Математика на 100 баллов

Г.С. ЖУКОВА
М.Ф. РУШАЙЛО




                МАТЕМАТИКА
                НА 100 БАЛЛОВ




УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ





znanium.com
электронно-библиотечная система

Москва ИНФРА-М 2024

УДК 51
ББК 22.1
    Ж86



      Рецензенты:
        Панфилов В.И., доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева, заслуженный деятель науки Российской Федерации;
        Коган Е.А., кандидат физико-математических наук, доцент Московского политехнического университета



      Жукова Г.С.
Ж86     Математика на 100 баллов : учебное пособие / Г.С. Жукова, М.Ф. Ру      шайло. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 480 с. — DOI 10.12737/1077344.

         ISBN 978-5-16-018922-2 (print)
         ISBN 978-5-16-111760-6 (online)

         В учебном пособии предложено системное изложение всех основных разделов школьной математики, которые обязательно востребованы на различного рода контрольных и самостоятельных работах, олимпиадах, экзаменах по математике (ОГЭ, ЕГЭ), а также на вступительных испытаниях в вузах, где они полностью не совмещены с ЕГЭ. При изучении каждой темы для ее овладения и приобретения практических навыков дан необходимый теоретический и справочный материал, а также подробно проанализировано и решено большое число примеров и задач. Для контроля качества полученных знаний предложены многочисленные задания (с ответами) для самостоятельного решения.
         Может быть использовано школьниками при выполнении домашних заданий, подготовке к контрольным работам, олимпиадам и экзаменам по математике. Рекомендуется учителям для работы со школьниками на уроках, в кружках, на подготовительных курсах подготовки к ОГЭ, ЕГЭ и др. Будет полезно старшеклассникам и абитуриентам при самостоятельной подготовке к поступлению в вуз, ученикам школ-экстернатов, преподавателям и слушателям подготовительных отделений вузов.

УДК 51
ББК 22.1


ISBN 978-5-16-018922-2 (print)
ISBN 978-5-16-111760-6 (online)

© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 2004, 2020

ВВЕДЕНИЕ



   С 2001 года в России выпускники средних школ могут сдавать единый государственный экзамен (тестирование), в частности по математике. Результаты этого экзамена, во-первых, считаются оценкой школьной итоговой аттестации по математике. Во-вторых, именно с этой оценкой выпускник школы далее участвует в конкурсном отборе в выбранный им вуз.

   Совмещение итоговой аттестации по математике в школе со вступительным испытанием в определенный вуз, с которым эта школа имела соответствующий договор, в последние годы было достаточно распространенным явлением. Поэтому предложенная министерством образования схема единого экзамена не явилась неожиданной.

   Понятно волнение выпускников школ перед этим экзаменом. Конечно, проще сдать экзамен в стенах родной школы своему учителю, который прекрасно знает все твои сильные и слабые стороны, а также учитывает насколько тщательно отработана им на уроках та или иная тема.

   Сдать единый экзамен независимой комиссии достаточно сложно. Он потребует глубокого и вдумчивого владения всем материалом школьной программы по математике. Учащийся должен показать уверенное владение математическими знаниями и навыками, умение точно и сжато выражать свою мысль, правильно использовать символику. Логичность, обоснованность действий, отсутствие ошибок в вычислительной части решения - вот что в комплексе определяет экзаменационную оценку.

   Эта книга написана для учащихся, желающих систематизировать свои знания по основным разделам алгебры и началам анализа.
   Она поможет и тем, кто уже окончил школу, но продолжает изучать математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделениях.
   Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели колледжей и лицеев, преподаватели центров по довузовской подготовке, руко


3

водители математических кружков и студенты педагогических вузов найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе.

   Книга написана в соответствии с программой по математике для средних школ и программой по математике для поступающих в вузы. В ней используются терминология и обозначения, которые приняты сейчас в школе.

   Пособие не содержит систематического изложения школьного курса математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее, по мнению авторов, все основные и важные вопросы школьной программы даны достаточно подробно. В некоторых случаях добавлен материал, который углубляет знания учащегося и учит его анализировать одну и ту же проблему различными способами.

   При изложении каждой темы авторы рассматривают большое число разнообразных задач различной трудности. Их решение анализируется с учетом характерных ошибок абитуриентов.

   Книга состоит из девяти глав, каждая из которых разделяется на параграфы, и двух приложений. Нумерация параграфов сквозная.

   Глава I посвящена элементарным функциям и их свойствам. Здесь даны необходимая терминология и обозначения, используемые в дальнейшем изложении.

   Глава II посвящена тождественным преобразованиям алгебраических выражений, алгебраическим и иррациональным уравнениям, уравнениям с модулем.

   В главе III рассматриваются методы решений алгебраических и иррациональных неравенств, а также неравенств с модулем.

   Глава IV посвящена прогрессиям и текстовым задачам. В частности, анализируются задачи, приводящие к смешанным системам уравнений и неравенств.

   В главе V дано изложение раздела "Тригонометрия", где материал школьных учебников за 9-11 классы собран воедино.

   В главе VI рассматриваются степени и логарифмы, показательная и логарифмическая функции, их свойства, методы решения показательных и логарифмических уравнений.


4

    Глава VII посвящена показательным и логарифмическим неравенствам.

    Глава VIII содержит элементы математического анализа, вошедшие в программу по математике для поступающих в вузы.

    В главе IX обсуждаются несколько наиболее распространенных классов задач с параметрами. Задачи, содержащие параметры, традиционно являются самыми трудными для учащихся. Поэтому авторы попытались убедить читателя, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, но требуют от учащегося хорошего владения элементарной математикой.

    В приложении 1 приведены варианты письменных работ по математике, предлагавшиеся в разные годы на олимпиаде, едином и вступительном экзаменах. Все варианты приведены с ответами. Мы советуем абитуриентам с помощью этих вариантов проверить свои знания по математике.

    Приложение 2 нами воспринимается как шпаргалка. Здесь дан в краткой форме справочный материал по "школьному" курсу алгебры и началам анализа: основные формулы, алгоритмы решения наиболее часто встречающихся уравнений и неравенств.

    Надеемся, что книга будет полезна читателю.


5

Глава I
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1.  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
   Понятия числа и множества являются одними из основных в математике. Это - простые, первичные понятия, которые не определяются через другие.
   Множество - это любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
   Множества обозначают прописными буквами, например А, В,... или X, У,..., а их элементы - строчными, например или X, у,... .
   Символом {а,Ь,...,с} обозначают множество, содержащее только элементы а,Ь,...,С . Символом 0 обозначают пустое множество, то есть не содержащее элементов.
   Запись ХЕ А означает, что элемент X принадлежит множеству А.
Если же X не входит во множество А, пишут ХЕ А.
   Для сокращения записи математических утверждений часто используют символы: " V" - квантор общности; " 3" - квантор существования.
   Запись "VxG A : ОС" означает, что для всех (для любого) X из множества А имеет место некое утверждение, обозначенное ОС.
   Запись " Эх₀ £ А: ОС" означает, что существует (найдется) такой элемент Х₍₎ из множества А, для которого справедливо утверждение, обозначенное ОС.
   Введем необходимую для дальнейшего изложения терминологию.
   Определение 1. Суммой или объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А + В или A U В, состоящее из элементов обоих множеств А и В.
   Следовательно,- /1U 5 = {х| XG ИЛИ ХЕ в}.

6

   Определение 2. Произведением или пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А • В или А П В, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множествам А и В.
   Следовательно, А П В = {л'| XG А И ХЕ В].


   При решении уравнений или неравенств (условно обозначим их (/4) и {В) ), если возникает необходимость в объединении или пересечении множеств их решений, для обозначения этого факта обычно используют, соответственно, следующую символику:




я
(в) или

я
(В)

    Определение 3. Разностью множеств Ан В называется множество, обозначаемое А\ В, состоящее из элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
    Следовательно, А\ В = {х| ХЕ А И ХЕ 2?}.


   Определение 4. Говорят, что множество А вложено во множество В или А является подмножеством множества В (пишут А с В), если любой элемент множества А является также элементом множества В.


   Определение 5. Два множества А и В называются равными (пишут А = В), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.
  Нетрудно видеть, что два множества А и В равны, если АсВ и В С А, то есть

А=В^

АсВ
Вс А.

  Определение 6. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

  Напомним обозначения некоторых бесконечных числовых множеств:

W={1,2,3,4,..множество натуральных чисел,
Р={1,2, 3,5,7,...}— множество простых чисел,


7

Z — {...2, — 1,0,1,2,..множество целых чисел,

Q — ■ —, где рЕ Z, qE N ■ — множество рациональных чисел, [Я                    .

   — (— оо;+°°) — множество вещественных (действительных) чисел. Нетрудно видеть, что Pc.NclZ^QclR

   Множество R эквивалентно множеству точек числовой оси, в силу чего понятия “число х” и “точка х” на числовой оси считают равнозначными.
   Напомним некоторые числовые подмножества числовой оси и их обозначения.


   Определение 7. Множество чисел ХЕ R, удовлетворяющих неравенству а < Х< Ь, называется отрезком и обозначается [а; Ь].
   Следовательно, [a; Z>] = {х| а < X < /)}.


   Определение 8. Множество чисел ХЕ R, удовлетворяющих неравенству а< X < Ь, называется интервалом и обозначается
   Следовательно, (a; Z?) — {х| а < X < Ь}.


   Определение 9. Множество чисел XG R, удовлетворяющих одному из неравенств а< Х<Ь или а < X< Ь, называется полуинтервалом (или полуотрезком) и обозначается или соответственно.
   Следовательно, (а; Z>] - {х| а < х < b}, [a; b) = {х| а < х < б}.


   Напомним, что общим названием интервала, полуинтервала и отрезка является промежуток.


  Определение 10. Окрестностью точки х₀ называется произвольный интервал (a;Z>), содержащий точку Хо.
  Определение 11. Интервал (х₀ — 8\Хо + (5), где 5 >0, называется 8 —окрестностью точки Хо (обозначается иг(х^)).


8

  Определение 12. Интервал (х₀ — 5; Хо ), где 8 > 0, называется левой окрестностью точки Хо (обозначается            а интервал
(х₀; Хо + 8), где 8 > 0, называется правой окрестностью точки Хо (обозначается и$ (л'о )).
   Определение 13. Множество X называют ограниченным, если существует такое число М > 0, что для всех элементов X из X справедливо неравенство: | х| < М.
   Следовательно, [ X — ограничено] <=> Я М > 0 X: | х| < М.

   Определение 14. Множество X называют ограниченным сверху (снизу), если существует такое число М > 0, что для всех элементов X из X справедливо неравенство:
Х<М (шХ>М).

  Определение 15. Множество X называют неограниченным, если для любого М > 0 существует такой элемент х₀ Е X, что I Xq | > М.
   Следовательно,
[ X — неограничено ] <=> VA/ > 0 Эх₀ Е X: | х₀ | > М.

2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

   При исследовании явлений природы и в своей практической деятельности человек сталкивается с различными величинами: время, длина, объем, скорость. Каждая из них, в зависимости от условий задачи, может принимать либо различные значения, либо лишь одно.
   В первом случае мы имеем дело с переменной величиной, а во втором -с постоянной.

   Переменные, как правило, обозначают строчными буквами: X, у, I,... .

   Определение 16. Переменная X считается заданной, если указано числовое множество X = {х} значений, которые величина X может принимать. Это множество X называется областью изменения переменной X.


9

   Заметим, что постоянную величину можно рассматривать как частный случай переменной, когда множество X состоит из одного элемента.

   Определение 17. Пусть даны две переменные величины X и у с областями изменения X и У соответственно. Если каждому элементу X из множества X по некоторому правилу или закону поставлен в соответствие один определенный элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция, условно обозначая этот факт следующим образом:
                        У = А*) или у=у(х) , где f - символ закона соответствия.


   При этом переменная X называется аргументом функции f , а множество X - областью определения { или областью допустимых значений - ОДЗ ) функции f и обозначается D(f).


   То число у₀ G Y, которое соответствует данному А'о G , называется час/и/;ы.и значением        и обозначается у₀ = У(.Х₍₎).

   Множество всех частных значений функции f обозначается E^J) и называется областью значений функции f.


   Замечание 1. Если функция задается с помощью некоторых алгебраических выражений, указывающих те действия над постоянными числами и значением аргумента X, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у = f(x), то D^f)— множество всех тех значений переменной X, для которых указанные формулы имеют смысл.


10