Цифровая технология тестового контроля по высшей математике. Часть 2

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
А. Р. Хузиахметова, Н. К. Нуриев, Р. Н. Хузиахметова 
ЦИФРОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ  
ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 
Часть 2
Практикум 
Казань 
Издательство КНИТУ 

УДК 517:004(076) 
ББК 22.11:32.97я7 
Х98 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доц. Л. А. Александрова 
канд. пед. наук, доц. Д. А. Чалдаева 
Х98 
Хузиахметова А. Р. 
Цифровая технология тестового контроля по высшей математике: 
в 2 ч. Ч. 2 : практикум / А. Р. Хузиахметова, Н. К. Нуриев, 
Р. Н. Хузиахметова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун.-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2021. – 84 с.  
ISBN 978-5-7882-2945-4 
ISBN 978-5-7882-2973-7 (ч. 2) 
Во второй части практикума представлены тестовые задания, самостоятельные и контрольные работы по комплексным числам, интегральному исчислению функции одной переменной, дифференциальным уравнениям. 
Предназначен для обучающихся первого курса химических направлений 
и специальностей. 
Подготовлен на кафедре высшей математики. 
ISBN 978-5-7882-2973-7 (ч. 2) 
ISBN 978-5-7882-2945-4 
© Хузиахметова А. Р., Нуриев Н. К., 
Хузиахметова Р. Н., 2021 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2021 
УДК 517:004(076) 
ББК 22.11:32.97я7 

.  К О М П Л Е К С Н Ы Е  Ч И С Л А
1 . 1 .  А л г е б р а и ч е с к а я  ф о р м а  з а п и с и
к о м п л е к с н о г о  ч и с л а  
1. Если
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1
z
z
вычисляется как: 
1) 
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
; 
2) 
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
2
2
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
; 
3) 
)
)(
(
)
)(
(
1
1
2
2
1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
; 
4) 
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
+
+
−
+
. 
2. Если 
iy
x
z
+
=
, то 
z
z 
 равно:
1)
;
2
2
y
x −
2) 
;
2
2
y
x +
3) 
;
2
2 y
x 
 4) 
.
2
2
iy
x −
3. Если
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1 z
z 
вычисляется как: 
1) 
);
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
+
+
−
2) 
);
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
+
−
−
3) 
);
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
+
+
+
4) 
).
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
−
+
−
4. Если
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1
z
z +
вычисляется как: 
1)
);
(
)
(
2
1
2
1
y
y
i
x
x
+
+
+
2)
);
(
)
(
2
1
2
1
y
y
i
x
x
+
−
+
3)
);
(
)
(
2
1
2
1
y
y
i
x
x
−
−

4) нет правильного ответа. 
5. Из правил действий над комплексными числами следует, что в 
результате операций сложения и вычитания получается снова: 
1) комплексное число; 
2) только натуральное число; 
3) только действительное число; 
4) нет правильного ответа. 
 
6. Из правил действий над комплексными числами следует, что в 
результате операций умножения и деления получается снова: 
1) комплексное число; 
2) только натуральное число; 
3) только действительное число; 
4) нет правильного ответа. 
 
7. Если 
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1
z
z −
 равен: 
1) 
;
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
y
y
x
x
−
+
−
 
2) 
;
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
y
y
x
x
+
+
+
 
3) 
;
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
y
y
x
x
−
−
−
  
4) 
.
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
y
y
x
x
+
−
+
 
 
8. Точкам плоскости комплексной переменной
iy
x
z
+
=
, лежащим на оси 
,
Ox  соответствуют: 
1) действительные числа; 
2) чисто мнимые числа; 
3) число, сопряженное данному; 
4) число, обратное данному. 
 
9. Точкам плоскости комплексной переменной
iy
x
z
+
=
, лежащим на оси 
,
Oy  соответствуют: 
1) действительные числа; 
2) чисто мнимые числа; 
3) число, сопряженное данному; 
4) число, обратное данному.  

 
10. Каждой точке плоскости 
,
(
y
x
M
 соответствует комплексное 
число вида: 
1) 
iy
x
z
+
=
; 
2) 
ix
y
z
+
=
; 
3) 
ix
y
z
−
=
; 
4) 
)
(
y
x
i
z
+
=
. 
1 . 2 .  Т р и г о н о м е т р и ч е с к а я  и  п о к а з а т е л ь н а я  
ф о р м ы  з а п и с и  к о м п л е к с н о г о  ч и с л а  
1. Формула Эйлера, выражающая показательную функцию с 
мнимым показателем через тригонометрические функции, имеет вид: 
1) 



cos
sin
i
ei
+
=
; 
2) 



cos
sin
i
ei
−
=
; 
3) 



sin
cos
i
ei
+
=
; 
4) 



sin
cos
i
ei
−
=
. 
 
2. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
 
для случая 
,0

x
 
0

y
определяется как: 
1) 

+
x
y
arctg
; 
2) 
x
y
arctg
; 
3) 

2
+
y
x
arctg
; 
4) 
y
x
arctg
. 
3. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
 
для случая 
,0
=
x
 
0

y
 определяется как: 

1) ; 2) 2
; 3) 

2
+
y
x
arctg
; 4) 
y
x
arctg
. 
 
4. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
 
для случая 
,0

x
 
0

y
 определяется как: 
1) 

+
x
y
arctg
; 2)
x
y
arctg
; 3) 

2
+
y
x
arctg
; 4)
y
x
arctg
. 
 
5. Для комплексного числа 

i
re
z =
 определить 5 z : 
1) 
,
5
2
5
5
k
i
e
r
z

+
=
;5,1
=
k
 
2) 
,
5
5
k
i
re
z

+
=
4,1
=
k
; 
3) 
,
5
2
5
5
k
i
e
r
z

+
=
5,0
=
k
; 
4) 
,
5
2
5
5
k
i
e
r
z

+
=
4
,0
=
k
. 
 
6. Для комплексного числа 

i
re
z =
 определить 
nz : 
1) 
nz = 

in
ne
r
; 
2) 
nz = 
n
i
ne
r
+

; 
3) 
nz = 

in
re
; 
4) 
nz = 

i
ne
r
. 
 
7. Для комплексного числа 
)
sin
(cos


i
r
z
+
=
 при 
1
=
r
справедливо соотношение: 
1) 
n
i
)
sin
(cos

+
= 
)
sin
cos
(


in
n
+
; 
2) 
n
i
)
sin
(cos

+
= 
);
sin
(cos


n
i
n +
 
3) 
n
i
)
sin
(cos

+
= 
);
sin
(cos


ni
+
 
4) 
n
i
)
sin
(cos

+
=
).
sin
(cos


n
i
n
n
+
 
8. Если 
)
sin
(cos


i
r
z
+
=
= 
iy
x +
, то: 

;
2
y
x
r
+
=
 
2) 
;
2
2
y
x
r
−
=
 
3) 
;y
x
r
+
=
 
4) 
.
y
x
r
−
=
 
 
9. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
определяется как 

2
+
x
y
arctg
. Тогда: 
1) 
0
,0


y
x
; 
2) 
0
,0


y
x
; 
3) 
0
,0


y
x
;  
4) 
0
,0
=

y
x
. 
 
10. Если 
)
sin
(cos
1
1
1
1


i
r
z
+
=
, 
)
sin
(cos
2
2
2
2


i
r
z
+
=
, то 
2
1 z
z 
 вычисляется как: 
1) 
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




+
+
+

i
r
r
; 
2) 
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




+
+
−

i
r
r
; 
3) 
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




−
+
+

i
r
r
; 
4) 
)).
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




−
+
−

i
r
r
; 
 
Самостоятельная работа 
1. Решить уравнение
0
1
4
=
−
x
. 
2. Найти все значения кубического корня из единицы, изобразить 
на комплексной плоскости. 
3. Решить уравнение 
0
4
2
=
+
+ z
z
. Корни изобразить на комплексной плоскости. 
4. Привести к тригонометрическому виду выражение 
i
+
1
.  
5. Найти 
i
i
4
5
3
−

АВС-трудоемкость (сложность) задач: 
Номер задачи 
Трудоемкость, мин/раб 
1 
1 
2 
2 
3 
1 
4 
1 
5 
1 
Сумма 
6 
 
Вариант теста на полноту и целостность усвоенных знаний 
по теме «Комплексные числа» 
1. Если 
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1
z
z
вычисляется как: 
1) 
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
; 
2) 
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
2
2
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
; 
3) 
)
)(
(
)
)(
(
1
1
2
2
1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
; 
4) 
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
+
+
−
+
. 
 
2. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
 
для случая 
,0

x
 
0

y
определяется как: 
1) 

+
x
y
arctg
; 
2) 
x
y
arctg
; 
3) 

2
+
y
arctg

y
x
arctg
. 
3. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
для случая 
,0

x
, 
0

y
определяется как: 
1) 

+
x
y
arctg
; 
2) 
x
y
arctg
; 
3) 

2
+
y
x
arctg
; 
4) 
y
x
arctg
. 
4. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=
для случая 
,0

x
 
0
=
y
 определяется как: 
1) ; 2) 2
; 3) 

2
+
y
x
arctg
; 4) 0.
5. Если 
i
z
+
= 5
, то 
z
z 
 равно:
1) –26; 2) 26; 3) 24; 4) –24.
6. Для комплексного числа 
i
z
−
=1
 главное значение 
z
arg
равно: 
1)
;
4
7
2)
;
4
3
3)
;
4

−
4)
.
4
5
7. Алгебраическая форма комплексного числа
4
3
5

ie
z =
имеет вид:
1) 
2
2
5
2
2
5
i
−
; 
2) 
2
2
5
2
2
5
i
−
−