Гидродинамические силы и моменты инерционной природы

Московский государственный технический университет
 им. Н.Э. Баумана

И.А. Сутырин

Гидродинамические силы и моменты
инерционной природы

Методические указания

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 532
ББК 22.253
       С89
Рецензент В.П. Пузанов
Сутырин И.А.
Гидродинамические силы и моменты инерционной природы:
Методические указания. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2006. – 20 с.
ISBN 5-7038-2831-7
Рассмотрено взаимодействие подводных робототехнических систем
с несжимаемой идеальной жидкостью с помощью метода присоединенных
масс. Получены формулы для определения гидродинамических сил и моментов, 
действующих на подводный аппарат, движущийся с ускорением.
Для студентов 5-го и 6-го курсов.
Ил. 2. Библиогр. 4 назв.

УДК 532
                                                  ББК 22.253

ISBN 5-7038-2831-7
        
        
©
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

С89

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании подводных робототехнических систем
(ПРТС) необходимо уметь рассчитывать силовое воздействие вязкой 
жидкости на движущийся в ней аппарат.
В гидромеханике широкое распространение получили теоретические 
методы решения практических задач. Эти методы базируются 
на дифференциальных или интегральных формулировках законов 
сохранения механики сплошной среды. В настоящей работе
рассмотрено силовое воздействие вязкой среды на аппарат, движущийся 
со скоростью, переменной во времени как по величине,
так и по направлению, с использованием энергетического подхода,
получены зависимости для гидродинамических сил и моментов,
действующих на аппарат.
Предлагаемый материал дает ясное представление о конфигурациях 
тел (аппаратов), целесообразных с точки зрения минимали-
зации энергетических затрат при движении в воде. Приведенные
формулы для определения гидродинамических сил и моментов необходимы 
студентам кафедры «Подводные работы и аппараты»
(СМ-11), выполняющим курсовые и дипломные работы, связанные
с выбором оптимальных гидродинамических форм подводных аппаратов.

§ 
1. МЕТОД ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС

Твердое тело и жидкость рассматриваем как единую механическую 
систему, обладающую шестью степенями свободы. Кинетическая 
энергия этой системы будет слагаться из кинетической
энергии тела и жидкости, соответствующей вызванному движением 
тела течению. При таком подходе появляется возможность записать 
уравнения движения механической системы в виде уравнений 
Лагранжа второго рода:

т
ж
ж
т
(
)
(
)
,
1, 2, ... , 6,
i
i
i

E
E
E
E
d
F i
dt
q
q


∂
+
∂
+
−
=
=


∂
∂



где 
т
E  – кинетическая энергия твердого тела; 
ж
E  – кинетическая
энергия жидкости; 
iq  – обобщенные координаты; 
iq– обобщенные 
скорости; 
iF  – обобщенные силы.
По форме эти уравнения будут совпадать с уравнениями движения 
свободного тела, однако их решения более сложны, поскольку
инерционные свойства жидкой среды существенно отличаются от
инерционных свойств твердого тела. При сформулированном подходе 
к инерционным характеристикам твердого тела присоединяются 
соответствующие характеристики жидкости.
Для простоты различные инерционные свойства жидкости называют 
обобщенными присоединенными массами (или просто
присоединенными массами). В ряде случаев движения тел в воде
присоединенные массы и моменты инерции оказываются величинами 
такого же порядка, как и собственная масса и моменты инерции 
тела.
Поэтому весь метод рассмотрения единой механической системы «
тело – жидкость» получил название метода присоединенных 
масс.
Этот метод позволяет сделать довольно общие заключения о
характере силового взаимодействия тела с жидкостью без рассмотрения 
многих деталей течения.

§ 2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЖИДКОСТИ

Получим выражение для кинетической энергии безграничной
жидкости в общем случае движения тела. Рассмотрим тело, ограниченное 
поверхностью S. Свяжем с ним систему координат x, y, z
c центром в полюсе О, считая, что в данный момент времени она
совпадает с неподвижной в пространстве системой координат 
нx ,

нy , 
н.
z  Проведем сферическую поверхность Σ  большого радиуса

2
2
2
r
x
y
z
=
+
+
 с центром в начале координат. Устремляя в дальнейшем 
радиус сферы к бесконечности: 
,
r → ∞  получим безграничную 
жидкость.
Обозначим вызванную скорость жидкости в произвольной точке 
между поверхностями S и Σ  через 
( , , , ).
x y z t
υ = υ
 На бесконечности 
жидкость покоится, т. е. 
0.
υ →
 Кинетическая энергия

объема V∞  жидкости, заключенного между поверхностями 
,
S + Σ
равна

2

ж
.
2
2
V
V

Е
dV
dV

∞
∞

ρυ
υ⋅υ
=
=
ρ
∫
∫
                             (1)

Вычисление ее в общем случае затруднительно, так как для этого
требуется знание скоростей во всем объеме вне тела.
Если же вызванное движение жидкости – безвихревое с однозначным 
потенциалом скоростей 
,
ϕ  то 
grad
υ =
ϕ  на бесконечности 
вне тела стремится к нулю, так как вызванное движение жидкости 
должно отсутствовать. Не ограничивая общности, можно
положить 
0
ϕ =
 при 
.
r = ∞  Тогда получим следующее выражение:

2
2
2
2
ж
| grad |
.
2
2
V
V

E
dV
dV
x
y
z
∞
∞





ρ
ρ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ




=
ϕ
=
+
+








∂
∂
∂










∫
∫
     (2)

Произведем тождественное преобразование членов, входящих
в подынтегральное выражение:

2
2

2 ;
x
x
x
x
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂ ϕ




=
ϕ
− ϕ




∂
∂
∂
∂





2
2

2 ;
y
y
y
y




∂ϕ
∂
∂ϕ
∂ ϕ
=
ϕ
− ϕ




∂
∂
∂
∂





2
2

2 .
z
z
z
z
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂ ϕ




=
ϕ
− ϕ




∂
∂
∂
∂





Сложив почленно левые и правые части этих выражений, получим

2
2
2

2
2
2

2
2
2

      

                                                               

x
y
z

x
x
y
y
y
y
z
z

x
y
z



∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ




+
+
=






∂
∂
∂












∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ




=
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
−










∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂











∂ ϕ
∂ ϕ
∂ ϕ
− ϕ ϕ
+ ϕ
+ ϕ

∂
∂
∂

.



Поскольку потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа,
последний член правой части данного равенства обращается в
нуль и выражение для кинетической энергии жидкости приобретает 
вид

ж
.
2 V

E
dV
x
x
y
y
z
z
∞





ρ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ




=
ϕ
+
ϕ
+
ϕ








∂
∂
∂
∂
∂
∂








∫

Применив формулу Гаусса – Остроградского, переводящую
объемный интеграл в поверхностный, обозначив при этом 
en  как
внешнюю нормаль к поверхностям 
,
S + Σ  получим

где

cos(
, )
cos(
, )
cos(
, ).
e
e
e
e
n x
n y
n z
n
x
y
z
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
=
+
+
∂
∂
∂
∂

Сделав ряд математических преобразований, выражение для кинетической 
энергии жидкости при безвихревом течении можно представить 
в виде поверхностного интеграла, взятого только по поверхности 
тела S:

 

                                      
(4)

В задачах, связанных с движением тела, обычно используют
внешнюю к нему нормаль .
n
Направления нормалей 
en  и n  противоположны. Учитывая,
что 
,
e
n
n
= −
 получим выражение

   

                                  
(5)

представляющее общую формулу для вычисления кинетической
энергии жидкости при безвихревом течении.

§ 3. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.
ОБОБЩЕННЫЕ ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ

Найдем выражение для потенциала вызванных скоростей 
.ϕ
Функция ϕ  должна удовлетворять уравнению Лапласа. На бесконечности 
вне тела, согласно доказанному в § 2, 
0.
ϕ →
 На поверхности 
тела должно выполняться граничное условие непротекания

Т
,
п
S
n

∂ϕ
υ
= ∂

где 
Т
п
υ
 – нормальная скорость точки поверхности тела; n

∂ϕ
∂  – нор-

мальная скорость частицы жидкости, прилегающей к телу.
Представим скорость 
Т
п
υ
 в развернутом виде. Пусть 
0
υ =

0
0
0
x
y
z
i
j
k
= υ
+
υ
+
υ  – поступательная скорость полюса, а 
x
i
ω = ω +

y
z
j
k
+ ω +
ω  – скорость вращения тела относительно мгновенной

оси, проходящей через полюс. Величины 
0
υ  и ω  явно зависят от
времени.
Скорость произвольной точки тела

0
,
r
υ = υ + ω×

где r
ix
jy
kz
=
+
+
 – радиус-вектор этой точки.
Нормальная составляющая скорости точки поверхности тела

Т
0

0
0
0

(
)

cos( , )
cos( , )
cos( , )
(
)cos( , )

(
)cos( , )
(
)cos( , ).

n
S

x
y
z
y
z

z
x
x
y

n
n
r n
n

n x
n y
n z
z
y
n x

x
z
n y
y
x
n z

∂ϕ
= υ
= υ⋅
= υ
+ ω×
=
∂

= υ
+ υ
+ υ
+ ω
− ω
+

+ ω
− ω
+ ω
− ω

После перегруппировки членов, содержащих угловые скорости,
получим

[
]
[
]

[
]

0
0
0
cos( , )
cos( , )
cos( , )

cos( , )
cos( , )
cos( , )
cos( , )

                                                
cos( , )
cos( , ) .

nT
x
y
z
S

x
y

z

n x
n x
n x
n

y
n z
z
n y
z
n x
x
n z

x
n y
y
n x

∂ϕ
= υ
= υ
+ υ
+ υ
+
∂

+ω
−
+ ω
−
+

+ ω
−

     
(6)

Координаты x, y, z и косинусы направляющих углов в связанной 
с телом системе координат не зависят от времени. Функциями
от времени являются лишь проекции поступательных и угловых
скоростей тела 
0
(
, ..., 
).
x
x
υ
ω
Граничное условие на поверхности тела в виде суммы шести
членов и линейность уравнения Лапласа позволяют искать общее
выражение для потенциала также в форме шести слагаемых:

0
1
0
2
0
3
4
5
6,
x
y
z
x
y
z
ϕ = υ ϕ + υ ϕ + υ ϕ + ω ϕ + ω ϕ + ω ϕ             (7)

где 
iϕ  – единичные потенциалы, удовлетворяющие уравнению
Лапласа 
0
i
∆ϕ =
 и условиям на бесконечности 
0.
iϕ →
Продифференцировав ϕ по нормали, получим

3
5
6
1
2
4
0
0
0
.
x
y
z
x
y
z
n
n
n
n
n
n
n

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ = υ
+ υ
+ υ
+ ω
+ ω
+ ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
   (8)

Сравнение этого выражения c (6) показывает, что единичные потенциалы 
должны на поверхности тела удовлетворять граничным
условиям

3
1
2

4

5

6

cos( , );
cos( , );
cos( , );

cos( , )
cos( , );

cos( , )
cos( , );

cos( , )
cos( , ).

n x
n y
n z
n
n
n

y
n z
z
n y
n

z
n x
x
n z
n

x
n y
y
n x
n

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ

=
=
=

∂
∂
∂

∂ϕ

=
−

∂

∂ϕ

=
−

∂


∂ϕ

=
−

∂


             (9)

Правые части равенств не зависят от времени, откуда следует, что
единичные потенциалы 
iϕ  в системе координат, связанной с те-

лом, зависят только от координат. В выражении для потенциала ϕ
функциями времени, не зависящими от координат, являются проекции 
скорости. Для упрощения последующих выкладок целесообразно 
изменить обозначения, вводя обобщенные скорости

1
0 ,
x
υ = υ
 
2
0 ,
y
υ = υ
 
3
0 ,
z
υ = υ
 
4
,
x
υ = ω  
5
,
y
υ = ω  
6
.
z
υ = ω

Тогда выражение для потенциала ϕ примет вид

6
6

1
1
( , , , )
( )
( , , )
,
i
i
i
i
i
i
x y z t
t
x y z

=
=
ϕ
=
υ
ϕ
=
υ ϕ
∑
∑
                   (10)

откуда следует, что потенциал ϕ представляют в виде суммы произведений 
обобщенных скоростей на единичные потенциалы для
того, чтобы явно выделить члены, зависящие только от времени
( )
i t
υ
 и только от координат 
( , , )
i x y z
ϕ
.
Найдем выражение для кинетической энергии жидкости. Взяв

ϕ в форме (10), определив 

6

1

k
k
k
n
n
=

∂ϕ
∂ϕ =
υ
∂
∂
∑
 и подставив эти значе-

ния в (5), будем иметь

В этой формуле величины 
iυ  как не зависящие от координат вынесены 
за знак интеграла и, кроме того, изменен порядок операций
суммирования и интегрирования.
Вводя обозначения

                                   
(12)

придадим выражению для 
ж
E  вид

6
6

ж
1
1

1
.
2
i
k
ik
i
k
E

=
=

=
υ υ λ
∑∑
                                  (13)

Формула (13) аналогична известной из теоретической механики 
зависимости для кинетической энергии твердого тела, и соот-

ветственно величины 
ik
λ  называются обобщенными присоединенными 
массами.
Физический смысл присоединенных масс. Кинетическую
энергию жидкости можно представить в виде суммы трех компонентов, 
каждый из которых выражает энергию определенного вида
движения:
кинетическая энергия поступательного движения

(1)
2
2
2
ж
11
1
22
2
33
3
12
1
2
13
1
3
23
2
3
2
2
2
2
;
E
= λ υ + λ υ + λ υ + λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ     (14)

кинетическая энергия вращательного движения

(2)
2
2
2
ж
44
4
55
5
66
6
45
4
5
46
4
6
56
5
6
2
2
2
2
;
E
= λ υ + λ υ + λ υ + λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ    (15)

кинетическая энергия смешанного движения

3
ж
14
1
4
15
1
5
16
1
6
24
2
4
25
2
5

26
2
6
34
3
4
35
3
5
36
3
6

2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
.

E = λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ +

+ λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ + λ υ υ
   
(16)

Нетрудно увидеть, что в каждой части кинетической энергии присоединенные 
массы имеют свою размерность, характерную для
рассматриваемого вида движения.
При 
поступательном 
движении 
присоединенные 
массы

ik
λ измеряют в тех же единицах, что и массу:

[
]
кг
ik
λ
=
 при 
1, 2, 3
i =
 и 
1, 2, 3
k =
.

При вращательном движении 
ik
λ  измеряют в тех же единицах,
что и момент инерции:

2
[
]
кг м
ik
λ
=
⋅
 при 
 
4, 5, 6
i =
 и 
 
4, 5, 6
k =
.

При смешанном движении 
ik
λ  измеряют в тех же единицах,
что и статические моменты:

[
]
кг м
ik
λ
=
⋅
 при 
1, 2, 3
i =
 и 
4, 5, 6
k =
.

Таким образом, термином «присоединенные массы» обобщенно 
названы все виды инерционных характеристик жидкости: масса, 
статические моменты и моменты инерции.
Инерционные свойства жидкости существенно отличаются от
инерционных характеристик твердого тела. Достаточно сказать,