Применение матричных методов для расчета частот и форм свободных колебаний динамических моделей силовых передач колесных машин с конечным числом степеней свободы

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
М.Г. Лахтюхов 
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ  
ДЛЯ РАСЧЕТА ЧАСТОТ И ФОРМ  
СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ  
МОДЕЛЕЙ СИЛОВЫХ ПЕРЕДАЧ  
КОЛЕСНЫХ МАШИН С КОНЕЧНЫМ  
ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве  
учебного пособия по курсу «Динамика колесных машин» 
Под редакцией А.А. Полунгяна  
М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 7 

УДК 629.113(075.8) 
ББК 39.33-04+22.213 
Л29 
Рецензенты: Е.А. Галевский, С.В. Аринчев 
Лахтюхов М.Г. 
Л29 
Применение матричных методов для расчета частот и форм 
свободных колебаний динамических моделей силовых передач 
колесных машин с конечным числом степеней свободы: Учеб. 
пособие по курсу «Динамика колесных машин» / Под ред. 
А.А. Полунгяна. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 
60 с.: ил.  
ISBN 5-7038-2933-Х 
Даны рекомендации по выбору матричных методов расчета частот 
и форм свободных колебаний консервативных и неконсервативных 
динамических моделей силовых передач колесных машин с конечным 
числом степеней свободы в зависимости от типа матриц и их 
размерности, объема решаемой задачи (расчета всех или части частот и, 
возможно, форм свободных колебаний) и т. д. Показано, что решение 
задачи нахождения частот и форм свободных колебаний математически 
эквивалентно решению задачи на собственные значения. Рассмотрены 
особенности расчета собственных значений и собственных векторов. 
Приведены сведения о программных средствах для решения спектральных задач. Включены примеры расчета частот и форм свободных 
колебаний динамических систем  в среде MathCAD. 
Для студентов старших курсов специальностей «Автомобилестроение» и «Многоцелевые гусеничные и колесные машины». 
                                                                                          УДК 629.113(075.8) 
     ББК 39.33-04+22.213 
Учебное издание 
Михаил Георгиевич Лахтюхов 
Применение матричных методов  
для расчета частот и форм свободных колебаний 
динамических моделей силовых передач  
колесных машин с конечным числом степеней свободы 
Редактор С.А. Серебрякова 
Корректор Л.И. Малютина 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 
Подписано в печать 26.12.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. 
Печ. л. 3,75. Усл. печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 3,25. 
Тираж 100 экз. Изд. № 104. Заказ 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
ISBN 5-7038-2933-Х 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

 
Поведение силовой передачи колесной машины (КМ) при динамическом воздействии во многом определяется ее частотами и 
формами свободных колебаний. При проведении исследований 
расчет частот и форм собственных колебаний динамических систем является одной из важнейших задач. При этом можно выделить несколько задач, отличающихся по объему вычислений.  
В зависимости от поставленных целей может возникнуть необходимость вычисления: нескольких низших собственных частот и, 
возможно, соответствующих форм колебаний; всех собственных 
частот и соответствующих форм колебаний; только собственных 
частот (всех или нескольких); числа собственных частот, лежащих 
в заданном диапазоне, и т. п. 
1. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ  
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ  
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 
Теоретическому исследованию динамической нагруженности силовой передачи КМ предшествует ее схематизация. При исследованиях в низкочастотном диапазоне силовая передача КМ (рис. 1), 
представляющая собой систему с рассредоточенными параметрами, 
как правило, моделируется линейными системами с сосредоточенными параметрами (рис. 2), состоящими из конечного числа жестких 
масс, совершающих вращательное движение и соединенных между 
собой безынерционными упругими валами. Число степеней свободы 
при этом не превосходит 150. 
Дифференциальные уравнения голономной динамической системы с сосредоточенными параметрами и стационарными связями 
могут быть получены с помощью дифференциальных уравнений 
Лагранжа второго рода 
,     
1, ,
i
i
i
i
i
d
T
T
Ф
П
Q
i
n
dt
q
q
q
q
∂
∂
∂
∂
−
+
+
=
=
∂
∂
∂
∂


 
где 
, 
T П  – соответственно кинетическая и потенциальная энергии 
системы; Ф  – диссипативная функция системы; 
i
Q  – i-я обобщенная 

сила; 
, 
i
i
q
q  – соответственно i-е обобщенные координата и скорость; 
t  – время; n  – число степеней свободы динамической системы. 
При малых колебаниях около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии системы, а также ее диссипативная 
функция могут быть выражены квадратичными формами от обобщенных координат: 
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,   
,   
, 
2
2
2
n
n
n
n
n
n
ij i
j
ij
i
j
ij i
j
i
j
i
j
i
j
T
a q q
П
с q q
Ф
b q q
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑∑
∑∑
∑∑
 
 
  (1)  
где 
, 
ij
ij
a
c  – соответственно инерционные и жесткостные коэффициенты; 
ij
b  – коэффициенты диссипации. 
Рис. 1. Кинематическая схема силовой передачи колесной машины (8×8) 
с раздачей крутящего момента по бортам 

 
  
Рис.2. Приведенная динамическая система силовой передачи колесной машины (8×8) с раздачей крутящего 
момента по бортам 

Уравнение, описывающее движение линейной динамической 
модели силовой передачи с n  степенями свободы, может быть записано в матричной форме 
 
,
A
B
C
+
+
=


q
q
q
F  
(2) 
где A, C  – матрицы инерционных и жесткостных коэффициентов 
(размерности n
n
×
); B  – матрица коэффициентов диссипации 
(демпфирования) ( n
n
×
); q  – 
-
n мерный вектор обобщенных координат; F  – -
n мерный вектор внешних сил. 
Если вектор внешних сил F  равен нулевому вектору 0, то из 
уравнения (2) получаем матричное уравнение  
 
,
A
B
C
+
+
= 0


q
q
q
 
(3) 
или, что одно и то же, систему однородных дифференциальных 
уравнений,  
 
11 1
12 2
1
11 1
12 2
1
11 1
12 2
1
21 1
22 2
2
21 1
22 2
2
                                       
0,
                              
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
a q
a q
...
a q
b q
b q
...
b q
c q
c q
...
c q
a q
a q
...
a
q
b q
b q
...
b q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+












21 1
22 2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
         
0,
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .        
                
n n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
c q
c q
...
c
q
a q
a
q
...
a q
b q
b q
...
b q
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+






1 1
2 2
                       
0.
n
n
nn
n
c q
c q
...
c q










+
+
+
+
=

  (4) 
Уравнение (3) и система уравнений (4) описывают малые свободные колебания линейной неконсервативной системы. 
Выражения для квадратичных форм (1) и соответственно 
структура матриц A, B  и C  определяются выбором обобщенных координат .q  На практике в качестве обобщенных координат q  обычно принимают отклонения масс от положения равновесия. В этом случае выражения (1) для кинетической и потенциальной энергий и для диссипативной функции преобразуются к виду