Цифровая технология тестового контроля по высшей математике. Часть 2

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Казанский национальный исследовательский

технологический университет

А. Р. Хузиахметова, Н. К. Нуриев, Р. Н. Хузиахметова

ЦИФРОВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ 

ТЕСТОВОГО КОНТРОЛЯ 

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 

Часть 2

Практикум

Казань

Издательство КНИТУ

2021

УДК 517:004(076)
ББК 22.11:32.97я7

Х98

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. Л. А. Александрова 

канд. пед. наук, доц. Д. А. Чалдаева

Х98

Хузиахметова А. Р. 
Цифровая технология тестового контроля по высшей математике: 
в 2 ч. Ч. 2 : практикум / А. Р. Хузиахметова, Н. К. Нуриев, 
Р. Н. Хузиахметова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун.-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2021. – 84 с. 

ISBN 978-5-7882-2945-4
ISBN 978-5-7882-2973-7 (ч. 2)

Во второй части практикума представлены тестовые задания, самосто
ятельные и контрольные работы по комплексным числам, интегральному исчислению функции одной переменной, дифференциальным уравнениям.

Предназначен для обучающихся первого курса химических направлений 

и специальностей.

Подготовлен на кафедре высшей математики.

ISBN 978-5-7882-2973-7 (ч. 2)
ISBN 978-5-7882-2945-4

© Хузиахметова А. Р., Нуриев Н. К., 

Хузиахметова Р. Н., 2021

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2021

УДК 517:004(076)
ББК 22.11:32.97я7

2

1 .  К О М П Л Е К С Н Ы Е  Ч И С Л А

1 . 1 .
А л г е б р а и ч е с к а я  ф о р м а  з а п и с и

к о м п л е к с н о г о  ч и с л а

1. Если
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 

2

1
z
z
вычисляется как:

1)
)
)(
(
)
)(
(

2
2
2
2

1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
;

2)
)
)(
(
)
)(
(

2
2
2
2

2
2
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
;

3)
)
)(
(
)
)(
(

1
1
2
2

1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
;

4)
)
)(
(
)
)(
(

2
2
2
2

1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
+
+
−
+
.

2. Если 
iy
x
z
+
=
, то 
z
z 
равно:

1)
;
2
2
y
x −
2) 
;
2
2
y
x +
3) 
;
2
2 y
x 
4) 
.
2
2
iy
x −

3. Если
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1 z
z 
вычисляется как:

1)
);
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
+
+
−

2)
);
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
+
−
−

3)
);
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
+
+
+

4)
).
(
1
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
−
+
−

4. Если
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1
z
z +
вычисляется как:

1)
);
(
)
(
2
1
2
1
y
y
i
x
x
+
+
+

2)
);
(
)
(
2
1
2
1
y
y
i
x
x
+
−
+

3)
);
(
)
(
2
1
2
1
y
y
i
x
x
−
+
−

4) нет правильного ответа.
5. Из правил действий над комплексными числами следует, что в 

результате операций сложения и вычитания получается снова:

1) комплексное число;
2) только натуральное число;
3) только действительное число;
4) нет правильного ответа.

6. Из правил действий над комплексными числами следует, что в 

результате операций умножения и деления получается снова:

1) комплексное число;
2) только натуральное число;
3) только действительное число;
4) нет правильного ответа.

7. Если 
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 
2
1
z
z −
равен:

1)
;
)
(
)
(
2

2
1

2

2
1
y
y
x
x
−
+
−

2)
;
)
(
)
(
2

2
1

2

2
1
y
y
x
x
+
+
+

3)
;
)
(
)
(
2

2
1

2

2
1
y
y
x
x
−
−
−

4)
.
)
(
)
(
2

2
1

2

2
1
y
y
x
x
+
−
+

8. Точкам плоскости комплексной переменной
iy
x
z
+
=
, лежа
щим на оси 
,
Ox соответствуют:

1) действительные числа;
2) чисто мнимые числа;
3) число, сопряженное данному;
4) число, обратное данному.

9. Точкам плоскости комплексной переменной
iy
x
z
+
=
, лежа
щим на оси 
,
Oy соответствуют:

1) действительные числа;
2) чисто мнимые числа;
3) число, сопряженное данному;
4) число, обратное данному. 

10. Каждой точке плоскости 
)
,
(
y
x
M
соответствует комплексное 

число вида:

1)
iy
x
z
+
=
;

2)
ix
y
z
+
=
;

3)
ix
y
z
−
=
;

4)
)
(
y
x
i
z
+
=
.

1 . 2 .  Т р и г о н о м е т р и ч е с к а я  и  п о к а з а т е л ь н а я  

ф о р м ы  з а п и с и  к о м п л е к с н о г о  ч и с л а

1. Формула Эйлера, выражающая показательную функцию с 

мнимым показателем через тригонометрические функции, имеет вид:

1)



cos
sin
i
ei
+
=
;

2)



cos
sin
i
ei
−
=
;

3)



sin
cos
i
ei
+
=
;

4)



sin
cos
i
ei
−
=
.

2. Главное значение аргумента комплексного числа
iy
x
z
+
=

для случая 
0
,0


y
x
0
,0


y
x
определяется как:

1)

+
x
y
arctg
;

2)
x
y
arctg
;

3)

2
+
y
x
arctg
;

4)
y
x
arctg
.

3. Главное значение аргумента комплексного числа
iy
x
z
+
=

для случая 
0
,0

=
y
x
0
,0

=
y
x
определяется как:

1)  ; 2) 2
 ; 3) 

2
+
y
x
arctg
; 4)
y
x
arctg
.

4. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=

для случая 
0
,0


y
x
0
,0


y
x
определяется как:

1)

+
x
y
arctg
; 2)
x
y
arctg
; 3) 

2
+
y
x
arctg
; 4)
y
x
arctg
.

5. Для комплексного числа 

i
re
z =
определить 5 z :

1)
,
5
2

5
5

k
i
e
r
z


+

=
;5,1
=
k

2)
,
5
5

k
i

re
z


+

=
4,1
=
k
;

3)
,
5
2

5
5

k
i
e
r
z


+

=
5,0
=
k
;

4)
,
5
2

5
5

k
i
e
r
z


+

=
4
,0
=
k
.

6. Для комплексного числа 

i
re
z =
определить 
nz :

1)
nz = 

in
ne
r
;

2)
nz = 
n
i
ne
r
+

;

3)
nz = 

in
re
;

4)
nz = 

i
ne
r
.

7. Для комплексного числа 
)
sin
(cos


i
r
z
+
=
при 
1
=
r
спра
ведливо соотношение:

1)
n
i
)
sin
(cos

 +
= 
)
sin
cos
(


in
n
+
;

2)
n
i
)
sin
(cos

 +
= 
);
sin
(cos


n
i
n +

3)
n
i
)
sin
(cos

 +
= 
);
sin
(cos


ni
+

4)
n
i
)
sin
(cos

 +
=
).
sin
(cos


n
i
n
n
+

8. Если 
)
sin
(cos


i
r
z
+
=
= 
iy
x +
, то:

1)
;
2
2
y
x
r
+
=

2)
;
2
2
y
x
r
−
=

3)
;y
x
r
+
=

4)
.
y
x
r
−
=

9. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=

определяется как 

2
+
x
y
arctg
. Тогда:

1)
0
,0


y
x
;

2)
0
,0


y
x
;

3)
0
,0


y
x
; 

4)
0
,0
=

y
x
.

10. Если 
)
sin
(cos
1
1
1
1


i
r
z
+
=
, 
)
sin
(cos
2
2
2
2


i
r
z
+
=
, то 

2
1 z
z 
вычисляется как:

1)
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




+
+
+

i
r
r
;

2)
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




+
+
−

i
r
r
;

3)
))
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




−
+
+

i
r
r
;

4)
)).
sin(
)
(cos(
2
1
2
1
2
1




−
+
−

i
r
r
;

Самостоятельная работа

1. Решить уравнение
0
1
4
=
−
x
.

2. Найти все значения кубического корня из единицы, изобразить 

на комплексной плоскости.

3. Решить уравнение 
0
4
2
=
+
+ z
z
. Корни изобразить на ком
плексной плоскости.

4. Привести к тригонометрическому виду выражение 
i
+
1
.

5. Найти 
i
i
4
5
3
+
−
.

АВС-трудоемкость (сложность) задач:

Номер задачи
Трудоемкость, мин/раб

1
1

2
2

3
1

4
1

5
1

Сумма
6

Вариант теста на полноту и целостность усвоенных знаний 

по теме «Комплексные числа»

1. Если 
1
1
1
iy
x
z
+
=
, 
2
2
2
iy
x
z
+
=
, то 

2

1
z
z
вычисляется как:

1)
)
)(
(
)
)(
(

2
2
2
2

1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
;

2)
)
)(
(
)
)(
(

2
2
2
2

2
2
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
;

3)
)
)(
(
)
)(
(

1
1
2
2

1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
−
+
−
+
;

4)
)
)(
(
)
)(
(

2
2
2
2

1
1
1
1
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
+
+
−
+
.

2. Главное значение аргумента комплексного числа
iy
x
z
+
=

для случая 
0
,0


y
x
0
,0


y
x
определяется как:

1)

+
x
y
arctg
;

2)
x
y
arctg
;

3)

2
+
y
x
arctg
;

4)
y
x
arctg
.

3. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=

для случая 
0
,0


y
x
, 
0
,0


y
x
определяется как:

1)

+
x
y
arctg
;

2)
x
y
arctg
;

3)

2
+
y
x
arctg
;

4)
y
x
arctg
.

4. Главное значение аргумента комплексного числа 
iy
x
z
+
=

для случая 
0
,0
=

y
x
0
,0
=

y
x
определяется как:

1)  ; 2) 2
 ; 3) 

2
+
y
x
arctg
; 4) 0.

5. Если 
i
z
+
= 5
, то 
z
z 
равно:

1) –26; 2) 26; 3) 24; 4) –24.

6. Для комплексного числа 
i
z
−
=1
главное значение 
z
arg

равно:

1)
;
4
7
2)
;
4
3
3)
;
4

−
4)
.
4
5

7. Алгебраическая форма комплексного числа
4
3
5


ie
z =
имеет вид:

1)
2
2
5
2
2
5
i
−
;

2)
2
2
5
2
2
5
i
−
−
;