Логика с элементами математической логики

ЛОГИКА С ЭЛЕМЕНТАМИ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
ЛОГИКИ

В.И. ИГОШИН

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНИК

УДК 164(075.8)
ББК 87.4я73
 
И26

Р е ц е н з е н т ы:
А.В. Волошинов, доктор философских наук, кандидат физико-математических наук, профессор, профессор Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.;
В.В. Зайцев, доктор педагогических наук, профессор, проректор 
по научной работе Волгоградского государственного социально-педагогического университета

ISBN 978-5-16-017468-6 (print)
ISBN 978-5-16-109998-8 (online)
© Игошин В.И., 2023

Игошин В.И.
И26  
Логика с элементами математической логики : учебник / В.И. Игошин. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 418 с. — (Высшее образование). — 
DOI 10.12737/1856361.

ISBN 978-5-16-017468-6 (print)
ISBN 978-5-16-109998-8 (online)
В учебнике традиционная логика излагается с точки зрения математической логики. Математизация начинается при изучении темы «Понятие», 
продолжается темой «Суждение» и достигает наибольшей своей эффективности при изучении дедуктивных умозаключений. Таким образом, 
математизации подвергается наиболее действенная часть традиционной 
логики.
Рассмотрены вопросы взаимоотношения логики и интуиции в мыслительных процессах, роль языка в них, а также правдоподобные умозаключения и элемен ты теории нечетких множеств и нечеткой логики.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Адресован в первую очередь студентам математических направлений 
подготовки и специальностей вузов, в особенности будущим учителям математики и информатики, обучающимся как на уровне бакалавриата, так и магистратуры в педагогических и классических университетах. Будет полезен 
также студентам гуманитарных направлений подготовки и специальностей 
вузов — юристам, философам, политологам, социологам, экономистам, 
историкам, филологам, лингвистам, изучающим традиционную логику 
и желающим узнать, как математические методы проникают в гуманитарные области знания, включая направление «Прикладная информатика».

УДК 164(075.8)
ББК 87.4я73

Предисловие

Логика как наука своим рождением обязана гениальному мыслителю древности, ученику Платона, — Аристотелю. Именно им 
впервые были выработаны научные представления об основных 
категориях логики — понятиях, суждениях и умозаключениях, 
даны характеристика и классификация суждений, доказано существование 19 типов правильных умозаключений специального 
вида, получивших название аристотелевских силлогизмов. На протяжении двух тысячелетий логика находилась в кругу идей и методов, очерченном Аристотелем. Эти идеи и методы и в настоящее 
время не утратили своего значения и представляют не только исторический интерес.
Термин «логика» происходит от греческого слова λογοζ (логос), 
что означает «мысль», «разум», «слово», «понятие». Традиционная, 
или формальная, логика, берущая свое начало от Аристотеля, понимается как наука, изучающая формы и законы мышления, методы, с помощью которых люди в действительности делают выводы, связь логических форм с языком. Эти логические формы, категории и законы 
мышления сформировались в результате общественной практики. 
Именно практическая деятельность человека в процессе познания 
окружающей действительности, миллиарды раз приводя его сознание 
к повторению одних и тех же логических фигур, откристаллизовала 
эти фигуры в законы логики. Соблюдение логических законов делает мышление правильным, т.е. способным при выполнении ряда 
условий достигать истинного знания. Логика изучает формы рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания; устанавливает, 
что из чего следует, ищет ответ на вопрос, как мы рассуждаем.
Начиная с XIX в. древняя наука логика обретает второе рождение: в нее входит математика, причем математические методы 
внедряются в логику не просто по форме, но и по существу. В новом 
своем качестве логика, с одной стороны, применила математические 
методы для изучения общих структур (форм) правильного мышления и тем самым оформилась как раздел математики. С другой 
стороны, она сделала предметом своего изучения процесс доказательства математических теорем, сами математические теории. Логика, таким образом, становится полноправным разделом математической науки — математической логикой.
Математическая логика строгими методами получила в XX в. 
такие результаты о методах рассуждений в области математики, 

о которых тра диционная логика не могла и помыслить: она показала границы примени мости главенствовавшего на протяжении 
двадцати веков, со времен древ негреческой цивилизации, основного 
метода математики — аксиоматического метода. Эти результаты без 
преувеличения можно считать важнейшими достижениями математической науки XX в.
Кроме того, во второй половине XX в. обнаружились необычайной эффективности прикладные аспекты, казалось бы, сугубо 
теоретической и абстрактной науки — математической логики.
Математическая логика оказалась тесно связанной с компьютерами, которые во многом обязаны ей своим появлением и функционированием. При этом методы математической логики оказались крайне необходимы в компьютерной практике: с одной стороны, при создании самих компьютеров (методы математической 
логики составили тот математический аппарат, который используется при конструировании переключательных схем — основных 
элемен тов компьютерного «железа»), а с другой — при создании 
математического (программного) обеспечения к ним (в основе 
многочисленных языков программирования лежат различные логические исчисления). Кроме того, синтез логики и компьютеров 
привел к возникновению баз данных и экспертных систем — важнейших этапов на пути к созданию искусственного интеллекта — 
машинной модели человеческого разума.
Все сказанное убеждает в том, что изучать логику в XXI в. без 
освоения хотя бы элементарных основ того, что дала ей математика, бессмысленно. Поэтому в настоящем учебнике предпринята 
попытка хотя бы в общих чертах показать нематематику (гуманитарию) основные пути проникновения математики в традиционную 
логику и изложить курс традиционной логики с позиций математической логики.
Глава 1 носит вводный характер. В ней определяется место логики в мыслительных процессах, выделяется ее предмет и характеризуются основные логические законы, приводятся сведения 
исторического характера. В главе 2 излагаются основные сведения 
из математической логики: характеризуется знание математической логики как науки и учебного предмета в целом, описываются элемен ты двух фундаментальных разделов математической 
логики — алгебры высказываний и логики предикатов. С этими 
разделами тесно связана теория множеств и отношений, элемен ты 
которой также излагаются в этой главе.
Главы 3, 4 и 5 посвящены классическим разделам традиционной 
логики — понятиям, суждениям и дедуктивным умозаключениям 

соответственно. Но излагаются эти разделы с использованием изученного в главе 2 аппарата математической логики. Математизация начинается при изучении темы «Понятие» (глава 3), продолжается при изучении темы «Суждение» (глава 4) и достигает 
наибольшей своей эффективности при изучении дедуктивных умозаключений (глава 5). Таким образом, математизации подвергается 
наиболее действенная часть традиционной логики.
Автор отдает себе отчет в том, насколько трудна задача для гуманитария — проникнуться математическим стилем мышления. 
Поэтому мы постараемся не доводить математизацию до абсурда 
и не оторваться окончательно от того основания традиционной логики, на котором базируется современная математическая логика. 
Думается, что спасительными островами для гуманитария будут 
служить главы 1 и 6. В первой из них рассматриваются вопросы 
взаимоотношения логики и интуиции в мыслительных процессах, 
а также роль языка в них, а в последней — правдоподобные умозаключения. После тщательного изучения глав 3, 4 и 5 глава 6 убедительно покажет, насколько менее действенной и более бедной 
становится логика после того, как она лишается возможности использовать математические методы по существу.
Глава 7 посвящена логике в математике или логическим вопросам математических теорий. Как известно, математика на всем 
протяжении своего многовекового развития самым тесным образом 
взаимодействовала с логикой1. Именно в математических рассуждениях и доказательствах логика проявляла себя наиболее зримо 
и эффективно. В свою очередь, вместе с развитием математики 
развивалась и логика, вырабатывая все более и более сильные 
критерии строгости для построения математических теорий и осуществления доказательств в них. Наконец в XX в., сделавшись 
математической, логика смогла доказать фундаментальные методологические теоремы о существе математического метода и о математических теориях. Этим вопросам взаимодействия математики 
и логики, строения математических теорий, существу и методам доказательства математических теорем посвящается глава 7. Студентгуманитарий при первом прочтении может ее пропустить, но сту
1 
Игошин В.И. Дидактическое взаимодействие логики и математики // Педагогика. 2002. № 1. С. 51–55; Igoshin V.I. Mathematics and Logic: Their 
Relationship in the Teaching of Mathematics // Teaching and Learning Discrete 
Mathematics Worldwide: Curriculum and Research. ICME-13 Monographs / 
ed. by E.W. Hart and J. Sandefur. Springer International Publishing AG, 2018. 
P. 253–271. URL: https://doi.org/10.1007/978-3-319-70308-4_16.

дент-математик, а тем более будущие учителя математики должны 
непременно изучить.
Наконец, заключительная глава 8 может показаться несколько 
неожиданной в конце книги о строгой науке логике. Она посвящена 
элементам теории нечетких множеств и нечеткой логики. В этой 
главе строгая логика как бы расплывается, становится нечеткой. 
Но именно эта расплывчивость и нечеткость открывают такие 
прикладные возможности преображенной древней науки, которые 
нашли чрезвычайно эффективные применения в широчайших 
и многочисленных сферах практической человеческой деятельности.
После каждой главы приводится ряд контрольных вопросов 
и задач по тематике данной главы.
Постижение основ традиционной логики чрезвычайно важно 
в образовании студентов математических и технических специальностей вузов, которые, изучая ее, нередко осваивают лишь математическую часть (особенно, если математическая логика поглощена 
курсом дискретной математики) и совершенно не видят логики — 
науки о мышлении и рассуждениях. К этой категории студентов 
относятся в первую очередь будущие учителя математики и информатики, обучающиеся на математических факультетах педагогических и классических университетов. Как отмечал Н.Х. Розов, 
«сами учителя математики с наукой “Логика” не знакомы» и, как 
следствие этого, «наша школа фактически не уделяет внимания 
систематическому воспитанию логического мышления учащихся. 
В школе отсутствует целостный курс логики, и в этом один из печальных недостатков нашего среднего образования». Автор считает, 
что «нужно обеспечить целенаправленное ознакомление школьников с основными классическими универсальными законами 
мышления, добиваться, чтобы учащиеся их понимали и умели применять в своей деятельности… Воспитание подлинной логической 
культуры должно быть отдано дисциплине «Логика», содержащей 
основы науки, которая веками занималась этим»1.
Но прежде чем знакомить учащихся с основными классическими универсальными законами мышления, нужно познакомить 
с этими законами их будущих учителей, в первую очередь учителей 
математики, да и другим учителям-предметникам курс логики 
будет чрезвычайно полезен. Об этом ярко и убедительно говорил 
известный математик-педагог XX в. Г. Фройденталь (международная премия его имени за лучшие работы в области методики 

1 
Розов Н.Х. Логика и школа // Наука и школа. 2016. № 1. С. 143–149.

преподавания математики, учрежденная Международным союзом 
математиков (IMU) и Международной комиссией по методике математики (ICMI), вручается раз в четыре года на всемирных конгрессах по математическому образованию (ICME)): «При подготовке учителей мы исходим из аксиомы: тот, кто обучает, должен 
знать больше, чем только то, чему он обучает. Это “больше” относится не только к объему материала. Учитель должен знать то, 
чему он обучает еще и в форме, отличной от той, по которой он обучает. Он должен владеть не только большим объемом материала, 
но и более высокой логической формой понимания этого материала 
(курсив мой. — В.И.). А для этого он должен почувствовать логическую глубину материала. В этом ему может помочь логика, если она 
будет изучена глубже, чем только доказательства от противного, 
обращение теоремы, эквивалентность и т.п. Учитель математики 
не должен преподавать логику, а должен пользоваться логикой, 
уметь помочь школьнику осознать ту логику, которой тот пользуется (курсив мой. — В.И.). От учителя следует потребовать большего: чтобы он стоял выше им самим избранного метода изложения 
материала и чтобы он сам осознал этот метод»1.
Наконец вспомним и Мефистофеля из знаменитой поэмы 
И.В. Гёте, который наставлял юного Фауста2:

Употреб ляйте с пользой время,
Учиться надо по системе.
Сперва хочу вам в долг вменить
На курсы логики ходить.
Ваш ум, нетронутый доныне,
На них приучат к дисциплине.
Чтоб взял он направленья ось,
Не разбредаясь вкривь и вкось.

Но современная логика немыслима без ее математической составляющей. Восполнению этого существенного методологического пробела в образовании будущих учителей математики (как 
на уровне бакалавриата, так и на уровне магистратуры), изучающих 
на математических факультетах педагогических и классических 
университетов традиционную науку логику с использованием методов современной математической логики, и призвана послужить 
данная книга.

1 
Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: пер. с нем. М.: 
Просвещение, 1983. Ч. 2. С. 181.
2 
Гёте И.В. Фауст / пер. с нем. Б. Пастернака. М.: ГИХЛ, 1960.

Для последующего более подробного знакомства с математическими методами логики автор рекомендует обратиться к следующим источникам1. Последний из них — сборник задач по математической логике — целесообразно использовать в процессе 
изучения настоящего курса.
В заключении выделяются три основные логические компетенции, которые необходимо сформировать в себе каждому будущему специалисту, в какой бы области ему ни предстояло работать. 
Подробно охарактеризованы компоненты этих компетенций — 
знания, умения, отношения к материалу. Рекомендуется в процессе 
изучения настоящего курса логики время от времени просматривать содержание этих компетенций с тем, чтобы координировать 
процесс обучения с конечной целью — подготовка логически компетентного специалиста, к которой он должен привести.
Итак, для успешного формирования логической компетентности 
будущего специалиста в процессе изучения дисциплины «Логика» 
студент должен:
знать
 
• какие бывают признаки понятия, содержание и объем понятия, 
закон обратного отношения между ними, виды понятий и отношения между понятиями, общелогический закон тождества;
 
• какие бывают виды суждений и способы их построения, отношения между суждениями, важнейшее из которых — отношение 
логического следования суждений;
 
• что такое дедуктивное умозаключение и что такое индуктивное 
умозаключение, чем они отличаются друг от друга, виды дедуктивных умозаключений со сложными и простыми суждениями, 
аксиоматическое строение математических теорий;
уметь
 
• определять содержание и объем понятия, виды понятий, отношения между понятиями, давать логически правильные определения понятиям, в рассуждениях не подменять одно понятие 
другим, соблюдать закон тождества;

1 
Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. 4-е изд. М.: 
Издательский центр «Академия», 2010. 448 с.; Игошин В.И. Математическая логика. М.: ИНФРА-М, 2020. 399 с.; Игошин В.И. Элементы математической логики. 5-е изд. М.: Академия, 2021. 320 с.; Игошин В.И. Задачи 
и упражнения по математической логике и теории алгоритмов. 4-е изд. М.: 
Издательский центр «Академия», 2008. 304 с.; Игошин В.И. Сборник задач 
по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие. М.: КУРС: 
ИНФРА-М, 2017. 392 с.

 
• строить модели сложных и простых суждений на языке математической логики — алгебры высказываний и логики предикатов;
 
• методами математической логики анализировать на правильность дедуктивные умозаключения со сложными и простыми 
суждениями, отличать дедуктивные умозаключения от индуктивных;
владеть
 
• различными способами определения понятий, технологиями деления объема понятия и классификации понятий;
 
• методами алгебры высказываний и логики предикатов для определения логических отношений между простыми и сложными 
суждениями, важнейшим из которых является отношение логического следования;
 
• методами доказательства математических теорем с использованием дедуктивных умозаключений.

Глава 1. 
МЕСТО ЛОГИКИ В МЫСЛИТЕЛЬНЫХ 
ПРОЦЕССАХ И ЕЕ ПРЕДМЕТ

Приобретение знаний об окружающем мире осуществляется 
посредст вом по меньшей мере следующих двух способов: 1) непосредственное на блюдение; 2) получение новых знаний из уже 
имеющихся, без обращения к непосредственному наблюдению действительности. Первый способ редко применяется в чистом виде, 
второй — тесно связан с мышлением.
Мышление — способность человека отражать в своем сознании 
объ ективную действительность. Это отражение является опосредованным, об общенным и абстрактным. В нем выделяются общие 
и наиболее сущест венные стороны вещей и явлений, раскрываются 
их взаимосвязи и законо мерности. В мышлении человек выходит 
за пределы чувственного опыта и путем догадки (внутреннего озарения) или умозаключений узнает то, чего он не мог бы ни ощутить, 
ни даже представить. Мышление дает возможность человеку производить мысленные изменения в предмете, точнее в понятии об этом 
предмете, не затрагивая его материально. Человек с помощью мышления формирует абстрактные модели объекта, которые позволяют 
глубже и точнее воспроизвести отдельные присущие объекту 
свойства и связи.
Можно выделить два вида, два способа мышления — интуитивное (интуиция, индукция) и логическое (логика, дедукция).
Интуиция представляет собой способность постижения истины 
путем прямого ее усмотрения, путем догадки, без ее обоснования 
с помощью ло гически строгого доказательства (лат. слово intuitio 
означает «пристальное всматривание», «наведение», что отражает 
типичную картину догадки: человек пристально всматривается 
во что-то — возможно, умственным взором, — и вдруг его осеняет).
Логическое мышление есть способность получения новых знаний 
с ис пользованием дедукции и умозаключений, не опираясь непосредственно на опыт, а используя ранее приобретенные опыт 
и знания, а также законы логики. Латинское слово deductio означает 
«выведение». Основными компонентами логического мышления 
являются понятия, суждения, умозаключения.
Рассмотрим последовательно эти два вида мышления и постараемся понять сущность их взаимодействия.