Применение TVD-схем для численного решения нестационарных задач газовой динамики

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 

 
 
 
 
Применение TVD-схем для численного решения 
нестационарных задач газовой динамики 

 
Методические указания  к выполнению курсовой работы  
по дисциплине «Численные методы газовой динамики» 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 519.688 
ББК 22.19 
         П76 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1457.html 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика»  
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 

 
  
Применение TVD-схем для численного решения нестационарных 
задач газовой динамики : методические указания к выполнению 
курсовой работы по дисциплине «Численные методы газовой 
динамики» / Ю. И. Димитриенко, М. Н. Коряков, А. А. Захаров,  
А. С. Строганов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2016. — 21, [3] с. : ил. 
 
       ISBN 978-5-7038-4453-3 
 
Даны основные понятия свойства TVD. Представлены различные варианты 
построения TVD-схем. Изложен алгоритм распространения скалярных 
TVD-схем на нелинейные системы уравнений. Приведен пример 
решения задачи о распаде произвольного разрыва методом TVD, а также 
предложены задания для самостоятельного решения. 
Для студентов нового направления подготовки бакалавров «Математика 
и компьютерные науки» и «Прикладная математика». 
 
 
 
 УДК 519.688 
 ББК 22.19  
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4453-3                              
 
      МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 

П76 

Предисловие 

При сквозном численном решении задач газовой динамики 
главной сложностью является описание разрывных решений 
(скачков уплотнения, контактных волн), которые могут появиться 
даже при гладких начальных условиях. При решении данной проблемы 
широкое распространение получили нелинейные схемы 
TVD (Total variation diminishing). Данные методические указания 
посвящены построению TVD-схем, которые имеют второй порядок 
аппроксимации в области гладкости решения, а в области разрыва 
понижают точность до первого порядка. 
Существуют три различных подхода к построению TVD-схем. 
1. Метод модифицированного потока. TVD-схема строится на 
основе схемы первого порядка с применением к ней модифицированного 
потока, который выбирается так, чтобы получилась схема 
второго порядка аппроксимации. Данный метод подробно проработан 
Хартеном [2]. 
2. Схемы Годунова второго порядка аппроксимации. Классический 
метод Годунова использует кусочно-постоянную аппроксимацию 
в каждой ячейке и имеет первый порядок точности. Для 
получения второго порядка точности необходимо строить кусоч-
но-линейное приближение. Наклон линейных функций специальным 
образом ограничивается, чтобы не возникали нефизические 
осцилляции. 
3. Схемы коррекции потоков. Данный подход комбинирует 
схемы первого и второго порядков точности, переключение между 
которыми осуществляется посредством специальных функций-
ограничителей, зависящих от решения. Подход три далее будет 
рассмотрен подробно. 
Целью данных методических указаний является изложение 
принципов построения нелинейных TVD-схем второго порядка 
аппроксимации, формирование у студента умения применять эти 
схемы для решения инженерных задач.  

Задача настоящих методических указаний — формирование у 
студентов умений: 
 строить схемы TVD второго порядка аппроксимации; 
 применять схемы TVD для решения задач газовой динамики; 
 владеть навыками реализации программных кодов для решения 
задач газовой динамики. 
Методические указания разработаны для выполнения курсовых 
работ по дисциплине «Численные методы газовой динамики» 
для студентов направлений подготовки «Математика и компьютерные 
науки» и «Прикладная математика». 
 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

Рассмотрим нелинейное скалярное уравнение переноса  

 
( )
0
t
x
u
f
u


 или 
( )
0,
t
x
u
a u u


 
 (1.1) 

где 
( )
f u  — функция потока; 
( )
/
a u
f
u
 
  — скорость распространения 
возмущений. Уравнение (1.1) является одним из фундаментальных 
уравнений математической физики. Во-первых, уравнение 
переноса — простейший представитель гиперболических 
уравнений, к которым относятся системы уравнений магнитной 
динамики, гидродинамики и газовой динамики. Во-вторых, решение 
уравнения (1.1) содержит основные нелинейные эффекты гиперболических 
уравнений: ударные волны и волны разрежения.  
В-третьих, скалярное уравнение переноса имеет точное решение, 
поэтому его удобно использовать для тестирования разрабатываемых 
численных методов. 
Для дальнейших рассуждений еще упростим уравнение (1.1) и 
рассмотрим линейное уравнение переноса 
  
0,
t
x
u
au


 
 (1.2) 

где 
const;
a 
 
.
f
au

 Введем конечно-разностную сетку с шагами 

по пространству 
x
  и по времени 
.t
  Обозначим через 
n
iu  аппроксимацию 
решения в точке 
,
.
x
i x
t
n t
 

  Рассмотрим общий 
вид консервативной явной численной схемы 

 


1
1/2
1/2 ,
n
n
n
n
i
i
i
i
u
u
f
f




 



 
 (1.3) 

где 
/
,
t
x
  

 
1/2
n
if 

 — численный поток. Для схемы Годунова 
численный поток будет выглядеть так 

 


1
1/2
1/2
1
,
2

n
n
n
i
i
i
if
f
f
a
u








 
(1.4) 

для схемы Лакса — Вендроффа  

 


2
1
1/2
1/2
1
.
2

n
n
n
i
i
i
if
f
f
a
u





 


 
 (1.5) 

Схема Годунова имеет ошибку аппроксимации 
(
,
),
o
t
x


 а 

схема Лакса-Вендроффа 

2
2
,
.
o
t
x


 
Важнейшим свойством точного решения задачи Коши для 
уравнения (1.2) является перенос начального профиля без искажения. 
Все численные схемы, аппроксимирующие уравнение (1.2), 
искажают точное решение. Схемы первого порядка точности (схема 
Годунова), как правило диссипативны, то есть дают решение 
«расплывающееся» по пространству со временем (рис. 1, а). Схемы 
повышенного порядка аппроксимации (схема Лакса-Венд-
роффа) являются дисперсионными, что проявляется в появлении 
нефизических осцилляций вблизи больших градиентов решения 
(рис. 1, б). 

Рис. 1. Решение линейного уравнения переноса в момент времени 
1:
t 
 
а — метод Годунова; б — метод Лакса — Вендроффа 

Определение 1. Схема 


1
1
, ...,
,
L
R
n
i k
n
n
i
i k
u
H u
u





 где 
L
k  и 
R
k  

два неотрицательных целых числа, называется монотонной, если 

0,
,
n
j

H
j
u




 т. e. H  — неубывающая функция каждого из своих 

аргументов.  
Непосредственным дифференцированием правой части (1.3) с 
численным потоком (1.4) убеждаемся, что схема Годунова является 
монотонной. Аналогично, используя поток (1.5), найдем, что 
схема Лакса — Вендроффа немонотонна.  

Определение 2. Схема (1.3) называется линейной, если ее численный 
поток представлен в виде 

  


1
1/2
1/2
1
( )
,
2

n
n
n
i
i
i
if
f
f
a
u





 


  

где 
( )
a

 — некоторая функция, вид которой не зависит от решения, 
например для потока (1.4) 
( )
,
a
a


 а для потока (1.5) 

2
( )
.
a
a

 
 
Сформулируем основные свойства «идеальной» численной 
схемы: 
1) имеет второй порядок аппроксимации в области гладкости 
решения; 
2) не производит нефизические осцилляции вблизи больших 
градиентов решения (является монотонной); 
3) разрывы в решении (ударные волны) схема размазывает на 
2–3 расчетные ячейки. 
Теорема Годунова утверждает, что свойства 1 и 2 не совместимы 
с линейными схемами. Приведем формулировку этой теоремы 
без доказательства. 

Теорема 1 (теорема С.К. Годунова). Для уравнений (1.1) и (1.2) 
не существует монотонных линейных схем (1.3) с порядком аппроксимации 
выше первого.  
Очевидно, что для удовлетворения всех желаемых свойств 1–3 
придется жертвовать линейностью схемы и строить более сложные, 
нелинейные схемы, т. е. функция 
( )
a

 будет зависеть от  
решения задачи. 
Рассмотрим множество TVD-схем (Total variation diminishing) 
или TVNI (Total variation non-increasing) с невозрастающей полной 
вариацией решения. Свойство TVD является более слабым, чем 
свойство монотонности (множество монотонных схем включено  
в множество TVD-схем 
mon
TVD).
S
S

 
Для функции 
( )
u
u x

 полная вариация определяется так: 

 

0
1
( )
limsup
(
)
( )
.
TV u
u x
u x dx






  
 
 
(1.6) 

Если функция 
( )
u
u x

 гладкая, то (1.6) примет вид 

 
 
( )
( )
.
TV u
u x dx







 

Полная вариация для сеточной функции 
n
iu  

 
 
1
(
)
.
n
n
n
i
i
i
TV u
u
u








 

Определение 3. Схема называется TVD, если для любого n выполнено 
условие 

 
1
(
)
(
).
n
n
TV u
TV u


 
(1.7) 

Если задача Коши для уравнения (1.1) имеет ограниченные 
начальные данные ( ,0),
u x
 то решение, полученное по схеме TVD, 
обладает следующими свойствами точного решения: 
1) не появляются новые локальные экстремумы по ;x  
2) значение локальных минимумов не уменьшается, значение 
локальных максимумов не увеличивается. 
Перепишем схему (1.3) в виде 

 
1
1/2
1/2
1/2
1/2,
n
n
i
i
i
i
i
i
u
u
C
u
D
u










 
(1.8) 

где 
1/2
1
,
n
n
i
i
i
u
u
u





 
1/2
i
C 
 и 
1/2
i
D 
 в общем случае функции, за-

висящие от данных 
.
n
iu
 

Теорема 2. Чтобы схема (1.3) была TVD, достаточно выполнение 
условий 

 
1/2
1/2

1/2
1/2

0,
0,
0
1.

i
i

i
i

C
D
C
D









 



 
(1.9) 

Доказательство. Применим схему (1.3) для двух соседних 
ячеек i и 
1:
i 
 

 
1
1/2
1
1/2
1
(
)
(
),
n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
u
u
C
u
u
D
u
u










 
 (1.10) 

 
1
1
1
1/2
1
3/2
2
1
(
)
(
).
n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
u
u
C
u
u
D
u
u













 
(1.11) 

Вычитаем (1.10) из (1.11): 

 
1
1
1
1/2
1/2
1
(1
)(
)
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
u
u
C
D
u
u











+ 

 
1/2
1
3/2
2
1
(
)
(
).
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
C
u
u
D
u
u









 
 (1.12) 

Возьмем по модулю обе части равенства (1.12) и воспользуемся 
условиями (1.9) теоремы 

 
1
1
1
1/2
1/2
1
(1
) (
)
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
u
u
C
D
u
u











   

 
1/2
1
3/2
2
1 .
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
C
u
u
D
u
u









  
(1.13) 

 
Просуммируем (1.13) по всем 
:
i
     

 

1
1
1
1
1/2
1

1/2
1
1/2
1

n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i

u
u
u
u
C
u
u

C
u
u
D
u
u












































 

 
3/2
2
1 .
n
n
i
i
i
i
D
u
u










 
(1.14) 

Ясно, что в правой части (1.14) второе и третье слагаемые сокращаются, 
также сокращаются четвертое и пятое. В итоге получаем 

1
(
)
(
),
n
n
TV u
TV u


 т. е. схема, удовлетворяющая условиям (1.9), 
является TVD. 
Перейдем к построению TVD-схем, используя подход [3]. 
Представим численный поток в общем виде 

 


1/2
1
1/2
1
,
2

n
n
n
i
i
i
if
f
f
a
u





  

 
 (1.15) 

при 
sign( )
a
 
 получим поток Годунова, при 
c
 
 — поток  
Лакса — Вендроффа, c
a
   — число Куранта. Запишем межэлементные 
потоки 

 







1/2
1/2
1
1/2

1/2
1/2
1
1/2

1
,
2
1
2

n
n
n
i
i
i
i
i

n
n
n
i
i
i
i
i

f
f
f
a
u

f
f
f
a
u













 




 





 
 (1.16) 

и подставим их в консервативную схему (1.3). Пусть 
0,
a 
 тогда 
после несложных преобразований получим 

 
1
1/2
1/2
1/2
1/2

1
1
(1
)
1
2

n
n
i
i
i
i
i
i
u
u
c
u
r











 
  





, 
(1.17) 

где 
1/2
1/2
1/2
.
i
i
i

u
r
u






 
  

Сравнив (1.17) с (1.8) найдем 

  
1/2
1/2
1/2
1/2

1
1
(1
)
1
.
2
i
i
i
i
C
c
r








 
  




 
 

Теперь воспользуемся теоремой 2 и найдем условия, при которых 
схема (1.3) с потоками (1.16) будет TVD 

 
1/2
1/2
1/2

1
1
0
(1
)
1
1.
2
i
i
i
c
r







 
  





 
 (1.18) 

 
Так как 
0,
c 
 то (1.18) эквивалентно неравенству 

 
1/2
1/2
1/2

1
2
1
(1
)
.
i
i
i

c
r
c





 
 
 

  
(1.19) 

Очевидно, что (1.19) верно, если выполняются следующие неравенства 

 

1/2
1/2

1/2

1
2(1
)
0
(1
)
,

1
1.

i
i

i

c
r
c






 
 


  



 
 (1.20) 

Из (1.20) несложными преобразованиями получим ограничения 
на функцию :
  

 

( ),
если
0;

( ),
если
0,

( ),
если
0;

( ),
если
0,
1
1,

L

L

R

R

r
r

r
r

r
r

r
r

 

 


 



 




 



   


 
 
(1.21)
 

где 
( )
1,
L r


2(1
)
( )
1
.
R
c
r
r
c


 