Механика сплошной среды. Том 4. Основы механики твердых сред

УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
Д46
Р е ц е н з е н т ы :
академик РАН О. М. Белоцерковский;
академик РАН Е. И. Шемякин;
член-корреспондент РАН В. А. Гущин;
доктор физ.-мат. наук, профессор Н. Н. Смирнов
Димитриенко Ю. И.
Д46
Механика сплошной среды : учеб. пособие : в 4 т. / Ю. И. Димитриенко.  М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013.
ISBN 978-5-7038-3385-8
Т. 4 : Основы механики твердых сред.  623, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3747-4
Четвертый том учебного пособия посвящен систематизированному изложению основ механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Рассмотрены
классические модели и теории МДТТ: теория абсолютно твердого тела, теория
упругости с малыми деформациями, основы теории оболочек, динамические
задачи теории упругости, теория прочности, теория электромагнитоупругости,
нелинейная теория упругости с конечными деформациями, теории линейной и
нелинейной вязкоупругости, теория конечных вязкоупругих деформаций, основы теории конечных пластических деформаций, теория устойчивости. Представлены оригинальные модели сред с конечными деформациями. Особенность
изложения состоит в том, что все модели твердых сред рассматриваются с
единых термодинамических позиций в едином тензорно-инвариантном подходе.
Представлены примеры решения классических задач МДТТ.
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в
МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов старших курсов, изучающих такие дисциплины, как ¾Механика сплошных сред¿, ¾Механика деформируемого твердого тела¿, ¾Теория
упругости и пластичности¿, ¾Динамика и прочность машин¿, ¾Сопротивление
материалов¿, ¾Теория оболочек¿, ¾Строительная механика конструкций¿, и
аспирантов математических, физических, естественно-научных кафедр университетов и технических вузов. Может быть полезно специалистам, занимающимся вопросами механики сплошных сред.
УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
c
⃝Димитриенко Ю. И., 2013
ISBN 978-5-7038-3747-4 (т. 4)
c
⃝Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3385-8
им. Н. Э. Баумана, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Список основных обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Г л а в а 1.
Абсолютно твердые тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ÿ 1.1. Кинематика абсолютно твердого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ÿ 1.2. Законы сохранения и постановки задач для АТТ . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Г л а в а 2.
Упругие среды с малыми деформациями . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Ÿ 2.1. Модели упругих сред с малыми деформациями . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Ÿ 2.2. Постановки основных задач линейной теории упругости . . . . . . . . . . .
51
Ÿ 2.3. Постановки задач в напряжениях . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Ÿ 2.4. Вариационные постановки задач . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Ÿ 2.5. Нелинейно-упругие среды с малыми деформациями . . . . . . . . . . . . . . .
89
Ÿ 2.6. Модель линейно-упругой среды . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Ÿ 2.7. Фундаментальные решения в теории линейной упругости . . . . .
. . . . . .
128
Ÿ 2.8. Двумерные задачи для тел с прямолинейной анизотропией . . . . . . . . .
140
Ÿ 2.9. Осесимметричные задачи теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
Ÿ 2.10. Оболочки и пластины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
Ÿ 2.11. Динамические задачи линейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . .
205
Ÿ 2.12. Теория прочности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
Ÿ 2.13. Упругие среды с электромагнитными свойствами . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
Г л а в а 3.
Упругие среды с конечными деформациями . . . . . . . . . . . . . . .
268
Ÿ 3.1. Замкнутые системы уравнений для упругих сред в пространственном
описании. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
Ÿ 3.2. Замкнутые системы уравнений для упругих сред в материальном описании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
Ÿ 3.3. Постановки задач для упругих сред с конечными деформациями . . . . .
288
Ÿ 3.4. Классические задачи теории упругости с конечными деформациями. . .
308
Г л а в а 4.
Вязкоупругие среды . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342
Ÿ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями . . . . . . . . . . . . . . . . .
342

Оглавление
Ÿ 4.2. Главные, квадратичные и линейные модели вязкоупругих сред с конечными деформациями . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
Ÿ 4.3. Модели несжимаемых вязкоупругих твердых сред и вязкоупругих жидкостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
390
Ÿ 4.4. Постановки задач в теории вязкоупругости с конечными деформациями 398
Ÿ 4.5. Диссипативный саморазогрев вязкоупругих сред при циклическом деформировании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417
Ÿ 4.6. Модели вязкоупругих сред с малыми деформациями . . . . . . . . . . . . . .
427
Ÿ 4.7. Колебания линейно-вязкоупругих сред. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
445
Г л а в а 5.
Пластические среды . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
473
Ÿ 5.1. Модели An пластических сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473
Ÿ 5.2. Модели Bn пластических сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
505
Ÿ 5.3. Модели Cn и Dn пластических сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
Ÿ 5.4. Определяющие соотношения пластических сред ¾в скоростях¿. . . . . . .
531
Ÿ 5.5. Постановки задач теории пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533
Ÿ 5.6. Классические задачи теории пластичности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
537
Ÿ 5.7. Плоские волны в пластических средах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
555
Г л а в а 6.
Теория устойчивости . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574
Ÿ 6.1. Теория устойчивости упругих тел с конечными деформациями. . . . . . .
574
Ÿ 6.2. Теория устойчивости линейно-упругого тела с малыми деформациями
589
Ÿ 6.3. Теория устойчивости тонких упругих оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
608
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
615

Предисловие
Четвертый том четырехтомного издания ¾Механика сплошной среды¿
(МСС) посвящен изложению основ механики твердых сред  одного из
двух основных типов сплошных сред (второй основной тип  это жидкие и
газообразные среды). Рассмотрены модели абсолютно твердых (недеформируемых) тел (АТТ) и деформируемых твердых тел. Изложение ведется путем
конкретизации общих универсальных законов МСС, изложенных в т. 2 для
частных моделей твердых сред. При этом, как и во всем четырехтомном
издании, использован преимущественно тензорный (безындексный) подход
к формулировке основных законов МСС, который позволяет существенно
упростить формальную запись уравнений и сделать более ясной их физическую суть, не загромождая индексными обозначениями логические связи
между величинами. При таком подходе предполагается, что читатель владеет
методами тензорного анализа, изложенными в т. 1 данного курса МСС, где
введены обозначения основных величин и операций тензорного анализа, унифицированные для всех четырех томов данного издания.
Четвертый том включает как традиционно излагаемые в курсах МСС
разделы по линейной теории упругости, так и основы теории нелинейной
упругости с конечными деформациями, основы теории вязкоупругости и пластичности, что позволяет продемонстрировать широкие возможности современной механики и внутреннее единство ее отдельных составных частей.
В главе 1 описан частный случай твердых сред  абсолютно твердые тела.
В ней рассмотрены основы кинематики абсолютно твердого тела, отмечены
особенности формулировки законов сохранения и даны постановки задач для
абсолютно твердого тела.
Глава 2 посвящена основам теории упругости твердых сред с малыми
деформациями. В ней изложены особенности построения модели упругих
сред с малыми деформациями, сформулированы постановки основных задач
линейной теории упругости, в том числе постановки задач в напряжениях.
Даны вариационные формулировки задач. Рассмотрены особенности построения моделей нелинейно-упругих сред с малыми деформациями. Даны различные формы записи определяющих соотношений для линейно-упругой среды.
Приведены некоторые основные теоремы из теории упругости, в частности
изложены основы теории фундаментальных решений.
Рассмотрены двумерные и осесимметричные задачи теории упругости
с примерами решения задач. Изложены основы теории пластин и оболочек

Предисловие
в рамках модели Тимошенко, приведены простейшие примеры решения задач.
Сформулированы динамические задачи линейной теории упругости, рассмотрены вопросы теории характеристик и распространения звука в анизотропных
упругих средах. Изложены также основы теории свободных и вынужденных
колебаний упругих тел, приведены примеры решения задач. Отдельный параграф посвящен основам теории прочности упругих сред, приведены часто
используемые на практике критерии разрушения упругих сред. Изложены
элементы теории упругих электромагнитных сред.
В главе 3 даны основы теории больших (конечных) упругих деформаций.
Сформулированы замкнутые системы уравнений для нелинейно-упругих сред
в пространственном и материальном описаниях, даны различные постановки
задач для упругих сред с конечными деформациями. Рассмотрены некоторые
классические задачи теории упругости с конечными деформациями.
Глава 4 посвящена теории вязкоупругих сред, которая излагается для
общего случая больших деформаций. Рассмотрены основы общей теории сред
с памятью, в которой применяется тензорно-инвариантный подход. Даны
представления определяющих соотношений вязкоупругости для различных
случаев анизотропии, представления определяющих соотношений для главных, квадратичных и линейных моделей вязкоупругих сред, а также для
несжимаемых вязкоупругих твердых сред и вязкоупругих жидкостей. Сформулированы постановки задач в теории вязкоупругости с конечными деформациями. Рассмотрен случай линейно-вязкоупругих сред с малыми деформациями, представлены сведения об основных методах решения задач линейной
вязкоупругости. Приведен пример гармонических колебаний вязкоупругих
сред.
В главе 5 приведены основы теории пластического течения, рассмотренные
в общей постановке произвольных конечных деформаций с применением
оригинального подхода на основе энергетических пар тензоров напряжений
и деформаций. Показано, как из обобщенных соотношений теории пластичности могут быть получены обобщения известных моделей пластичности типа
Прандтля  Рейсса, Губера  Мизеса и др. Модели пластичности разделены
в соответствии с новой классификацией на четыре класса, два из которых
оказываются аддитивными моделями, а два других  мультипликативными
моделями пластичности. Приведены различные представления определяющих
соотношений теории пластичности, в том числе представления ¾в скоростях¿.
Даны постановки задач теории пластичности для случая больших деформаций. Рассмотрены некоторые классические задачи теории пластичности.
В главе 6 изложены основы теории устойчивости упругих тел (конструкций). Вывод уравнений теории устойчивости осуществлен для общего случая
трехмерных упругих тел с конечными деформациями в рамках универсальной
модели нелинейно-упругих сред, предложенной автором. Выведены уравне

Предисловие
9
ния трехмерной теории устойчивости конструкций с малыми деформациями, сформулирована вариационная постановка задачи трехмерной теории
устойчивости. На основе трехмерной теории получены уравнения теории
устойчивости оболочек Тимошенко. Приведен пример решения задач теории
устойчивости.
Глубокую признательность автор выражает рецензентам всего четырехтомного издания: академику РАН О. М. Белоцерковскому, академику РАН
Е. И. Шемякину (ушедшему из жизни в 2009 г.), члену-корреспонденту
РАН В. А. Гущину, заведующему лабораторией волновых процессов МГУ
им. М. В. Ломоносова профессору Н. Н. Смирнову.
Автор благодарен заведующему кафедрой механики композитов МГУ
им. М. В. Ломоносова профессору Б. Е. Победре, заведующему кафедрой
СМ-4 МГТУ им. Н. Э. Баумана профессору В. В. Селиванову, профессору
кафедры прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана В. С. Зарубину за
дискуссии по различным вопросам МСС.
Особую благодарность автор выражает своей жене, ведущему научному
сотруднику МГТУ им. Н. Э. Баумана, кандидату физико-математических наук
И. Д. Димитриенко за подготовку оригинал-макета и редактирование всего
четырехтомного издания.

Список основных обозначений
A  левый тензор деформации Альманзи
(n)
A (n = I, II, III, IV, V)  квазиэнергетические тензоры деформации
b  вектор магнитной индукции
C  правый тензор деформации Коши  Грина
(n)
C (n = I, II, III, IV, V)  энергетические тензоры деформации
(n)
Ce и
(n)
Cp  тензоры упругой и пластической деформаций
4C  тензор модулей упругости
b
ci  главный базис анизотропии (ортонормированный) твердого тела в неискаженной конфигурации b
K
cε  теплоемкость при фиксированной деформации
D  тензор скоростей деформации
D  нормальная скорость движения поверхности разрыва
d  вектор электрической индукции
E  метрический тензор
E  полная энергия тела
4
(n)
E  тензоры энергетической эквивалентности
e  вектор напряженности электрического поля
e  плотность внутренней энергии тела
¯
ei  базис прямоугольной декартовой системы координат
F  градиент деформации
Fe и Fp  градиенты упругой и пластической деформаций
f  вектор плотности массовых сил
fem  пондеромоторная сила
G  правая мера деформации Коши  Грина
(n)
G (n = I, II, III, IV, V)  энергетические меры деформации
g  левая мера деформации Альманзи
◦
gij и gij  метрические матрицы в конфигурациях
◦
K и K
H  энтропия тела
h  вектор напряженности магнитного поля
I  вектор количества движения (импульса) тела
Iem  вектор электромагнитного импульса поля
I1(C), I2(C) и I3(C)  главные инварианты тензора второго ранга C