Математика для иностранных студентов подготовительных отделений вузов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Казанский национальный исследовательский

технологический университет

Р. Н. Хузиахметова, О. М. Дегтярева

МАТЕМАТИКА 

ДЛЯ ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ 

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ 

ОТДЕЛЕНИЙ ВУЗОВ

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2022

УДК 51(075)
ББК 22.1я7

Х98

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доц. О. Е. Тихонов
канд. техн. наук, доц. Л. А. Александрова

Х98

Хузиахметова Р. Н. 
Математика для иностранных студентов подготовительных отделений вузов : учебно-методическое пособие / Р. Н. Хузиахметова, 
О. М. Дегтярева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. 
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 92 с.

ISBN 978-5-7882-3173-0

Содержит краткие теоретические сведения, примеры, тестовые задания 

для проверки уровня усвоения материала по линейной и векторной алгебре.

Предназначено для студентов-иностранцев подготовительного отделе
ния факультета международных образовательных программ технологического направления, изучающих математику.

Подготовлено на кафедре русского языка как иностранного в профес
сиональной коммуникации.

ISBN 978-5-7882-3173-0
© Хузиахметова Р. Н., Дегтярева О. М., 2022
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2022

УДК 51(075)
ББК 22.1я7

2

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение..................................................................................................................4

Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ..................................................................5

1.1. Дроби ...........................................................................................................5

1.2. Арифметические действия .........................................................................6

1.3. Возведение в целую положительную степень n, извлечение 
корня n-й степени.............................................................................................10

Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................13

2.1. Действия с матрицами..............................................................................13

2.2. Определители ............................................................................................22

2.3. Системы линейных алгебраических уравнений.....................................33

2.3.1. Метод Крамера...................................................................................35

2.3.2. Матричный способ решения систем линейных алгебраических 
уравнений.....................................................................................................40

2.3.3. Метод Гаусса......................................................................................44

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ...............................................52

3.1. Основные понятия. Линейные операции над векторами.......................52

3.2. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки ......55

3.3. Скалярное произведение векторов..........................................................65

3.4. Векторное произведение векторов ..........................................................72

3.5. Смешанное произведение векторов ........................................................80

Контрольная работа по теме «Векторная алгебра».......................................89

Библиографический список.................................................................................90

В В Е Д Е Н И Е

Основной целью освоения дисциплины «Математика» на подго
товительном отделении факультета международных образовательных 
программ является приобретение запаса математических знаний, конкретных сведений, определенных умений и навыков на русском языке. 

Пособие разработано с учетом специфики обучения иностран
ных студентов, принципа преемственности в обучении на подготовительном отделении и на первых курсах высших учебных заведений. 
Материал пособия помогает усвоить иностранным гражданам содержание профессиональных образовательных программ на русском языке для технического и экономического профилей, а также для специальности «Лечебное дело». Рассматриваемые разделы: линейная 
и векторная алгебра. В каждом из разделов дается необходимый теоретический материал, предлагаются математические тексты для активизации лексического запаса студентов, тесты на проверку целостности полученных знаний. В пособии материал, необходимый для освоения, дан в сжатой форме. Для облегчения усвоения теория сопровождается практическими заданиями с решениями и комментариями на 
русском языке, а наиболее часто используемые термины – на английском. Сочетание знаково-цифрового и лексического материала на первых занятиях позволяет скоординировать обучение математике и русскому языку.

Пособие содержит примеры, иллюстрирующие основные мате
матические понятия и термины. Рассматриваются упражнения на отработку математической лексики и на получение и закрепление необходимых вычислительных навыков.

Содержание учебного пособия, созданного для методического 

обеспечения обучения математике студентов-иностранцев, соответствует программе курса «Математика» на подготовительных факультетах для иностранных граждан, способствует быстрому и надежному 
вхождению в разделы дисциплины «Математика» на первом курсе 
высших учебных заведений. 

Г л а в а  1 .  Ч И С Л О В Ы Е  В Ы Р А Ж Е Н И Я

1 . 1 . Д р о б и

Обыкновенные дроби.
−
q
p
обыкновенная дробь: p – числитель, 

q – знаменатель.

Например: 2

1 – одна вторая, 3

1 – одна третья, 4

1 – одна четвертая, 

5
1 – одна пятая,

10
1 – одна десятая; 3

2 – две третьих, 3

4 – четыре тре
тьих, 3

5 – пять третьих,

3
10 – десять третьих; 4

3
– три четвертых,

−
4
10
десять четвертых; 
−
5
2
две пятых, 5

4 – четыре пятых,
−
5
9
де
вять пятых; 
−
6
5
пять шестых,
−
6
11
одиннадцать шестых; 7

2 – две седь
мых; 7

4 – четыре седьмых, 7

5 – пять седьмых,

7
10 – десять седьмых.

Десятичные дроби. Например: 0,1 – ноль целых одна десятая, 

0,01 – ноль целых одна сотая, 0,001 – ноль целых одна тысячная, 
0,0001 – ноль целых одна десятитысячная. 1,2 – одна целая две десятых, 1,3 – одна целая три десятых, 1,9 – одна целая девять десятых. 
1,02 – одна целая две сотых, 1,03 – одна целая три сотых, 1,09 – одна 
целая девять сотых. 1,002 – одна целая две тысячных, 1,003 – одна целая три тысячных, 1,008 – одна целая восемь тысячных, 1,009 – одна 
целая девять тысячных. 3,2 – три целых две десятых, 8,4 – восемь целых четыре десятых, 12,5 – двенадцать целых пять десятых, –7,9 – минус семь целых девять десятых, 0,15 – ноль целых пятнадцать сотых, 
3,44 – три целых сорок четыре сотых, –6,75 – минус шесть целых 
семьдесят пять сотых, –10,125 – минус десять целых сто двадцать пять
тысячных, –0,134 – минус ноль целых сто тридцать четыре тысячных, 
15,15 – пятнадцать целых пятнадцать сотых, –725,123 – минус семьсот 
двадцать пять целых сто двадцать три тысячных.

Задачи и упражнения

1. Прочитать: 

а) 
,

9
4

7
8 , 6

5 , 8

7 ,
,
7
1
−
,
5
3
−
,
4
1
,
3
4
−
,
7
2
.
10
6
,
5
2
,
3
1 −
−

б) 0.2, –0.35, –2.7, 8.7, –10.12, –3.26, 4.5, –7.015, 131.65, 4.23, 199.155,
–124.56, –481.032, 87.13, 103.45, –65.67, 88.08, –9.876, –34.103, 10.001, 
17.2, –8.45, –60.97, 2.39, –1.105, 23.401, –5.12, 30.035, 0.648, 70.056,
–2,345, 84.065, –85.003, 205.01, –70.065, 90.678, −34.7, −70.15, 125.03,
56.15, −124.421, 123.321, −13.31.

2. Продолжить:

а) 

20
19
,...,
12
11
,
11
10
,...,
4
3
,
3
2
,
2
1
, 21
20 ,
.
31
30
,...,
23
22
,
22
21

б) 
,
26
27
,
27
28
,
28
29
…,
.
2
3
,...,
9
10
,
10
11
,...,
17
18
,
18
19

в) 0.2, 1.3, 2.4, …, 10.12, 11.13, 12.14, …, 20.22.
г) 1.02, 2.03, 3.04, 4.05, 5.06, …, 8.09, 9.1, 10.11, 11.12, …, 20.21.
д) 19.021, 18.020, 17.019, …, 11.009, 10.008, 9.007, 8.006, …, 3.001.
е) 2.3, −3.4, 4.5, −5.6, 6.7, −7.8, 8.9, …, 12.13, −13.14, 14.15, …, 20.21, 
−21.22, 22.23, …, −29.3, 30.31.
ж) 0.2, 0.02, 0.002; 1.25, 1.025; 2.4, 2.04, 2.004; 3.5, 3.05, 3.005.

1 . 2 .  А р и ф м е т и ч е с к и е  д е й с т в и я

Основные символы и операции

Знак (символ)
Название знака
Операция

+
Плюс
Сложение

–
Минус
Вычитание

• х
Точка, крест
Умножение

: /
Двоеточие, черта
деление

= 
Равно


Плюс или минус

Арифметические действия

Запись
Чтение
Действие
Результат
Компоненты

a+b=с
a плюс b 
равно с

Сложение
с – сумма
а 
–
первое 

слагаемое, b –
второе слагаемое

а –
b=с

a минус b 

равно с 

Вычитание
с – разность 
а– уменьшаемое, b – вычитаемое

a•b=c
a умножить на b
равно с

Произведение
с – произве
дение

а – первый 
множитель, 
b – второй 
множитель

a : 
b=с

b
a =с

a / b=с

a деленное на b
равно с 

Частное,
отношение

с – частное
а – делимое, 
b – делитель

Основные обозначения

Запись 
Чтение

( ) 
Круглые скобки

(a)
a в круглых скобках

[ ]
Квадратные скобки

[a]
a в квадратных скобках

{ }
Фигурные скобки

{a}
а в фигурных скобках

№
Номер

Выражения и неравенства

Запись
Чтение

1
2

cd
ab
ab, деленное на cd

a(b + c)
a, скобка открывается, b плюс c, скобка 
закрывается, a умножить на сумму b и c

1
2

а = b
a равно b

a ≠ b
a не равно b

a ≈ b
a приблизительно равно b

a > b
a больше b

a < b
a меньше b

a ≤ b
a меньше или равно b; a не больше b

a ≥ b
a больше или равно b; a не меньше b

Арифметические действия:

7 + 8 = 15 – семь плюс восемь равно пятнадцать;
6 – 12 = – 6 – шесть минус двенадцать равно минус шесть;
– 1 + 7 = 6 – минус один плюс семь равно шесть;
2 – 15 = – 13 – два минус пятнадцать равно минус тринадцать;

11
1

11

6
7

8
3
−
=
−
=
+
−

+
– три плюс восемь разделить на минус семь плюс 

шесть равно одиннадцать разделить на минус один равно минус одиннадцать;

1
2
2

10
12

5
3
=
=
−
+
−
– минус три плюс пять разделить на двенадцать минус 

десять равно два разделить на два равно один;

2
10
20

1
9

6
14
=
=
+
+
– четырнадцать плюс шесть разделить на девять 

плюс один равно двадцать разделить на десять равно два;

2
3
6

5
8

7
13
=
−
−
=
+
−

+
−
– минус тринадцать плюс семь разделить на ми
нус восемь плюс пять равно минус шесть разделить на минус три равно два;

5
2
10

1
1

5
15
=
=
+
−
– пятнадцать минус пять разделить на один плюс 

один равно десять разделить на два равно пять;
(15 – 1) · (7+3) = 14 · 10 = 140 – в скобках пятнадцать минус один 
умножить на в скобках семь плюс три равно четырнадцать умножить 
на десять равно сто сорок; 

(10 – 5) · (2+3) = 5 · 5 = 25 – в скобках десять минус пять умножить на 
в скобках два плюс три равно пять умножить на пять равно двадцать 
пять;
(– 13+3) · (10 – 4) = – 10 · 6 = – 60 – в скобках минус тринадцать плюс 
три умножить на в скобках десять минус четыре равно минус десять 
умножить на шесть равно минус шестьдесят;
(14+1) · (15 – 13) = 15 · 2 = 30 – в скобках четырнадцать плюс один 
умножить на в скобках пятнадцать минус тринадцать равно пятнадцать умножить на два равно тридцать;
(15 – 5) · (7+3) = 10 · 10 = 100 – в скобках пятнадцать минус пять 
умножить на в скобках семь плюс три равно десять умножить на десять равно сто. 

Задачи и упражнения

1. Прочитать:

Считалка: 
2 12 46
48 3 06
33 1 102
8 30 32

Марш:
18 17 18 16
115 13 3006
90 17 90 16
240 110 526

Есенин:
14 126 14
132 17 43
6 42 511
704 83

170 16 39
514 700 142
612 349
7 114 02

Пушкин:
17 30 48
140 10 01
126 138
140 3 501

Маяковский:
2 46 38 1 
116 14 20 
15 14 21 
14 0 17

Веселый стих:
2 15 42
42 15
37 08 5
20 20 20

Грустный стих:
511 16
5 20 337
712 19
2000047

Импровизация:
3 4 2 1
46 17
300 10 900
57 16

2. Вычислить:

1)

10
13

5
4
+
+
−
; 2) 

11
21

5
8
−
+
−
; 3)
6
12

5
15

+
+
; 4) 
13
2

15
18

−

+
−
; 5) 0.05+3.15;

6) − 2.35 – 7.005; 7) (5.2 + 7.67)/2; 8) (− 4.77 – 8.23)(6.25+3.75); 
9) (5.44 + 6.32)/(−3.33 + 1.33); 10) (3.145 + 6.855)(−5.35 – 0.35).

1 . 3 .  В о з в е д е н и е  в  ц е л у ю  п о л о ж и т е л ь н у ю  
с т е п е н ь  n ,  и з в л е ч е н и е  к о р н я  n - й  с т е п е н и

Запись
Чтение
Действие
Результат
Компоненты

c
a p =
а в степени р равно с

Возведение 
в степень

Степень
а – основание, р – степень

c
a
a
n
m

n
m
=
=

Корень 
степени n 
из а в 
степени m 
равно с
а в степени m разделить на
n равно с 

Извлечение 
корня степени n из а
в степени 

m

Корень
n – показатель корня,
– под
коренное 
выражение

Слова и словосочетания:
– основание степени − base;
– показатель степени – exponent; 
– возведение в степень − exponentiation; 
– а в квадрате − the square of а OR а squared;
– а в кубе − the cube of а OR а cubed;
– а в четвертой степени − а raised to the power of 4 OR а raised to 

the 4th power OR the 4th power of а OR а to the 4th power OR а to the 4th; 

– а в пятой степени − а raised to the power of 5 OR а raised to 

the 5th power OR the 5th power of а OR а to the 5th power OR а to the 5th;

– извлечение корня − root extraction;
– корень квадратный из а − square root of a;
– корень кубический из а − cube root of a;
– корень четвертой степени из а − 4th root of a;
– корень пятой степени из а − 5th root of a;
– степени с одинаковым основанием – have the same base;
– сумма (разность) показателей степени – sum (difference) of 

exponents.

Выражение 3∙3 – произведение двух одинаковых множителей. 

Его можно записать как 32 (три в степени два, или три во второй степени, или три в квадрате).