Математика для иностранных студентов подготовительных отделений вузов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Р. Н. Хузиахметова, О. М. Дегтярева 
МАТЕМАТИКА 
ДЛЯ ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ 
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ 
ОТДЕЛЕНИЙ ВУЗОВ
Учебно-методическое пособие
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 51(075) 
ББК 22.1я7 
Х98 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. О. Е. Тихонов 
канд. техн. наук, доц. Л. А. Александрова 
Х98 
Хузиахметова Р. Н. 
Математика для иностранных студентов подготовительных отделений вузов : учебно-методическое пособие / Р. Н. Хузиахметова, 
О. М. Дегтярева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. 
ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 92 с. 
ISBN 978-5-7882-3173-0 
Содержит краткие теоретические сведения, примеры, тестовые задания 
для проверки уровня усвоения материала по линейной и векторной алгебре. 
Предназначено для студентов-иностранцев подготовительного отделения факультета международных образовательных программ технологического направления, изучающих математику. 
Подготовлено на кафедре русского языка как иностранного в профессиональной коммуникации. 
ISBN 978-5-7882-3173-0 
© Хузиахметова Р. Н., Дегтярева О. М., 2022 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 
УДК 51(075) 
ББК 22.1я7 
2

С О Д Е Р Ж А Н И Е
Введение.................................................................................................................. 4 
Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ .................................................................. 5 
1.1. Дроби ........................................................................................................... 5 
1.2. Арифметические действия ......................................................................... 6 
1.3. Возведение в целую положительную степень n, извлечение 
корня n-й степени ............................................................................................. 10 
Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................ 13 
2.1. Действия с матрицами .............................................................................. 13 
2.2. Определители ............................................................................................ 22 
2.3. Системы линейных алгебраических уравнений ..................................... 33 
2.3.1. Метод Крамера ................................................................................... 35 
2.3.2. Матричный способ решения систем линейных алгебраических 
уравнений ..................................................................................................... 40 
2.3.3. Метод Гаусса ...................................................................................... 44 
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ............................................... 52 
3.1. Основные понятия. Линейные операции над векторами....................... 52 
3.2. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки ...... 55 
3.3. Скалярное произведение векторов .......................................................... 65 
3.4. Векторное произведение векторов .......................................................... 72 
3.5. Смешанное произведение векторов ........................................................ 80 
Контрольная работа по теме «Векторная алгебра» ....................................... 89 
Библиографический список ................................................................................. 90 

В В Е Д Е Н И Е  
Основной целью освоения дисциплины «Математика» на подготовительном отделении факультета международных образовательных 
программ является приобретение запаса математических знаний, конкретных сведений, определенных умений и навыков на русском языке.  
Пособие разработано с учетом специфики обучения иностранных студентов, принципа преемственности в обучении на подготовительном отделении и на первых курсах высших учебных заведений. 
Материал пособия помогает усвоить иностранным гражданам содержание профессиональных образовательных программ на русском языке для технического и экономического профилей, а также для специальности «Лечебное дело». Рассматриваемые разделы: линейная 
и векторная алгебра. В каждом из разделов дается необходимый теоретический материал, предлагаются математические тексты для активизации лексического запаса студентов, тесты на проверку целостности полученных знаний. В пособии материал, необходимый для освоения, дан в сжатой форме. Для облегчения усвоения теория сопровождается практическими заданиями с решениями и комментариями на 
русском языке, а наиболее часто используемые термины – на английском. Сочетание знаково-цифрового и лексического материала на первых занятиях позволяет скоординировать обучение математике и русскому языку. 
Пособие содержит примеры, иллюстрирующие основные математические понятия и термины. Рассматриваются упражнения на отработку математической лексики и на получение и закрепление необходимых вычислительных навыков. 
Содержание учебного пособия, созданного для методического 
обеспечения обучения математике студентов-иностранцев, соответствует программе курса «Математика» на подготовительных факультетах для иностранных граждан, способствует быстрому и надежному 
вхождению в разделы дисциплины «Математика» на первом курсе 
высших учебных заведений.  

Г л а в а  1 .  Ч И С Л О В Ы Е  В Ы Р А Ж Е Н И Я  
1 . 1 .  Д р о б и  
Обыкновенные дроби. 
−
q
p
обыкновенная дробь: p – числитель, 
q – знаменатель. 
Например: 2
1  – одна вторая, 3
1  – одна третья, 4
1  – одна четвертая, 
5
1 – одна пятая, 
10
1 – одна десятая; 3
2  – две третьих, 3
4  – четыре третьих, 3
5 – пять третьих, 
3
10 – десять третьих; 4
3  – три четвертых, 
−
4
10
десять четвертых; 
−
5
2
 две пятых, 5
4  – четыре пятых, 
−
5
9
 девять пятых; 
−
6
5
пять шестых, 
−
6
11
 одиннадцать шестых; 7
2  – две седьмых; 7
4  – четыре седьмых, 7
5  – пять седьмых, 
7
10  – десять седьмых. 
Десятичные дроби. Например: 0,1 – ноль целых одна десятая, 
0,01 – ноль целых одна сотая, 0,001 – ноль целых одна тысячная, 
0,0001 – ноль целых одна десятитысячная. 1,2 – одна целая две десятых, 1,3 – одна целая три десятых, 1,9 – одна целая девять десятых. 
1,02 – одна целая две сотых, 1,03 – одна целая три сотых, 1,09 – одна 
целая девять сотых. 1,002 – одна целая две тысячных, 1,003 – одна целая три тысячных, 1,008 – одна целая восемь тысячных, 1,009 – одна 
целая девять тысячных. 3,2 – три целых две десятых, 8,4 – восемь целых четыре десятых, 12,5 – двенадцать целых пять десятых, –7,9 – минус семь целых девять десятых, 0,15 – ноль целых пятнадцать сотых, 
3,44 – три целых сорок четыре сотых, –6,75 – минус шесть целых 
семьдесят пять сотых, –10,125 – минус десять целых сто двадцать пять 
тысячных, –0,134 – минус ноль целых сто тридцать четыре тысячных, 
15,15 – пятнадцать целых пятнадцать сотых, –725,123 – минус семьсот 
двадцать пять целых сто двадцать три тысячных.       

Задачи и упражнения 
1. Прочитать:  
а) 
,
9
4
7
8 , 6
5 , 8
7 ,
,
7
1
−
,
5
3
−
,
4
1  
,
3
4
−
 
,
7
2  
.
10
6
,
5
2
,
3
1 −
−
 
б) 0.2, –0.35, –2.7, 8.7, –10.12, –3.26, 4.5, –7.015, 131.65, 4.23, 199.155,  
–124.56, –481.032, 87.13, 103.45, –65.67, 88.08, –9.876, –34.103, 10.001, 
17.2, –8.45, –60.97, 2.39, –1.105, 23.401, –5.12, 30.035, 0.648, 70.056,  
–2,345, 84.065,  –85.003, 205.01, –70.065, 90.678, −34.7, −70.15, 125.03, 
56.15, −124.421, 123.321, −13.31. 
2. Продолжить: 
а) 
20
19
,...,
12
11
,
11
10
,...,
4
3
,
3
2
,
2
1
, 21
20 ,
.
31
30
,...,
23
22
,
22
21
 
б) 
,
26
27
,
27
28
,
28
29
…,
.
2
3
,...,
9
10
,
10
11
,...,
17
18
,
18
19
 
в) 0.2, 1.3, 2.4, …, 10.12, 11.13, 12.14, …, 20.22.  
г) 1.02, 2.03, 3.04, 4.05, 5.06, …, 8.09, 9.1, 10.11, 11.12, …, 20.21. 
д) 19.021, 18.020, 17.019, …, 11.009, 10.008, 9.007, 8.006, …, 3.001. 
е) 2.3, −3.4, 4.5, −5.6, 6.7, −7.8, 8.9, …, 12.13, −13.14, 14.15, …, 20.21, 
−21.22, 22.23, …, −29.3, 30.31. 
ж) 0.2, 0.02, 0.002; 1.25, 1.025; 2.4, 2.04, 2.004; 3.5, 3.05, 3.005. 
1 . 2 .  А р и ф м е т и ч е с к и е  д е й с т в и я  
Основные символы и операции 
Знак (символ) 
Название знака 
Операция 
+ 
Плюс 
Сложение 
– 
Минус 
Вычитание 
• х 
Точка, крест 
Умножение 
:  / 
Двоеточие, черта 
деление 
=  
Равно 
 
 
Плюс или минус 
 

Арифметические действия 
Запись 
Чтение 
Действие 
Результат 
Компоненты 
a+b=с 
a плюс b 
равно с 
Сложение 
с – сумма 
а 
– 
первое 
слагаемое, b – 
второе слагаемое 
а – 
b=с 
a минус b 
равно с  
Вычитание 
с – разность  
а– уменьшаемое, b – вычитаемое 
a•b=c 
a умножить на b 
равно с 
 
Произведение 
с – произведение 
а – первый 
множитель, 
b – второй 
множитель 
a : 
b=с 
b
a =с 
a / b=с 
a деленное на b 
равно с  
Частное, 
отношение 
с – частное 
а – делимое, 
b – делитель 
Основные обозначения 
Запись  
Чтение 
( )  
Круглые скобки 
(a) 
a в круглых скобках 
[ ] 
Квадратные скобки 
[a] 
a в квадратных скобках 
{ } 
Фигурные скобки 
{a} 
а в фигурных скобках 
№ 
Номер 
Выражения и неравенства 
Запись 
Чтение 
1 
2 
cd
ab  
ab, деленное на cd 
a(b + c) 
a, скобка открывается, b плюс c, скобка 
закрывается, a умножить на сумму b и c 

а = b 
a равно b 
a ≠ b 
a не равно b 
a ≈ b 
a приблизительно равно b 
a > b 
a больше b 
a < b 
a меньше b 
a ≤ b 
a меньше или равно b; a не больше b 
a ≥ b 
a больше или равно b; a не меньше b 
 
Арифметические действия: 
 
7 + 8 = 15 – семь плюс восемь равно пятнадцать;  
6 – 12 = – 6 – шесть минус двенадцать равно минус шесть; 
– 1 + 7 = 6 – минус один плюс семь равно шесть;  
2 – 15 = – 13 – два минус пятнадцать равно минус тринадцать;  
11
1
11
6
7
8
3
−
=
−
=
+
−
+
 – три плюс восемь разделить на минус семь плюс 
шесть равно одиннадцать разделить на минус один равно минус одиннадцать;  
1
2
2
10
12
5
3
=
=
−
+
−
 – минус три плюс пять разделить на двенадцать минус 
десять равно два разделить на два равно один; 
2
10
20
1
9
6
14
=
=
+
+
 – четырнадцать плюс шесть разделить на девять 
плюс один равно двадцать разделить на десять равно два; 
2
3
6
5
8
7
13
=
−
−
=
+
−
+
−
 – минус тринадцать плюс семь разделить на минус восемь плюс пять равно минус шесть разделить на минус три равно два; 
5
2
10
1
1
5
15
=
=
+
−
 – пятнадцать минус пять разделить на один плюс 
один равно десять разделить на два равно пять; 
(15 – 1) · (7+3) = 14 · 10 = 140 – в скобках пятнадцать минус один 
умножить на в скобках семь плюс три равно четырнадцать умножить 
на десять равно сто сорок;  

(10 – 5) · (2+3) = 5 · 5 = 25 – в скобках десять минус пять умножить на 
в скобках два плюс три равно пять умножить на пять равно двадцать 
пять;  
(– 13+3) · (10 – 4) = – 10 · 6 = – 60 – в скобках минус тринадцать плюс 
три умножить на в скобках десять минус четыре равно минус десять 
умножить на шесть равно минус шестьдесят; 
(14+1) · (15 – 13) = 15 · 2 = 30 – в скобках четырнадцать плюс один 
умножить на в скобках пятнадцать минус тринадцать равно пятнадцать умножить на два равно тридцать; 
(15 – 5) · (7+3) = 10 · 10 = 100 – в скобках пятнадцать минус пять 
умножить на в скобках семь плюс три равно десять умножить на десять равно сто.  
Задачи и упражнения 
1. Прочитать: 
Считалка:  
2 12 46 
48 3 06 
33 1 102 
8 30 32 
Марш: 
18 17 18 16 
115 13 3006 
90 17 90 16 
240 110 526 
Есенин: 
14 126 14 
132 17 43 
6 42 511 
704 83 
170 16 39 
514 700 142 
612 349 
7 114 02 
Пушкин: 
17 30 48 
140 10 01 
126 138 
140 3 501 
Маяковский: 
2 46 38 1  
116 14 20  
15 14 21  
14 0 17 
Веселый стих: 
2 15 42 
42 15 
37 08 5 
20 20 20 
Грустный стих: 
511 16 
5 20 337 
712 19 
2000047 
Импровизация: 
3 4 2 1 
46 17 
300 10 900 
57 16 
 
2. Вычислить:  
1) 
10
13
5
4
+
+
−
; 2) 
11
21
5
8
−
+
−
; 3) 
6
12
5
15
+
+
; 4) 
13
2
15
18
−
+
−
; 5) 0.05+3.15; 
6) − 2.35 – 7.005; 7) (5.2 + 7.67)/2; 8) (− 4.77 – 8.23)(6.25+3.75);  
9) (5.44 + 6.32)/(−3.33 + 1.33); 10) (3.145 + 6.855)(−5.35 – 0.35). 

. 3 .  В о з в е д е н и е  в  ц е л у ю  п о л о ж и т е л ь н у ю  
с т е п е н ь  n ,  и з в л е ч е н и е  к о р н я  n - й  с т е п е н и  
Запись 
Чтение 
Действие 
Результат 
Компоненты 
c
a p =
 
а в степени р равно с 
Возведение 
в степень 
Степень 
а – основание, р – степень 
c
a
a
n
m
n
m
=
=
 
Корень 
степени n 
из а в 
степени m 
равно с 
а в степени m разделить на 
n равно с  
Извлечение 
корня степени n из а 
в степени 
m 
Корень 
 n – показатель корня,
 – подкоренное 
выражение 
 
Слова и словосочетания: 
– основание степени − base; 
– показатель степени – exponent;  
– возведение в степень − exponentiation;  
– а в квадрате − the square of а OR а squared; 
– а в кубе − the cube of а OR а cubed; 
– а в четвертой степени − а raised to the power of 4 OR а raised to 
the 4th power OR the 4th power of а OR а to the 4th power OR а to the 4th;  
– а в пятой степени − а raised to the power of 5 OR а raised to 
the 5th power OR the 5th power of а OR а to the 5th power OR а to the 5th; 
– извлечение корня − root extraction; 
– корень квадратный из а − square root of a; 
– корень кубический из а − cube root of a; 
– корень четвертой степени из а − 4th root of a; 
– корень пятой степени из а − 5th root of a; 
– степени с одинаковым основанием – have the same base; 
– сумма (разность) показателей степени – sum (difference) of 
exponents. 
Выражение 3∙3 – произведение двух одинаковых множителей. 
Его можно записать как 32 (три в степени два, или три во второй степени, или три в квадрате).