую картину НДС и его особенности вблизи 
осесимметричных концентраторов. Для этого используется осесимметричная формулировка НДС элемента. Данная формулировка подразумевает, 
что 3D-модель и нагрузки могут быть сгенерированы путем вращения плоского двумерного сечения на 360° вокруг оси (особенностью программного 
комплекса ANSYS является то, что данной осью обязательно должна быть 
ось 0Y ). Однако при наличии в конструкции отверстий и прочих неосесимметричных концентраторов для достоверной оценки прочности в их области 
необходимы трехмерные расчеты.
Основной вклад в НДС вносят центробежные силы лопатки и диска 
и радиальная неравномерность температуры. В рамках устаревших подходов 
учитываются, как правило, только радиальные σR и окружные σT напряжения, их распределение с достаточной степенью точности можно определить, 
используя метод двух расчетов.
Для дисков, работающих длительное время при повышенных температурах, необходимо использовать характеристики длительной статической 
прочности. Запас прочности по напряжениям определяется для каждого режима эксплуатации двигателя:

K M
e
= σ
σ

дл ,

где σдл — предел длительной статической прочности материала при заданном ресурсе работы двигателя при максимальных нагрузках; σe — эквивалентные по Мизесу напряжения:

σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
e =
−
+
−
−


1
2
1
2
2

2
3
1
2
1
2
(
)
(
)
,
3
2) +(

где σ1, σ2, σ3 — главные значения тензора напряжений.
В первом приближении циклический характер работы диска можно 
учесть по размаху деформаций в цикле 0 — рабочий режим с учетом модифицированной формулы Мэнсона:

∆ε
σ
σ

ψ
=
−
(
) ⋅
+
−







−
−
дл
m

f
f
E
N
N
3 5
100
100

0 12

0 6

0 6
,
ln
,
,

min

,

,

где ∆ε — размах деформаций в цикле, %; σm  — среднее напряжение в расчетной точке за цикл, МПа; E — модуль упругости при максимальной температуре за цикл, МПа; Nf — число циклов до разрушения; ψmin  — относительное поперечное сужение, минимальное за цикл, %.
Файл-скрипт «Мэнсон.xmcd» для расчета циклической долговечности 
можно скачать с сайта автора в разделе «Домашнее задание» [7]. Следует отметить, что для упрощения задачи этап разгрузки не принимается во внимание, хотя учет разгрузки может привести к существенно иным результатам.
Запас по циклической долговечности (с учетом числа циклов нагружения Nr) определяется как

K
N
N
N
f

r
=
.

Расчетный запас циклической долговечности должен быть больше 5.
2D-расчет теплонапряженного состояния и прочности охлаждаемой рабочей 

лопатки турбины. Для расчета охлаждаемой лопатки применяется полупространственная модель, которая в отличие от 1D-модели позволяет учесть 
напряжения и деформации в плоскостях поперечных сечений лопатки. Используется формулировка плоско-деформируемого состояния. 
В расчетах принято, что направление оси Z совпадает с продольной 
осью лопатки, а направления осей координат X и Y, в которых построены 
поперечные сечения лопатки, — с направлениями осей координат двигателя 
(рис. 1.1).
Для расчета местных запасов длительной статической прочности необходимо знать экспериментально определенные предельные характеристики. В случае отсутствия экспериментальных данных для заданных значений 
температур и длительностей можно воспользоваться параметром Ларсона — 
Миллера: 

 
P
T
t
C
ЛМ =
+
(log
),  
(1.1)

где T — температура материала, K (несмотря на то, что температура деталей 
при расчете прочности задается в градусах Цельсия, в формуле (1.1) температура именно в градусах Кельвина); t — продолжительность нагружения, ч; 
С — постоянная, равная, как правило, 20.