Оптимальное проектирование композитных материалов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.Э. БАУМАНА

П.А. Зиновьев, А.А. Смердов

ОПТИМАЛЬНОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Допущено Учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия по курсу «Проектирование
композитных конструкций. Часть II» для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению
подготовки 652600 «Ракетостроение и космонавтика»,
специальностям 130600 «Ракетостроение» и 130700
«Космические летательные аппараты и разгонные блоки»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 620.22-419.8(075.8)
ББК 34.42:30.36
З-63

З-63

Рецензенты: Б.Г. Попов, В.А. Бунаков

Зиновьев П.А., Смердов А.А.
Оптимальное проектирование композитных материалов: Учебное пособие 
по курсу «Проектирование композитных конструкций. Ч. II». – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 103 с.: ил.

ISBN 5-7038-2840-6

Изложены основные принципы оптимального проектирования композитных 
материалов. Рассмотрены задачи создания однонаправленных волокнистых 
композитов и многослойных материалов с оптимальным набором 
характеристик. Приведены примеры управления свойствами типичных
углепластиков, стеклопластиков и органопластиков.
Для студентов старших курсов высших технических учебных заведений, 
изучающих механику композитных материалов, методы проектирования 
конструкций из композитных материалов.
Ил. 34. Табл. 3. Библиогр. 21 назв.
УДК 620.22-419.(075.8)
ББК 34.42:30.36

ISBN 5-7038-2840-6
c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

ВВЕДЕНИЕ

Возможность проектирования материалов с оптимальными характеристиками — 
одна из отличительных особенностей проектирования 
композитных конструкций.
Свойства любого традиционного материала можно определить
набором констант, а проектируемый композитный материал (композит) 
представляет собой материал с варьируемой внутренней структурой. 
Целенаправленно изменяя структурные параметры композита, 
можно управлять его свойствами.
Как отмечалось в начале курса [1], при проектировании композитных 
объектов возникают задачи различных типов:
– прямой расчет характеристик;
– параметрический анализ;
– скалярная оптимизация;
– исследование предельных возможностей.
В данной книге рассматриваются эти задачи применительно к
композитным материалам с варьируемой структурой.
Для разных классов композитных материалов задача управления 
свойствами ставится и решается по-разному. Ниже рассмотрены 
такие задачи для двух наиболее широко применяемых классов
композитов: однонаправленных волокнистых материалов и многослойных 
пакетов.
При оптимизации любого типа композитной структуры должна 
быть составлена модель макрооднородного материала с приведенными 
характеристиками. Эти характеристики зависят как от
свойств компонентов композитного материала, так и от его структурных 
параметров, определяющих соотношения между этими

3

компонентами, их взаимное расположение и т. п. При этом характеристики 
компонентов композита считаются неизменными, а структурные 
параметры могут варьироваться при поиске оптимального
проекта, обеспечивая требуемое изменение его свойств.
Изложение вопросов оптимального проектирования композитов 
будет следовать общей схеме постановки и решения задач оптимизации 
композитных материалов и конструкций, рассмотренной
в [1]. Согласно этой схеме, для корректной формулировки задачи
оптимального проектирования необходимо последовательно выбрать:
– 
объект проектирования;
– варьируемые параметры;
– критерии качества.
Возможные варианты выбора зависят от типа проектируемого
материала.
Расчетные модели, используемые для описания отдельных характеристик 
проектируемого материала, большей частью соответствуют 
работам [2 – 4], в иных случаях каждый расчетный алгоритм
имеет соответствующую ссылку.
В рассматриваемых примерах, как правило, описаны волокнистые 
армированные композиты с полимерной матрицей. Многие
положения сохраняют свой смысл и для более широкого класса
композитных материалов.

1. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ ВОЛОКНИСТЫХ
КОМПОЗИТОВ

1.1. Постановки задач оптимизации

Объект проектирования — однонаправленный волокнистый
композит, представляющий собой совокупность волокон, ориентированных 
в одном направлении и расположенных в связывающей
их матрице (рис. 1.1, а). Основное назначение волокон — обеспечение 
требуемых высоких характеристик материала, основное
назначение матрицы — обеспечение совместной работы волокон.
Свойства матрицы также влияют на характеристики композита,
особенно в поперечном направлении и при сдвиге.
Будем рассматривать плоский слой однонаправленного материала 
и исследовать только его характеристики в плоскости армирования. 
Такой объект принято называть монослоем. Оси системы
координат монослоя показаны на рис. 1.1, а. Ось 1 направлена вдоль
армирующих волокон, ось 2 — по нормали к ним в плоскости армирования. 
Такая система координат называется естественной для
однонаправленного волокнистого композита.
В ряде случаев представляют интерес свойства однонаправлен-
ного монослоя в иной системе координат, повернутой на угол ϕ относительно 
оси 1 естественной системы (рис. 1.1, б). Вообще говоря, 
проектирование материалов, состоящих из произвольно ориентированных 
слоев, рассматривается в следующей главе данной
книги, однако этот простейший случай будем относить к проектированию 
однонаправленных материалов.
В общем случае объект оптимизации может содержать одновременно 
n различных типов волокон (углеродных, стеклянных и др.);

5

Рис. 1.1. Однонаправленный волокнистый композит в естественной (а) и повернутой (б) системах координат; различные
модели однонаправленного монослоя (в)

6

такой материал называется гибридным. Важным частным случаем
является двухкомпонентный материал, для которого n = 1. Именно 
такие материалы находят применение в подавляющем большинстве 
реальных конструкций.
Существуют различные математические модели для описания
характеристик монослоя в зависимости от характеристик волокон и
матрицы [5]. В основном эти модели можно разделить на три группы:
– 
модели «осреднения», исходящие из регулярного расположения 
волокон в матрице и их идеальной связи;
– модели, учитывающие свойства границы раздела сред;
– модели, учитывающие статистическое распределение свойств
армирующих волокон, а также нерегулярность их расположения в
слое.
Разные модели обеспечивают расчет разных свойств монослоя с
различной точностью. Так, на основе алгоритмов осреднения могут
быть с большей или меньшей точностью описаны такие интегральные 
характеристики слоя, как его плотность, теплоемкость, жест-
костные свойства, термо- и гигроупругие характеристики, коэффициенты 
диссипации, отчасти — коэффициенты теплопроводности и
некоторые другие величины. Вместе с тем, для описания характеристик 
прочности недостаточно знать только свойства волокон и матрицы 
в идеальном модельном материале; необходим учет и остальных 
перечисленных факторов [6, 7].
Следует иметь в виду, что на стадии проектирования материала,
как правило, отсутствует достоверная информация о свойствах границы 
раздела сред, распределении дефектов в слое и т. п. Кроме того, 
характеристики армирующих волокон, особенно в поперечном
направлении, обычно известны с невысокой точностью. Как правило, 
эти величины не определяются непосредственно, а рассчитываются 
на основании экспериментальных данных, полученных для
однонаправленного слоя. Результат такого пересчета зависит от выбранной 
расчетной модели [8].

7

Исходя из того, что точность описания характеристик слоя ограничивается 
точностью исходной информации, в проектных расчетах 
целесообразно использовать простые расчетные модели, в которых 
свойства слоя полностью определяются свойствами компонентов 
и их объемными соотношениями, а реальный материал с неизвестным 
расположением волокон заменяется неким модельным материалом 
с регулярной структурой. Некоторые примеры таких модельных 
материалов показаны на рис. 1.1, в; соответствующие модели 
описаны в работах [3, 5, 6, 8 – 10]. Для расчета различных
свойств слоя можно применять разные модели; выбор их определяется 
соответствием имеющимся экспериментальным результатам
для каждой характеристики слоя.
Приведенные в настоящей главе результаты расчетов получены 
с помощью разработанной авторами компьютерной программы
Designer of Layers ( c⃝ Институт композитных технологий, 2002
– 2004). Для расчета жесткостных, термоупругих и диссипативных 
характеристик в программе используется простейшая модель,
основанная на гипотезах Фойхта об однородности поля перемещений 
для продольного направления в однонаправленном композите
и Рейсса об однородности поля обобщенных сил для сдвиговых
напряжений и напряжений, нормальных к волокнам [2, 3, 11]:

ε1 = εm1 = ε(i)
f1; ε2 = εm2vm +
ni=1
ε(i)
f2v(i)
f ;

γ12 = γm12vm +
ni=1
γ(i)
f12v(i)
f ;

σ1 = σm1vm +
ni=1
σ(i)
f1v(i)
f ; σ2 = σm2 = σ(i)
f2;

τ12 = τm12 = τ (i)
f12,

(1.1)

где ε1, ε2, γ12 — деформации, а σ1, σ2, τ12 — напряжения в осях
естественной системы координат; здесь и далее величины с индексами «
m» относятся к матрице, а с индексами «f» и «(i)» — к i-му
волокну; если эти индексы отсутствуют — значит речь идет об од-
нонаправленном композите. Символом vm обозначена относительная 
объемная доля матрицы, v(i)
f
— относительная объемная доля
i-го волокна, n — число типов волокон в материале.

8

Для расчета тепло-, электропроводности и диэлектрической
проницаемости применяют более сложную модель армированного 
слоя, учитывающую преимущественное влияние матрицы на
трансверсальную проводимость [8].
Варьируемые параметры проектируемого объекта представляют 
собой относительные объемные доли матрицы vm и каждого из
волокон v(i)
f
(i = 1, 2, . . . , n). Если допускается поворот слоя, к
числу варьируемых параметров добавляют также угол поворота ϕ.
С учетом условия связи

vm +

n
i=1
v(i)
f
= 1
(1.2)

размерность задачи оптимизации (число независимых варьируемых 
параметров) однонаправленного материала в общем случае
при варьировании всех структурных параметров равна числу типов
волокон n, если не разрешается поворот слоя, и n+1, если поворот
слоя возможен.
Важным частным случаем является одномерная задача оптимизации 
характеристик двухкомпонентного однонаправленного материала 
в естественной системе координат. В этом случае возможно
проведение полного исследования задачи методами параметрического 
анализа. Соответствующие примеры для типичных современных 
материалов приводятся при исследовании каждой рассматриваемой 
задачи.
Локальные критерии эффективности — требования к свойствам 
оптимизируемого объекта — выбираются в каждой конкретной 
задаче из общего списка характеристик монослоя. В рамках
данного курса будем рассматривать следующий список свойств:
– жесткостные характеристики (модули упругости и коэффициенты 
Пуассона);
– термоупругие свойства (коэффициенты линейного термического 
расширения (КЛТР) и коэффициенты термических напряжений);


9

– гигромеханические характеристики (коэффициенты линейного 
влажностного расширения (КЛВР) и коэффициенты гигромеха-
нических напряжений);
– плотность;
– скорости распространения волн в однонаправленном материале;
– 
характеристики демпфирования (коэффициенты диссипации
и мощности диссипации);
– коэффициенты теплопроводности;
– удельные электрические сопротивления;
– диэлектрическая проницаемость в продольном и поперечном
направлениях;
– удельная стоимость;
– удельная теплоемкость.
Основные принципы построения расчетных алгоритмов для каждого 
свойства рассмотрены выше. Расчетные алгоритмы будут иллюстрироваться 
графиками исследуемых характеристик, построенными 
для типичных однонаправленных материалов: углепластика,
стеклопластика, органопластика и боропластика. На всех графиках
для большей наглядности объемная доля матрицы изменяется от 10
до 99 %; для реальных композитов возможный диапазон варьирования, 
конечно же, гораздо уже. Использованные для расчетов характеристики 
типичных волокон и матриц приведены в табл. 1.1. Эти
сведения взяты из различных литературных источников.

1.2. Расчет свойств однонаправленного монослоя

1.2.1. Жесткостные характеристики

Однонаправленный монослой в естественной системе координат 
является ортотропным материалом. Его жесткостные свойства
характеризуются четырьмя техническими константами упругости:
– модулем упругости в продольном направлении E1;
– модулем упругости в поперечном направлении E2;
– модулем сдвига G12;
– коэффициентом Пуассона ν12.

10