Сопротивление материалов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Казанский национальный исследовательский 

технологический университет 

 
 
 
 
 
 
 
 

М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев 

 
 

СОПРОТИВЛЕНИЕ 

МАТЕРИАЛОВ 

 

 

Практикум 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Казань 

Издательство КНИТУ 

2022 

УДК 539.3/.6(076) 
ББК 30.121я7

С32

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета  

Казанского национального исследовательского технологического университета 

 

Рецензенты: 

д-р физ.-мат. наук, проф. Р. А. Каюмов 
д-р физ.-мат. наук, проф. Д. В. Бережной 

 
 
 

 
 
 
 
 

 

 
 
 

 
С32 

Серазутдинов М. Н. 
Сопротивление материалов : практикум / М. Н. Серазутдинов, 
М. Н. Убайдуллоев; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. 
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 108 с. 
 
ISBN 978-5-7882-3188-4
 
Изложены краткие теоретические сведения и представлены материалы 

для подготовки и выполнения лабораторных работ по сопротивлению материалов.   

Предназначен для студентов всех направлений подготовки и специаль
ностей, изучающих дисциплину «Сопротивление материалов». 

Подготовлен на кафедре основ конструирования и прикладной меха
ники. 

 

ISBN 978-5-7882-3188-4
© Серазутдинов М. Н.,  

Убайдуллоев М. Н., 2022

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2022

УДК 539.3/.6(076) 
ББК 30.121я7

СОДЕРЖАНИЕ 

 
 

Введение ............................................................................................ 4 

Лабораторная работа 1. Определение модуля упругости 
и коэффициента Пуассона ............................................................... 5 

Лабораторная работа 2. Исследование напряженного 
состояния вала при кручении ........................................................ 16 

Лабораторная работа 3. Определение напряжений 
в сечении балки при чистом изгибе .............................................. 28 

Лабораторная работа 4. Определение касательных 
напряжений в балке при плоском изгибе ..................................... 43 

Лабораторная работа 5. Перемещения балки при плоском 
и косом изгибах ............................................................................... 56 

Лабораторная работа 6. Определение прогибов балки 
на основе эсперимента  и методом Мора ..................................... 68 

Лабораторная работа 7. Исследование напряженного 
состояния в стержне при изгибе с кручением .............................. 78 

Лабораторная работа 8. Исследование потери 
устойчивости сжатого стержня и определение величины 
критической силы ........................................................................... 92 

Литература ..................................................................................... 106 

Приложение. Электротензометрический метод измерения 
деформаций ................................................................................... 107 

 

 
 

В В Е Д Е Н И Е  

Практикум содержит лабораторные работы по дисциплине «Со
противление материалов». Сформулирована цель каждой работы, изложен теоретический материал, знание которого требуется для понимания содержания и выполнения практической части работы и расчетов. 
Приводятся необходимые ведения об экспериментальных установках, 
описан порядок проведения экспериментов и вычислений.  

По каждой теме лабораторной работы представлены многочис
ленные контрольные вопросы, знание ответов на которые позволяет 
освоить основное содержание изучаемого раздела и выявить характерные экспериментальные и теоретические особенности исследуемого 
вопроса. Отметим также, что знание ответов на предложенные контрольные вопросы может служить некоторой основой формирования 
остаточных знаний по дисциплине «Сопротивление материалов».  

Значительная часть практикума посвящена вопросам исследова
ния напряженного состояния и определения перемещений, возникающих в стержнях при различных видах элементарных деформаций и при 
комбинации этих видов, в том числе:  

– исследованию напряженного состояния вала при кручении; 
– определению напряжений в балке при чистом изгибе; 
– определению касательных напряжений при плоском изгибе; 
– определению прогибов балки на основе эксперимента и мето
дом Мора; 

– определению перемещений балки при плоском и косом изгибе. 
Также рассмотрен материал по темам «Модуль упругости и ко
эффициента Пуассона» и «Устойчивость сжатого стержня». 

Для измерения возникающих в стержнях линейных деформаций 

используются датчики омического сопротивления (тензодатчики). 
В работе приводятся краткие теоретические сведения, необходимые 
для понимания физических основ, на основе которых при помощи тензодатчиков можно измерять возникающие при деформировании тел линейные деформации.   

Л а б о р а т о р н а я  р а б о т а  1  

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е  М О Д У Л Я  У П Р У Г О С Т И  

И  К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А  П У А С С О Н А  

Цель работы: определение модуля упругости Е, коэффициента 

Пуассона материала 
 и проведение экспериментальной проверки вы
полнения закона Гука при растяжении стержня. 

 

Краткие теоретические сведения 

 
Диаграмма растяжения и сжатия многих материалов на началь
ном участке имеет прямолинейный участок. На рис. 1.1 показан график 
зависимости нормального напряжения 
 от продольной деформации 

при растяжении и сжатии стержня из пластичного материала. Участок 
АВ этой диаграммы – прямая линия. Следовательно, если возникающие 
в поперечных сечениях стержня нормальные напряжения не превышают предела пропорциональности 
 (
), то справедлив 

закон Гука:  

.                                               (1.1) 

Нормальные напряжения 
 в стержне прямо пропорциональны 

относительной продольной деформации 
.  

 

 

Рис. 1.1. Диаграмма растяжения и сжатия материала 

n

s

п
s
п
п
s
s
s
£
£

e
s
E
=

s

e

Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука (1.1) назы
вают модулем упругости. Модуль упругости для каждого материала 
является величиной постоянной.  

Из формулы (1.1) следует, что  

. 

Следовательно, при одном и том же напряжении 
, чем больше модуль 

упругости 
, тем меньше величина возникающей в материале дефор
мации 
. Получается, что модуль упругости является мерой жестко
сти материала. 

Если при деформировании стержня на участке АВ (см. рис. 1.1) 

известно некоторое значение нормального напряжения 
 и соответ
ствующей этому напряжению деформации 
, то с учетом закона Гука 

для определения модуля упругости можно использовать формулу 

.                                             (1.2) 

При растяжении стержня в его поперечных сечениях возникают 

нормальные напряжения (рис. 1.2)  

,                                          (1.3) 

где 
 – продольная сила в сечении; F – значение растягивающей силы, 

приложенной к образцу; А – площадь поперечного сечения стержня. 
Подставляя (1.3) в (1.2), получим 

.                                            (1.4) 

Рассмотрим растяжение стержня с прямоугольным поперечным 

сечением. Обозначим длину стержня через l, а высоту и ширину поперечного сечения – как 
 и 
.  

На рис.1.3а показан стержень до и после растяжения (сплошная 

и пунктирная линии, соответственно). Как видно из этого рисунка, при 

E
s
e =

s

E

e

s

e

e
s
=
E

A
F

A
N =
=
s

N

e
A
F
E =

b
a

деформировании стержня изменяются его размеры в продольном и поперечном направлениях. Длина стержня увеличивается, а поперечные 
размеры уменьшаются. При сжатии, наоборот, стержень становится короче, а поперечные размеры увеличиваются. 

 

Рис. 1.2. Нормальные напряжения в сечениях растянутого стержня 

 

а 
б 

Рис. 1.3. Стержень до и после деформации (а) и его поперечное сечение (б) 

После растяжения длина стержня станет равной , высота и ши
рина сечения – 
 и 
(см. рис. 1.3). Возникают абсолютная продольная 

деформация 
 и абсолютные поперечные деформации 

, 
. 

Продольная относительная деформация вычисляется по формуле 

.                                                 (1.5) 

Относительные поперечные деформации в направлении сторон 

квадратного поперечного сечения с размерами 
 и 
: 

1l

1b
1a

l
l
l
=
D
1

b
b
b
=
D
1
а
а
а
=
D
1

l
l
D
=
e

b
a

; 
. 

Для изотропных материалов поперечные деформации во всех 

направлениях одинаковы:  

. 

Отношение поперечной деформации 
 к продольной деформа
ции 
, взятое по модулю, называется коэффициентом Пуассона:  

.                                              (1.6) 

Относительные продольные и поперечные деформации связаны 

между собою зависимостью 

.                                             (1.7) 

Величина 
 является постоянной для изотропного материала и 

определяется экспериментально. 

Для различных материалов 
 изменяются в пределах 0
0,5. 

Для большинства конструкционных материалов n = 0,25–0,33, для 
пробки n = 0, для резины n = 0,5. 

Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона 
 называют упру
гими постоянными материала.  

Значения Е и 
 для некоторых материалов приведены в табл. 1.1. 

Величины Е и 
 входят в теоретические соотношения, использу
емые для описания напряженно-деформированного состояния изотропного тела при упругих деформациях.  

При исследовании кручения стержней используется модуль 

сдвига G, который можно вычислить по формуле 

. 

 

b
b

b

D
e
=
¢

а
а

а

D
=
e¢

e
e
e
¢
=
¢
=
¢
b
а

e¢

e

e
e
n
¢
=

e
n
e
=
¢

n

n
£
n
£

n

n
n

)
1(
2
n
+
=
E
G

Таблица 1.1 

Значения модуля упругости и коэффициента Пуассона 

Материал 
Модуль упругости Е, 

105 МПа 

Коэффициент 
Пуассона 
 

Сталь углеродистая 
2,0–2,1 
0,24–0,30 

Алюминиевые сплавы
0,72
0,33

Медь
1,0–1,3
0,31–0,34

Чугун
1,15–1,6
0,23–0,27

Дерево
0,1–0,12
–

Бетон 
0,15–0,23 
0,16–0,18 

Резина 
0,00008 
0,5

Пробка 
– 
0 

 
Экспериментальная установка, используемая для определе
ния модуля упругости и коэффициента Пуассона, показана на рис. 1.4, 
ее схема – на рис. 1.5.  

 

 

Рис. 1.4. Экспериментальная установка 

Стойки 1 и 2 установки прикреплены болтами к основанию 3. 

На стойке 1 закреплен корпус 4 с винтовым нагружающим механизмом, а на стойке 2 – корпус 5 с прорезной пружиной. Между 

n

»
»

нагружающим устройством и корпусом 5 располагается стержень (образец) 6 с наклеенными тензодатчиками 7. Растяжение образца осуществляется вращением штурвала 8. Для измерения величины растягивающей силы служит индикатор 9, который показывает величину перемещения конца рычага 10 прорезной пружины, пропорциональную растягивающей силе. Показания тензодатчиков снимаются с помощью измерителя деформаций 11. 

 

 

Рис. 1.5. Схема экспериментальной установки 

Растяжение образца осуществляется при вращении штурвала 8 по 

часовой стрелке. Значение действующей на образец силы определяется 
по величине деформации упругого элемента (прорезной пружины), который установлен в корпусе 5 правой стойки. 

Прорезная пружина (рис. 1.6) представляет собой стальной тон
костенный цилиндр 1 с массивными крышками 2 и 3. Правая крышка 2 
неподвижно закрепляется в корпусе, а к левой крышке 3 с помощью 
серьги 4 присоединяется испытуемый образец. 

Для уменьшения жесткости пружины в ее цилиндрической части 

сделано несколько рядов взаимно смещенных прорезей 5 (отсюда 
и название «прорезная пружина»). Часовой индикатор 6 замеряет перемещение рычага 7, которое пропорционально величине растяжения 
прорезной пружины. Значение действующей на образец растягивающей силы 
 определяется на основе показаний индикатора по формуле 

,                                             (1.8) 

F

D
k
F =