Механика сплошной среды. Том 1. Тензорный анализ

Механика сплошной среды

МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В четырех томах


1. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

3. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

4. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ СРЕД











Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва 2011

Ю.И. Димитриенко



            Тензорный анализ



Том 1



Рекомендовано УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по физико-математическим и машиностроительным специальностям






им. Н.Э. Бауман.

Москва 2011

УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
     Д46




Рецензенты:

академик РАН О. М. Белоцерковский-, академик РАН Е. И. Шемякин-, член-корреспондент РАН В. А. Гущин-, доктор физ.-мат. наук, профессор Н. Н. Смирнов

     Димитриенко Ю. И.
Д46 Механика сплошной среды : учеб, пособие : в 4 т. / Ю. И. Димитриенко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.
         ISBN 978-5-7038-3385-8
         Т. 1 : Тензорный анализ. — 463, [1] с. : ил.
         ISBN 978-5-7038-3437-4
         Учебное пособие, состоящее из четырех томов, посвящено основам механики сплошной среды.
         В первом томе изложены элементы теории абстрактных пространств (линейного, метрического, евклидова, афинного, нормированного), основы тензорной алгебры, теория ковариантного дифференцирования, в том числе в ортогональных криволинейных координатах, основы дифференциальной геометрии, теория поверхностей и кривых, теория ковариантного дифференцирования на поверхностях, теория интегрирования тензорных полей, в том числе теория несобственных интегралов от тензорных полей. Отдельная глава посвящена теории тензорных функций и тензорных операторов в тензорных гильбертовых пространствах.
         Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в МГТУ им. Н. Э. Баумана.
         Для студентов старших курсов и аспирантов математических, физических, естественно-научных кафедр университетов и технических вузов. Будет полезно специалистам, занимающимся различными вопросами механики сплошной среды.

                                                    УДК 531.1:51-72(075.8)
                                                    ББК 22.25:22.51.5





ISBN 978-5-7038-3437-4 (т. 1)
ISBN 978-5-7038-3385-8

                                         ° Димитриенко Ю. И., 2011
              ° Оформление. Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие................................................................. 7

Глава 1. Тензорная алгебра................................................. 12
§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств.................... 12
§ 1.2. Векторное и смешанное произведения.................................. 34
§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах................................... 46
§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами................................. 63
§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга ... 80
§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве........................ 92
§ 1.7. Псевдотензоры...................................................... 108

Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей....................... НО
§2.1 . Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах... НО
§2.2 . Ковариантное дифференцирование......................... 143
§2.3 . Ковариантное дифференцирование тензоров второго и высших рангов . . 151
§2.4 . Свойства ковариантных производных...................... 157
§2.5 . Ковариантные производные второго порядка............... 163
§2.6 . Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах ....    169

Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей.......................... 189
§3.1 . Кривые в трехмерном евклидовом пространстве........................ 189
§3.2 . Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве................... 197
§3.3 . Криволинейные интегралы от тензорных полей......................... 228
§3.4 . Поверхностные интегралы от тензорных полей......................... 236
§3.5 . Объемные интегралы от тензорных полей.............................. 242
§3.6 . Несобственные интегралы от тензорных полей......................... 259
§   3.7. Тензорные дельта-функции......................................... 298

Оглавление

Глава 4. Тензорные функции и тензорные      операторы................ 305
§4.1 . Линейные преобразования координат............................. 305
§4.2  . Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве... 311
§4.3  . Индифферентные тензоры....................................... 319
§4.4  . Скалярные инварианты......................................... 329
§4.5  . Инварианты симметричного тензора второго ранга............... 334
§4.6  . Линейные тензорные функции................................... 339
§4.7  . Скалярные функции тензорного аргумента....................... 358
§4.8  . Потенциальные тензорные функции.............................. 369
§4.9  . Квазилинейные тензорные функции.............................. 375
§4.10  . Спектральное представление тензоров второго ранга........... 380
§4.11 . Спектральные представления квазилинейных тензорных функций... 391
§4.12  . Непотенциальные тензорные функции........................... 400
§4.13  . Дифференцирование тензорных функций......................... 408
§4.14  . Тензорные функции нескольких тензорных аргументов........... 415
§4.15  . Тензорные операторы......................................... 438

Литература........................................................... 455
Предметный указатель................................................. 457

Предисловие



   Механика сплошной среды (МСС), как цельная наука, изучающая с единых универсальных позиций механические, термодинамические и электромагнитные процессы, происходящие в твердых, газообразных и жидких телах, сформировалась сравнительно недавно — примерно в середине XX в., хотя первые фундаментальные результаты в области механики жидких и твердых тел были получены еще в XVII в. Г. Галилеем, Б. Паскалем (в частности, закон Паскаля), И. Ньютоном (знаменитые законы Ньютона — о существовании инерциальных систем отсчета, закон сохранения импульса, формула для силы сопротивления жидкой среды при движении в ней твердого тела и многое другое), Р. Гуком (закон Гука — основа теории упругости) и другими учеными. Основополагающие принципы МСС были сформулированы в XVIII в. Л. Эйлером, выдающимся математиком и механиком, членом Санкт-Петербургской академии наук, составившим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, уравнение неразрывности, а также сделавшим другие открытия, Ж. Л. Лагранжем, Ж. Л. Даламбером, Д. Бернулли (также членом Санкт-Петербургской академии наук). На рубеже XVIII-XIX в. в гидромеханику и теорию упругости внесла вклад еще одна плеяда выдающихся ученых: О. Л. Коши, который ввел понятие напряжений в твердом теле, П. С. Лаплас, С. Д. Пуассон, Л.М. А. Навье, Г. Ламе, Дж. Г. Стокс. В XIX в. фундаментальные результаты в области теории упругих тел, движения твердого тела в жидкости были получены П.Г. Л. Дирихле, Г. Р. Кирхгофом, Э. Бельтрами, А. Э. Грином, А. Ж. К. Сен-Венаном, Ж. Пуазейлем и многими другими.
   В середине XIX в. благодаря трудам У. Кельвина (Томсона), Дж.Э. Майера, Дж. П. Джоуля, Р. Ю. Э. Клаузиуса, Дж. У. Гиббса сформировалась термодинамика и практически одновременно — электродинамика, создание которой связано с именами М. Фарадея, Дж. К. Максвелла, Г. С. Ома, А. М. Ампера и Ш. О. Кулона. В конце XIX — начале XX в. в связи с широким освоением воздухоплавания во многом благодаря трудам выдающихся российских ученых Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина появилась аэродинамика, а также теории пластичности и вязкоупругости, основанные на работах Л. Прандтля, X. Генки, У. Фойгта, Дж. К. Максвелла, В. Вольтерры, А. А. Ильюшина и других ученых. К этому же периоду относится создание итальянскими математиками Г. Риччи и Т. Леви-Чивитой нового математического аппарата — тензорного анализа, а также формирование теории конечных деформаций, которая была существенно развита в трудах У. Кельвина и П. Г. Тэйта, А. Ж. К. Сен-Венана,

Предисловие

Г. Р. Кирхгофа, А. Лява, Г. Яуманна, М. А. Био, Ф. Д. Мурнагана и многих других (следует отметить, что понятие о произвольных (не малых) деформациях было введено еще О. Л. Коши — создателем теории напряжений в сплошных средах).
   В середине XX в. возникло новое научное направление — теория нелинейных тензорных функций, оказавшая существенное влияние на формирование современной МСС и связанная прежде всего с именами Ф. Д. Мурнагана, А. Синьорини, Р. С. Ривлина, И. Эриксена, К. Трусделла, А. Е. Грина, Л. И. Седова, В. В. Новожилова.
   Объединить разделы механики, существовавшие ранее как независимые: гидродинамику, аэродинамику, линейную теорию упругости, теорию конечных деформаций, теорию пластичности, используя тензорный анализ и теорию нелинейных тензорных функций, удалось лишь в середине XX в., когда были созданы первые учебники по МСС. По-видимому, одним из первых широко известных учебников была книга Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Механика сплошных сред», изданная в 1944 г. В 1950 г. была опубликована широко известная за рубежом книга М. Руа, а в 1959 г. — «Лекции по механике сплошной среды» Л. И. Седова, которые в 1962 г. были изданы под названием «Введение в механику сплошной среды». В 1968 г. вышло первое издание фундаментального двухтомного учебника «Механика сплошной среды» Л. И. Седова, который и в настоящее время является одним из наиболее популярных учебников по МСС.
   Принципиальный этап развития МСС начался после публикации книги К. Трусделла «Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды» (1969 г., на русском языке в 1975 г.), в которой были обобщены результаты работ Б. Колемана, У. Нолла и самого К. Трусделла, выполненных в 1950-1960-х гг., по аксиоматизации механики и термодинамики сплошной среды. Впоследствии А. Эринген, Ж. Можен и другие исследователи охватили аксиоматизацией и электродинамику. Аксиоматический подход к МСС, основанный на тензорном описании основных законов в универсальной безындексной форме, сегодня считается общепризнанным.
   В настоящее время библиография книг, посвященных МСС, весьма обширна. Появление предлагаемого читателю четырехтомного издания связано с попыткой автора решить несколько методически противоречивых задач, практически неизбежно возникающих при изложении современного курса МСС:
   • выдержать математический стиль представления, для которого характерно наличие аксиом, определений, теорем, доказательств и соответствующего уровня математической строгости изложения;
   • сохранить при этом по возможности представление МСС как науки о реальных телах, а не абстрактных объектах;

Предисловие

9

   • создать понятный читателю стиль изложения материала с присущим ему наличием достаточно подробных математических выкладок, когда доказательства большинства теорем и утверждений не перекладываются на читателя;
   • использовать тензорный аппарат преимущественно в безындексной форме, поскольку при определенных навыках она удобна и компактна в работе, не затеняет физической сути законов МСС и позволяет легко перейти в любую подходящую систему координат.
   Стимулом для написания этого четырехтомного издания явились также новейшие достижения, полученные в конце XX — начале XXI в.:
   • найденная В. И. Кондауровым консервативная (дивергентная) форма динамических уравнений совместности деформаций, играющая важнейшую роль при решении многих современных задач МСС и позволившая, наконец, записать полную систему законов сохранения МСС в едином обобщенном виде;
   • установленные Р. Хиллом и К. Ф. Черных энергетические пары тензоров, а также найденные автором данной книги энергетические меры и квазиэнергетические пары тензоров и мер, играющие ключевую роль в системном построении определяющих соотношений в МСС;
   • разработанная В.В. Лохиным, Ю.И. Сиротиным, Э. Спенсером, Г. Смитом, Р. С. Ривлином, Б. Е. Победрей и автором данной книги теория нелинейных тензорных функций и тензорных операторов, благодаря которой предложен метод построения корректных определяющих соотношений для анизотропных нелинейных сред;
   • некоторые другие результаты более частного характера.
   В издании рассмотрены все основные классические разделы МСС: основы тензорного анализа (т. 1); кинематика, законы сохранения механики и электродинамики, теория определяющих соотношений, теория скачков, теория размерностей (т. 2); теория идеальной и вязкой жидкости (т. 3); теория абсолютно твердого тела, теория линейной упругости, нелинейная теория упругости, теория вязкоупругости и теория пластичности (т. 4).
   Безусловно, даже в рамках четырехтомного издания невозможно было охватить все основные современные достижения в области гидромеханики и механики деформируемого твердого тела, поэтому для детального изучения этих дисциплин необходимо обратиться к специальным изданиям по этим направлениям (рекомендуемый список литературы приведен в конце каждого тома). Основной целью данного пособия была попытка с единых теоретических, методических и стилистических позиций изложить достаточно широкий спектр разделов МСС, начиная от математических основ МСС и универсальных законов и заканчивая классическими приложениями в гидромеханике и

Предисловие

теории упругости. Основной акцент при этом, естественно, был сделан на универсальные законы и методы, применимые для всех сплошных сред.
   Как правило, дисциплина МСС преподается студентам на III курсе, поскольку она требует хороших знаний всех базовых математических дисциплин: основных разделов математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, основ функционального анализа, дифференциальной геометрии и тензорного анализа. В то же время содержание соответствующих математических дисциплин, читаемых студентам на I и II курсах, как правило, не адаптировано для изложения МСС (по-видимому, оно и не может быть таковым), поэтому во вводной части курса МСС обычно проводится пространный математический экскурс, главным образом по тензорному анализу, такие же экскурсы необходимы и при изложении других разделов МСС. В помощь студентам для этих целей в курсах МСС в приложении обычно кратко приводятся основные математические сведения. Автор предлагаемого учебного пособия поступил иначе: был написан т. 1, где кратко, но с минимальным числом ссылок на базовые математические курсы изложены необходимые математические разделы в той стилистике, в которой они используются в основных разделах МСС в последующих томах.
   Основной акцент в т. 1 сделан на описание методов тензорного анализа, все остальные математические разделы также представлены в тензорной форме. Такой прием вполне оправдан, поскольку законы МСС имеют векторный и тензорный характер, и тесное знакомство читателя с тензорами в т. 1 позволит приобрести хорошие навыки работы с тензорным аппаратом в дальнейшем.
   Материал т. 1 может быть включен, например, в курс тензорного анализа и дифференциальной геометрии, который обычно предшествует изучению МСС. Кроме того, он может использоваться и в курсах математического анализа (разделы по теории поля), линейной алгебры и функционального анализа. Последующие тома этого издания также можно рассматривать как самостоятельные учебные пособия по курсам механики жидкости и газа, механики деформируемого твердого тела, электродинамики сплошной среды.
   В книге использована тройная нумерация формул в каждой главе, например (1.3.46), где первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — порядковый номер формулы. Нумерация определений, теорем, примеров, рисунков и таблиц тоже тройная. Символы H и N обозначают начало и конец доказательства теорем, □ — конец примера или замечания. -*/ Четырехтомник «Механика сплошной среды» предназначен для студентов классических и технических университетов, обучающихся по специальностям «Механика», «Прикладная математика», «Прикладная механика». Он также будет полезен аспирантам указанных специальностей и специалистам, занимающимся различными вопросами МСС и ее приложений.

Предисловие

И

   Автор выражает глубокую признательность рецензентам: академику РАН О.М. Белоцерковскому, академику РАН Е.И. Шемякину, члену-корреспонденту РАН В. А. Гущину, заведующему лабораторией волновых процессов МГУ им. М. В. Ломоносова профессору, доктору физико-математических наук Н. Н. Смирнову.
   Автор благодарен заведующему кафедрой механики композитов МГУ им. М.В. Ломоносова профессору Б. Е. Победре, заведующему кафедрой СМ-4 МГТУ им. Н.Э. Баумана профессору В. В. Селиванову, профессору кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана В.С. Зарубину за дискуссии по различным вопросам МСС.
   Особую благодарность автор выражает своей жене, ведущему научному сотруднику МГТУ им. Н. Э. Баумана кандидату физико-математических наук И. Д. Димитриенко за подготовку оригинал-макета и редактирование всего четырехтомного издания.

Автор

Глава 1
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА




§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств

1.1.1. Тензорный характер величин в механике сплошной среды

  Как отмечалось в предисловии, основные величины, которые применяют в механике сплошной среды (МСС), имеют векторный или, в общем случае, тензорный характер, т. е. характеризуются не только числовыми значениями, но и направлениями (одним или несколькими). Таковы, например, радиус-вектор положения точки в системе координат, вектор скорости, вектор ускорения и т. п. Для описания движения сплошных сред в общем случае необходимо ввести тензор второго ранга, называемый градиентом деформации. Важнейшая характеристика сплошных сред — их напряженное состояние — также определяется тензором второго ранга, называемым тензором напряжений, и т. д. Поэтому цель настоящего параграфа — привести необходимые сведения из теории тензоров на векторных пространствах и из теории линейных (векторных) пространств.

1.1.2. Векторное пространство и его базисы

Определение 1.1.1. Векторным (или линейным) пространством L называют множество, в котором для его элементов a, b, c е L определены операции сложения и умножения на число s, удовлетворяющие следующим аксиомам-.
  1) a + b = b + a;
  2) (a + b) + c = a + (b + c);
  3) существует нулевой элемент 0 е L, такой, что aAu aaacdoeo a е L
a + 0 = a;
  4) существует t-отшюположный элемент (—a) е L для каждого a е L, такой, что
a + (—a) = 0;
  5) s(a + b) = sa + sb;