Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Методы моделирования в материаловедении»

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

В.И. Третьяков, А.Ю. Ампилогов, М.А. Хасянов 

Методические указания  
к выполнению домашнего задания 
 по курсу «Методы моделирования  
в материаловедении» 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 620.22(076.5) 
ББК 30.3 
Т66 

Рецензент В.Н. Симонов 

Третьяков В.И., Ампилогов А.Ю., Хасянов М.А. 
Т66 
 
Методические указания к выполнению домашнего задания 
по курсу «Методы моделирования в материаловедении». – М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 59 с.: ил.  

ISBN 5-7038-2858-9 

Предложены методология системного анализа, методы физического моделирования для решения задач моделирования в машиностроительном материаловедении. Рассмотрены общие алгоритмы 
создания математических моделей, планирования и проведения 
численного эксперимента с анализом результатов моделирования. 
Приведены примеры моделирования процессов диффузионного насыщения при химико-термической обработке и тепловых процессов нагрева-охлаждения при термической обработке. 
Для студентов специальности «Материаловедение» (МТ-8), 
изучающих курсы «Основы автоматизированного проектирования» и «Методы моделирования в материаловедении» в МГТУ 
им. Н.Э. Баумана. 
Ил. 34. Табл. 8. Библиогр. 6 назв. 

                УДК 620.22(076.5) 
                 ББК 30.3 

ISBN 5-7038-2858-9  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

ВВЕДЕНИЕ 

Экспериментальные исследования процессов термической и химико-термической обработки позволяют получить закономерности 
влияния технологических факторов (варьирования температуры, 
продолжительности обработки, давления, состава среды и прочих) 
на структуру и свойства сталей и сплавов. Для сокращения сроков и 
стоимости разработки технологических режимов целесообразно использовать расчетно-теоретические методы, которые могут заменить на определенных этапах дорогостоящие опыты.  
Математическое моделирование термической или химикотермической обработки позволяет: 
– анализировать процесс с меньшими затратами энергии и 
времени;  
– имитировать процесс при любых параметрах, в том числе и 
аварийных, что невозможно выполнить на действующем оборудовании;  
– исследовать явления, происходящие при термической или 
химико-термической обработке, моделируя их различные стадии, 
сравнивая результаты расчетов с экспериментом и приближая тем 
самым модель к реальному процессу. 
Данное домашнее задание по моделированию процессов термической и химико-термической обработки имеет следующие цели: 
– изучить основные методы физического моделирования задач 
материаловедения и приобрести практические навыки в создании 
математических моделей, планировании и проведении численного 
эксперимента с анализом результатов моделирования; 
– разработать математическую модель диффузионного насыщения при химико-термической обработке и изучить влияние температуры и времени цементации на глубину диффузионного проникновения углерода в поверхность обрабатываемой детали, а также сделать 
прогноз о структурных изменениях в диффузионной зоне;  
– разработать математическую модель тепловых процессов при 
термической обработке деталей различной формы; для различных 

точек детали построить кривые охлаждения; используя термокинетические диаграммы, составить прогноз о распределении структуры по объему детали, сделать вывод о глубине закаленной зоны, 
сравнить полученные результаты по прокаливаемости стали с данными, известными из литературы.  

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

1.1. Математическое моделирование диффузионных процессов 

при химико-термической обработке 

Уравнения диффузии 

Моделирование диффузионных процессов в металле основывается на уравнениях Фика: 
первом 

 
c
J
D x

∂
=−
∂  
(1) 

и втором  

 

2

2 .
c
c
D

x

∂
∂
=
∂τ
∂
 
(2) 

Здесь D – коэффициент диффузии; c – концентрация; τ – время; x – 
координата. 
Первое уравнение описывает удельный поток диффундирующего элемента в металле. Знак «минус» означает, что поток направлен из области с большей концентрацией в область с меньшей 
концентрацией.  
Второе уравнение Фика описывает изменение концентрации 
диффундирующего вещества c(x, τ) в пространстве и во времени. Это уравнение непосредственно следует из уравнения баланса вещества при диффузии и выражения для потока. Оба 
уравнения описывают одномерную диффузию вдоль оси x; в 
качестве допущения для упрощения решения поставленной задачи принимаем, что коэффициент диффузии D не зависит от 
концентрации диффундирующего элемента, а только от температуры процесса. 

Начальные и граничные условия 

Для решения уравнения (2) аналитическим или численным методом необходимо задать начальные и граничные условия, определяемые из анализа процессов, происходящих при химикотермической обработке. Начальное распределение (при τ = 0) концентрации диффундирующего элемента в металле определяется 
условием 

 
0
( , 0)
( ),
c x
c
x
=
 
(3) 

а в случае постоянной начальной концентрации – условием 

 
0
( ,0)
const.
c x
c
=
=
 
(4) 

Если рост диффузионного слоя контролируется диффузией в 
металле, то используется граничное условие 1-го рода 

 
(0, )
( ),
S
c
c
τ =
τ  
(5) 

т. е. концентрация на поверхности детали cS (при x = 0) является 
функцией времени или, в частном случае, постоянна: 

 
(0, )
const.
S
c
c
τ =
=
 
(6) 

Концентрация на поверхности детали определяется, как правило, экспериментальным путем. 
Когда рост диффузионного слоя контролируется процессами, 
происходящими на поверхности металла, например адсорбцией 
или химической реакцией, используется граничное условие 2-го 
рода. В этом случае при решении уравнения (2) задается поток вещества через поверхность металла как функция времени. 
Граничное условие 3-го рода наиболее достоверно описывает 
реальный процесс массопереноса на поверхности металла при химико-термической обработке: 

 
(
) 0
S
c
D
k c c
x

∂
−
+
−
=
∂
 для x = 0, 
(7) 

где k – константа скорости процесса, происходящего на поверхности детали. 

Аналитическое решение уравнения диффузии 

Достаточно надежной моделью, адекватно отражающей основные закономерности диффузионного насыщения металлов 
при химико-термической обработке, является линейная модель с 
граничными условиями 1-го рода. Эта модель представляется 
дифференциальным уравнением в частных производных 

2

2
С
C
D

x

∂
∂
=
∂τ
∂
 

и начальными и граничными условиями, имеющими вид 

τ = 0, С = С1 для всех x > 0, 

τ = 0, С = С2 для всех x = 0, 

где С1 – исходная концентрация углерода в стали; С2 – концентрация углерода на поверхности. 
Эти граничные условия определяют случай, когда в процессе химико-термической обработки на поверхности изделия сохраняется постоянная концентрация насыщаемого элемента, а между газовой фазой 
и поверхностью достигнуто равновесие. При повышенных температурах равновесие достигается весьма быстро. При цементации с этой концентрацией можно соотнести углеродный потенциал газовой среды. 
Для решения диффузионной задачи с граничными условиями 1-го 
рода воспользуемся подстановкой Больцмана. Введем переменную 

( )
.
x
С
t
λ
=
 

Тогда 

3 2
λ
,
λ
λ 2
C
dC
dC
x
t
d
t
d
t
∂
∂
=
=−
∂
∂
 

1 ,
С
C
C
x
x
t

∂
∂
∂λ
∂
=
=
∂
∂λ
∂
∂λ
 

2
2

2
2
1
1.
C
C
C

x
t
x
t

∂
∂
∂
∂λ
∂
 
 
=
=
 
 
 
 
∂λ
∂λ
∂
∂
∂λ