Механика сплошной среды. Том 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред

УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
Д46
Р е ц е н з е н т ы :
академик РАН О. М. Белоцерковский;
академик РАН Е. И. Шемякин;
член-корреспондент РАН В. А. Гущин;
доктор физ.-мат. наук, профессор Н. Н. Смирнов
Димитриенко Ю. И.
Д46
Механика сплошной среды : учеб. пособие : в 4 т. / Ю. И. Димитриенко.  М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011.
ISBN 978-5-7038-3385-8
Т. 2 : Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред.  559, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3438-1
Второй том учебного пособия посвящен систематизированному изложению универсальных законов механики и электродинамики сплошной среды.
Рассмотрены кинематика сплошных сред, теория коротационных производных, законы сохранения механики и уравнения электродинамики сплошных
сред, принципы построения определяющих соотношений для различных типов
сплошных сред при произвольных конечных деформациях, теория скачков
функций на поверхностях сильных разрывов, в том числе в электромагнитном
поле, теория размерностей.
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в
МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических, физических,
естественно-научных кафедр университетов и технических вузов, а также для
специалистов, занимающихся различными вопросами механики и электродинамики сплошных сред.
УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
c
⃝Димитриенко Ю. И., 2011
ISBN 978-5-7038-3438-1 (т. 2)
c
⃝Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3385-8
им. Н. Э. Баумана, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Список основных обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Введение. Основополагающие аксиомы механики сплошных сред. . . . . . . . . . .
17
Г л а в а 1.
Кинематика сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Ÿ 1.1. Материальное и пространственное описания движения сплошной среды
21
Ÿ 1.2. Тензоры и меры деформации . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Ÿ 1.3. Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Ÿ 1.4. Скоростные характеристики движения сплошной среды . . . . . . . . . . . .
62
Ÿ 1.5. Коротационные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Г л а в а 2.
Законы сохранения . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Ÿ 2.1. Закон сохранения массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Ÿ 2.2. Закон изменения количества движения и тензор напряжений. . . . . . . .
105
Ÿ 2.3. Закон изменения момента количества движения. . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
Ÿ 2.4. Первый закон термодинамики . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
Ÿ 2.5. Второй закон термодинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
Ÿ 2.6. Уравнения совместности деформаций. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
Ÿ 2.7. Динамические уравнения совместности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
Ÿ 2.8. Уравнения совместности скоростей деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Ÿ 2.9. Законы электродинамики сплошных сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
Ÿ 2.10. Уравнения импульса и энергии электромагнитного поля. . . . . . . . . . . .
174
Ÿ 2.11. Законы изменения импульса, момента импульса и энергии для системы
электромагнитное поле  сплошная среда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
Ÿ 2.12. Полная система законов сохранения механики и электродинамики. . . .
192
Г л а в а 3.
Определяющие соотношения сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . .
199
Ÿ 3.1. Основные принципы построения определяющих соотношений . . . . . . .
199
Ÿ 3.2. Энергетические и квазиэнергетические пары тензоров . . . . . . . . . . . . .
200
Ÿ 3.3. Основное термодинамическое тождество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
Ÿ 3.4. Принципы термодинамически согласованного детерминизма, равноприсутствия и локальности. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
Ÿ 3.5. Идеальные сплошные среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242

Оглавление
Ÿ 3.6. Принцип материальной симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
Ÿ 3.7. Определение жидких и твердых сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
Ÿ 3.8. Следствия из принципа материальной симметрии и определяющие соотношения идеальных сплошных сред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
Ÿ 3.9. Несжимаемые сплошные среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
Ÿ 3.10. Принцип материальной индифферентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
Ÿ 3.11. Соотношения в подвижной системе отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
Ÿ 3.12. Принцип Онзагера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
Ÿ 3.13. Фойгтовские сплошные среды . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
Ÿ 3.14. Определяющие соотношения для электромагнитных сред. . . . . . . . . . .
397
Ÿ 3.15. Определяющие соотношения для полярных электромагнитных сред . . .
432
Г л а в а 4.
Соотношения на поверхностях разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
447
Ÿ 4.1. Соотношения на поверхности разрыва в материальном описании . . . . .
447
Ÿ 4.2. Уравнения поверхности разрыва. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456
Ÿ 4.3. Соотношения на поверхности разрыва в пространственном описании . .
463
Ÿ 4.4. Явный вид соотношений на поверхности разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . .
466
Ÿ 4.5. Соотношения на некогерентных поверхностях разрыва . . . . . . . . . . . . .
469
Ÿ 4.6. Основные типы поверхностей разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
477
Ÿ 4.7. Следствия из соотношений на поверхности разрыва . . . . . . .
. . . . . . . . .
482
Ÿ 4.8. Соотношения для электромагнитных величин на поверхности разрыва
495
Г л а в а 5.
Теория размерностей . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512
Ÿ 5.1. Масштабные преобразования в МСС . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512
Ÿ 5.2. Системы единиц, размерные и безразмерные единицы . . . . . . . . . . . . .
528
Ÿ 5.3. Размерности величин в электродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
538
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
547
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
552

Предисловие
Материал, вошедший во второй том четырехтомного издания ¾Механика
сплошной среды¿, занимает центральное место всего курса, поскольку он
посвящен рассмотрению универсальных законов механики сплошной среды
(МСС), справедливых для всех сплошных сред. Перед изложением основного
материала следует остановиться на том, что является объектами МСС с точки зрения реального окружающего нас мира, а также рассмотреть методы
и задачи МСС, чтобы определить место этой науки среди других близких
к ней наук  физики и математики.
А. Объекты МСС. Объектами МСС являются тела (или среды)  материальные субстанции окружающего человека реального мира: земля, океаны,
моря, реки и озера, горные и лесные массивы, степи и пустыни, атмосфера
и атмосферные образования, предметы жизнедеятельности человека  дома,
поезда, самолеты, корабли, мосты и т. п., а также сам человек и все живое 
как физическая сущность,  словом все то, что человек может увидеть,
услышать и ощутить как материю. Что же в таком случае не является
объектами МСС? Это прежде всего  элементы интеллектуальной деятельности человека (социальные, производственные и другие взаимоотношения
людей, сознание человека, его мыслительная деятельность и т. п.), а также
объекты физического мира, которые человек не может ощутить своими органами чувств, но о существовании которых он может утверждать с помощью
результатов своей интеллектуальной деятельности (очень малые объекты 
молекулы и атомы, элементарные частицы, и очень большие объекты 
удаленные от Земли небесные тела).
Разумеется, приведенное определение объектов МСС не является строгим,
в частности, потому что в МСС с некоторыми ограничениями могут исследоваться и не основные ее объекты. Например, методы МСС могут применяться
для изучения некоторых аспектов движения атомов и молекул, то же самое
относится и к небесным телам.
Для обозначения границ применимости методов МСС можно рассмотреть
иерархию структурных уровней материи, которым соответствуют различные
характерные размеры (масштаб l0):
1) элементарные частицы и поля (l0 ∼10−15 м);
2) атомы и молекулы (l0 ∼10−12 ... 10−8 м);
3) микро- и мезосистемы (l0 ∼10−8 ... 10−3 м);
4) макроскопические тела (l0 ∼10−3 ... 103 м);

Предисловие
5) геологические системы (l0 ∼103 ... 107 м);
6) планеты и другие астрофизические объекты (l0 ≳107 м).
Приведенная классификация достаточно условна, и указанные границы
весьма расплывчаты. Тем не менее она отражает важную особенность материи  иерархию ее структурных уровней: низшие уровни ¾вложены¿ в
высшие. Например, атомы и молекулы состоят из элементарных частиц, а
макроскопические тела  из атомов и молекул. Классическими объектами
МСС являются субстанции материи, находящиеся на 3-, 4- и 5-м структурных
уровнях, т. е. те, в которых содержится ¾много¿ атомов и молекул, но в то
же время их масштаб l0 существенно меньше расстояний, характерных для
астрофизических объектов.
Наличие значительного числа атомов и молекул в объектах МСС позволяет применять для их описания основополагающую математическую модель 
сплошную среду, согласно которой переходят от реальной дискретной структуры веществ к идеализированной непрерывной (континуальной или сплошной) структуре. Этим объясняется нижняя граница масштаба l0 ∼10−8 м,
которой обычно руководствуются при определении границ применимости методов МСС. Верхнее ограничение на масштаб объектов МСС (l0 ∼107 м)
обусловлено тем, что для больших масштабов становятся существенными
релятивистские эффекты, которыми в классической МСС пренебрегают.
Б. Методы МСС. Из сказанного выше можно сделать вывод, что МСС 
часть теоретической физики, изучающая объекты определенного масштаба:
не слишком маленькие и не слишком большие. Однако это справедливо лишь
по отношению к объектам МСС. Что касается методов, то современная МСС
ближе к математике, чем к физике, поскольку она построена на аксиомах, из
которых выводят различные математические следствия и получают результаты с ¾математическим уровнем строгости¿.
Аксиомы в МСС позволяют разъединить исследуемые 3-, 4- и 5-й структурные уровни материи с ее низшими уровнями. Например, уже названная
основополагающая аксиома сплошности среды позволяет не учитывать в МСС
дискретную структуру реальных тел, состоящих из атомов и молекул, и упоминать их лишь ¾факультативно¿  при трактовке тех или иных результатов.
Другим примером отличия методов МСС и физики может служить введение
абсолютной температуры: в физике она определяется как среднеквадратическая скорость колебаний атомов, а в МСС  это аксиоматически введенная
скалярная положительная функция. В этом смысле в МСС вполне оправдано
широкое использование термина ¾модель¿: модель среды, модель явления,
модель процесса, что отражает факт заведомой идеализации в МСС реальных
процессов и явлений.
Идея аксиоматизации МСС принадлежит К. Трусделлу, который, развивая
концепцию Д. Гильберта по аксиоматизации математики и ее приложений,

Предисловие
9
впервые и сформулировал систему аксиом МСС [48]. Достоинства аксиоматического подхода к МСС очевидны: он позволяет корректно вводить
первоначальные понятия, формулировка которых при ином подходе вызывает
затруднения (это относится прежде всего к понятиям силы и температуры,
к формулировке законов термодинамики в универсальной форме, свободной
от таких понятий, как обратимые процессы, равновесные процессы), а также
дает возможность читателю, начинающему изучение МСС, четко разделять
все понятия и утверждения на аксиомы (т. е. те, которые постулируются) и
теоремы (те, которые выводятся из аксиом).
При формулировке основной системы аксиом и их содержания автор
несколько отошел от системы аксиом Трусделла: например, из этой системы
исключены логические аксиомы ¾о телах¿, поскольку, по мнению автора,
явным образом они не относятся к предмету МСС, а формулировка их весьма
громоздка; добавлены новые аксиомы, относящиеся к электродинамике, а
также к принципам формулировки определяющих соотношений и к соотношениям на поверхности сильных разрывов.
Полный перечень аксиом МСС, использованный в настоящей книге, представлен в табл. П.1.
В. Задачи МСС. Следствием аксиом 115 является полная система законов сохранения МСС, представляющая собой систему дифференциальных
уравнений в частных производных (ее вывод составляет содержание гл. 2).
Эта система является незамкнутой и для ее замыкания формулируются так
называемые определяющие соотношения, которые описывают свойства того
или иного типа сплошной среды. Вид и вывод этих соотношений может
быть различным, что объясняется многообразием сплошных сред реального
окружающего мира: среды могут быть твердые, жидкие, газообразные, причем твердые среды также чрезвычайно разнообразны  стали, пластмассы,
резины, горные породы и т. п. Из повседневного опыта очевидно, что свойства
этих сплошных сред существенно различаются. В равной степени сказанное
относится и к различным типам жидкостей и газов. Универсальный способ построения определяющих соотношений основан на применении законов
термодинамики и аксиом 1622. В гл. 3 таким методом построены определяющие соотношения для идеальных сплошных сред  наиболее широко
распространенного в МСС класса, а также для важного класса фойгтовских
сред (сред скоростного типа). Другие модели твердых сред  вязкоупругие,
пластические  рассмотрены в т. 4.
После замыкания системы уравнений МСС необходимо учесть еще соответствующие граничные условия, которые следуют из соотношений на
поверхностях сильных разрывов, вытекающих, в свою очередь, из аксиомы 23. Выводу этих соотношений посвящена гл. 4. Наконец, после присоединения начальных условий можно сформулировать общую математическую

Предисловие
Таблица П.1. Аксиомы МСС

Название аксиомы
Аксиоматически вводимые
Раздел
п/п
объекты и величины
книги
1
Сплошность

Введение
2
Евклидовость пространства
Пространство Ea
3
Введение
3
Существование
Абсолютное время t
Введение
абсолютного времени
4
Закон сохранения массы
Масса тела M
2.1.1
5
Закон изменения
Вектор внешних сил F
2.2.1
количества движения
6
Закон изменения момента
Вектор собственных момен2.3.1
количества движения
тов µ′′.
Вектор собственного момента количества движения k′′
7
Первый закон
Внутренняя энергия тела U.
2.4.1
термодинамики
Скорость нагрева тела Q
8
Существование абсолютАбсолютная температура θ
2.5.1
ной температуры
9
Второй закон
Энтропия тела H.
2.5.1
термодинамики
Производство энтропии за
счет внешних источников ¯
Q
10
Неравенство Фурье

2.5.2
11
Закон сохранения элекриЭлектрический заряд тела Qe.
2.9.1
ческого заряда
Электрический ток JΣ
12
Существование электроЦиркуляция напряженности
2.9.1
магнитного поля (ЭМП)
электрического поля EL.
Циркуляция напряженности
магнитного поля HL.
Электрическая индукция DΣ′.
Магнитная индукция BΣ′
13
Закон изменения импульса

2.11.2
системы электромагнитное
поле  сплошная среда
(ЭМПСС)
14
Закон изменения момента

2.11.4
импульса системы ЭМПСС
15
Закон сохранения энергии

2.11.7
системы ЭМПСС
16
Принцип термодинами
3.4.2
чески согласованного
детерминизма