Механика сплошной среды. Том 1. Тензорный анализ

УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
Д46
Р е ц е н з е н т ы :
академик РАН О. М. Белоцерковский;
академик РАН Е. И. Шемякин;
член-корреспондент РАН В. А. Гущин;
доктор физ.-мат. наук, профессор Н. Н. Смирнов
Димитриенко Ю. И.
Д46
Механика сплошной среды : учеб. пособие : в 4 т. / Ю. И. Димитриенко.  М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.
ISBN 978-5-7038-3385-8
Т. 1 : Тензорный анализ.  463, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3437-4
Учебное пособие, состоящее из четырех томов, посвящено основам механики сплошной среды.
В первом томе изложены элементы теории абстрактных пространств (линейного, метрического, евклидова, афинного, нормированного), основы тензорной алгебры, теория ковариантного дифференцирования, в том числе в ортогональных криволинейных координатах, основы дифференциальной геометрии,
теория поверхностей и кривых, теория ковариантного дифференцирования на
поверхностях, теория интегрирования тензорных полей, в том числе теория
несобственных интегралов от тензорных полей. Отдельная глава посвящена
теории тензорных функций и тензорных операторов в тензорных гильбертовых
пространствах.
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в
МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических, физических,
естественно-научных кафедр университетов и технических вузов. Будет полезно специалистам, занимающимся различными вопросами механики сплошной
среды.
УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
c
⃝Димитриенко Ю. И., 2011
ISBN 978-5-7038-3437-4 (т. 1)
c
⃝Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3385-8
им. Н. Э. Баумана, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Г л а в а 1.
Тензорная алгебра . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Ÿ 1.1. Сведения из теории векторных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Ÿ 1.2. Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
34
Ÿ 1.3. Тензоры на линейных пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Ÿ 1.4. Алгебраические операции с тензорами. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
63
Ÿ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга . . .
80
Ÿ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Ÿ 1.7. Псевдотензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
Г л а в а 2.
Дифференциальное исчисление тензорных полей . . . . . . . . . . .
110
Ÿ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах . . . . . . . . . .
110
Ÿ 2.2. Ковариантное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
143
Ÿ 2.3. Ковариантное дифференцирование тензоров второго и высших рангов . .
151
Ÿ 2.4. Свойства ковариантных производных. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
157
Ÿ 2.5. Ковариантные производные второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
Ÿ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах . . . .
169
Г л а в а 3.
Интегральное исчисление тензорных полей. . . . . . . . . . . . . . . .
189
Ÿ 3.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
Ÿ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . .
197
Ÿ 3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
Ÿ 3.4. Поверхностные интегралы от тензорных полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
Ÿ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
Ÿ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
Ÿ 3.7. Тензорные дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298

Оглавление
Г л а в а 4.
Тензорные функции и тензорные операторы . . . . . . . . . . . . . . .
305
Ÿ 4.1. Линейные преобразования координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
305
Ÿ 4.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве. . . . . . .
311
Ÿ 4.3. Индифферентные тензоры . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
Ÿ 4.4. Скалярные инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
Ÿ 4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга. . . . . . . . . . . . . . . . .
334
Ÿ 4.6. Линейные тензорные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
Ÿ 4.7. Скалярные функции тензорного аргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
358
Ÿ 4.8. Потенциальные тензорные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
369
Ÿ 4.9. Квазилинейные тензорные функции. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
Ÿ 4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга . . . . . . . . . . . . . . .
380
Ÿ 4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций . . . . .
391
Ÿ 4.12. Непотенциальные тензорные функции . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
400
Ÿ 4.13. Дифференцирование тензорных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
Ÿ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов . . . . . . . . . . . . .
415
Ÿ 4.15. Тензорные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
438
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
455
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
457

Предисловие
Механика сплошной среды (МСС), как цельная наука, изучающая с
единых универсальных позиций механические, термодинамические и электромагнитные процессы, происходящие в твердых, газообразных и жидких телах,
сформировалась сравнительно недавно  примерно в середине XX в., хотя
первые фундаментальные результаты в области механики жидких и твердых
тел были получены еще в XVII в. Г. Галилеем, Б. Паскалем (в частности, закон Паскаля), И. Ньютоном (знаменитые законы Ньютона  о существовании
инерциальных систем отсчета, закон сохранения импульса, формула для силы
сопротивления жидкой среды при движении в ней твердого тела и многое другое), Р. Гуком (закон Гука  основа теории упругости) и другими учеными.
Основополагающие принципы МСС были сформулированы в ХVIII в. Л. Эйлером, выдающимся математиком и механиком, членом Санкт-Петербургской
академии наук, составившим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, уравнение неразрывности, а также сделавшим другие открытия, Ж. Л. Лагранжем, Ж. Л. Даламбером, Д. Бернулли (также членом
Санкт-Петербургской академии наук). На рубеже XVIIIXIX в. в гидромеханику и теорию упругости внесла вклад еще одна плеяда выдающихся ученых:
О. Л. Коши, который ввел понятие напряжений в твердом теле, П. С. Лаплас,
С. Д. Пуассон, Л. М. А. Навье, Г. Ламе, Дж. Г. Стокс. В XIX в. фундаментальные результаты в области теории упругих тел, движения твердого тела в
жидкости были получены П. Г. Л. Дирихле, Г. Р. Кирхгофом, Э. Бельтрами,
А. Э. Грином, А. Ж. К. Сен-Венаном, Ж. Пуазейлем и многими другими.
В середине XIX в. благодаря трудам У. Кельвина (Томсона), Дж. Э. Майера, Дж. П. Джоуля, Р. Ю. Э. Клаузиуса, Дж. У. Гиббса сформировалась термодинамика и практически одновременно  электродинамика, создание которой
связано с именами М. Фарадея, Дж. К. Максвелла, Г. С. Ома, А. М. Ампера и
Ш. О. Кулона. В конце ХIX  начале ХХ в. в связи с широким освоением воздухоплавания во многом благодаря трудам выдающихся российских ученых
Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина появилась аэродинамика, а также теории
пластичности и вязкоупругости, основанные на работах Л. Прандтля, Х. Генки, У. Фойгта, Дж. К. Максвелла, В. Вольтерры, А. А. Ильюшина и других
ученых. К этому же периоду относится создание итальянскими математиками
Г. Риччи и Т. Леви-Чивитой нового математического аппарата  тензорного
анализа, а также формирование теории конечных деформаций, которая была
существенно развита в трудах У. Кельвина и П. Г. Тэйта, А. Ж. К. Сен-Венана,

Предисловие
Г. Р. Кирхгофа, А. Лява, Г. Яуманна, М. А. Био, Ф. Д. Мурнагана и многих
других (следует отметить, что понятие о произвольных (не малых) деформациях было введено еще О. Л. Коши  создателем теории напряжений в
сплошных средах).
В середине XX в. возникло новое научное направление  теория нелинейных тензорных функций, оказавшая существенное влияние на формирование
современной МСС и связанная прежде всего с именами Ф. Д. Мурнагана, А. Синьорини, Р. С. Ривлина, И. Эриксена, К. Трусделла, А. Е. Грина,
Л. И. Седова, В. В. Новожилова.
Объединить разделы механики, существовавшие ранее как независимые:
гидродинамику, аэродинамику, линейную теорию упругости, теорию конечных деформаций, теорию пластичности, используя тензорный анализ и теорию нелинейных тензорных функций, удалось лишь в середине XX в., когда
были созданы первые учебники по МСС. По-видимому, одним из первых
широко известных учебников была книга Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица
¾Механика сплошных сред¿, изданная в 1944 г. В 1950 г. была опубликована
широко известная за рубежом книга М. Руа, а в 1959 г.  ¾Лекции по
механике сплошной среды¿ Л. И. Седова, которые в 1962 г. были изданы под
названием ¾Введение в механику сплошной среды¿. В 1968 г. вышло первое
издание фундаментального двухтомного учебника ¾Механика сплошной среды¿ Л. И. Седова, который и в настоящее время является одним из наиболее
популярных учебников по МСС.
Принципиальный этап развития МСС начался после публикации книги К. Трусделла ¾Первоначальный курс рациональной механики сплошной
среды¿ (1969 г., на русском языке в 1975 г.), в которой были обобщены
результаты работ Б. Колемана, У. Нолла и самого К. Трусделла, выполненных
в 19501960-х гг., по аксиоматизации механики и термодинамики сплошной среды. Впоследствии А. Эринген, Ж. Можен и другие исследователи
охватили аксиоматизацией и электродинамику. Аксиоматический подход к
МСС, основанный на тензорном описании основных законов в универсальной
безындексной форме, сегодня считается общепризнанным.
В настоящее время библиография книг, посвященных МСС, весьма обширна. Появление предлагаемого читателю четырехтомного издания связано
с попыткой автора решить несколько методически противоречивых задач,
практически неизбежно возникающих при изложении современного курса
МСС:
• выдержать математический стиль представления, для которого характерно наличие аксиом, определений, теорем, доказательств и соответствующего уровня математической строгости изложения;
• сохранить при этом по возможности представление МСС как науки о
реальных телах, а не абстрактных объектах;

Предисловие
9
• создать понятный читателю стиль изложения материала с присущим
ему наличием достаточно подробных математических выкладок, когда
доказательства большинства теорем и утверждений не перекладываются
на читателя;
• использовать тензорный аппарат преимущественно в безындексной форме, поскольку при определенных навыках она удобна и компактна в
работе, не затеняет физической сути законов МСС и позволяет легко
перейти в любую подходящую систему координат.
Стимулом для написания этого четырехтомного издания явились также
новейшие достижения, полученные в конце ХХ  начале ХХI в.:
• найденная В. И. Кондауровым консервативная (дивергентная) форма
динамических уравнений совместности деформаций, играющая важнейшую роль при решении многих современных задач МСС и позволившая,
наконец, записать полную систему законов сохранения МСС в едином
обобщенном виде;
• установленные Р. Хиллом и К. Ф. Черных энергетические пары тензоров, а также найденные автором данной книги энергетические меры и
квазиэнергетические пары тензоров и мер, играющие ключевую роль в
системном построении определяющих соотношений в МСС;
• разработанная В. В. Лохиным, Ю. И. Сиротиным, Э. Спенсером, Г. Смитом, Р. С. Ривлином, Б. Е. Победрей и автором данной книги теория
нелинейных тензорных функций и тензорных операторов, благодаря
которой предложен метод построения корректных определяющих соотношений для анизотропных нелинейных сред;
• некоторые другие результаты более частного характера.
В издании рассмотрены все основные классические разделы МСС: основы тензорного анализа (т. 1); кинематика, законы сохранения механики и
электродинамики, теория определяющих соотношений, теория скачков, теория размерностей (т. 2); теория идеальной и вязкой жидкости (т. 3); теория
абсолютно твердого тела, теория линейной упругости, нелинейная теория
упругости, теория вязкоупругости и теория пластичности (т. 4).
Безусловно, даже в рамках четырехтомного издания невозможно было
охватить все основные современные достижения в области гидромеханики и
механики деформируемого твердого тела, поэтому для детального изучения
этих дисциплин необходимо обратиться к специальным изданиям по этим
направлениям (рекомендуемый список литературы приведен в конце каждого
тома). Основной целью данного пособия была попытка с единых теоретических, методических и стилистических позиций изложить достаточно широкий
спектр разделов МСС, начиная от математических основ МСС и универсальных законов и заканчивая классическими приложениями в гидромеханике и

Предисловие
теории упругости. Основной акцент при этом, естественно, был сделан на
универсальные законы и методы, применимые для всех сплошных сред.
Как правило, дисциплина МСС преподается студентам на III курсе, поскольку она требует хороших знаний всех базовых математических дисциплин: основных разделов математического анализа, линейной алгебры и
аналитической геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений и
уравнений в частных производных, основ функционального анализа, дифференциальной геометрии и тензорного анализа. В то же время содержание
соответствующих математических дисциплин, читаемых студентам на I и II
курсах, как правило, не адаптировано для изложения МСС (по-видимому,
оно и не может быть таковым), поэтому во вводной части курса МСС
обычно проводится пространный математический экскурс, главным образом
по тензорному анализу, такие же экскурсы необходимы и при изложении
других разделов МСС. В помощь студентам для этих целей в курсах МСС
в приложении обычно кратко приводятся основные математические сведения.
Автор предлагаемого учебного пособия поступил иначе: был написан т. 1, где
кратко, но с минимальным числом ссылок на базовые математические курсы
изложены необходимые математические разделы в той стилистике, в которой
они используются в основных разделах МСС в последующих томах.
Основной акцент в т. 1 сделан на описание методов тензорного анализа,
все остальные математические разделы также представлены в тензорной форме. Такой прием вполне оправдан, поскольку законы МСС имеют векторный и
тензорный характер, и тесное знакомство читателя с тензорами в т. 1 позволит
приобрести хорошие навыки работы с тензорным аппаратом в дальнейшем.
Материал т. 1 может быть включен, например, в курс тензорного анализа
и дифференциальной геометрии, который обычно предшествует изучению
МСС. Кроме того, он может использоваться и в курсах математического
анализа (разделы по теории поля), линейной алгебры и функционального
анализа. Последующие тома этого издания также можно рассматривать как
самостоятельные учебные пособия по курсам механики жидкости и газа,
механики деформируемого твердого тела, электродинамики сплошной среды.
В книге использована тройная нумерация формул в каждой главе, например (1.3.46), где первая цифра  номер главы, вторая  номер параграфа,
а третья  порядковый номер формулы. Нумерация определений, теорем,
примеров, рисунков и таблиц тоже тройная. Символы ▼и ▲обозначают
начало и конец доказательства теорем, □ конец примера или замечания.
-*/ Четырехтомник ¾Механика сплошной среды¿ предназначен для студентов
классических и технических университетов, обучающихся по специальностям
¾Механика¿, ¾Прикладная математика¿, ¾Прикладная механика¿. Он также
будет полезен аспирантам указанных специальностей и специалистам, занимающимся различными вопросами МСС и ее приложений.