Избранные главы высшей математики для специалистов и бакалавров технологических направлений. Часть 1

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Казанский национальный исследовательский технологический университет




Р. Н. Хузиахметова, О. М. Дегтярева, А. Р. Хузиахметова

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СПЕЦИАЛИСТОВ И БАКАЛАВРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ
Часть 1

Учебно-методическое пособие








Казань Издательство КНИТУ 2019

         УДК 51(075)
         ББК 22.11я
              Х98

Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского национального исследовательского технологического университета


Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. Е. А. Турилова канд. физ.-мат. наук, доц. О. Н. Тюленева






        Хузиахметова Р. Н.
Х98 Избранные главы высшей математики для специалистов и бакалавров технологических направлений : в 2 ч. Ч. 1 : учебно-методическое пособие / Р. Н. Хузиахметова, О. М. Дегтярева, А. Р. Хузиахметова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. - Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. - 164 с.

        ISBN 978-5-7882-2751-1
        ISBN 978-5-7882-2752-8 (ч. 1)

      Содержание первой части включает следующие разделы высшей математики: криволинейные интегралы, теория поля, степенные и функциональные ряды. В каждом разделе приведены необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы студентов, варианты контрольных работ.
      Предназначено для студентов технических и технологических специальностей, для которых эти разделы входят в программу изучения курса высшей математики.
      Подготовлено на кафедре высшей математики.

                                              УДК 51(075)
                                              ББК 22.11я

ISBN 978-5-7882-2752-8 (ч. 1) © Хузиахметова Р. Н., Дегтярева О. М.,
ISBN 978-5-7882-2751-1        Хузиахметова А. Р., 2019
                             © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2019


2

ВВЕДЕНИЕ



      Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по курсу высшей математики, подборку практических задач с ответами, помогающих при освоении материала, а также при прохождении промежуточного и итогового тестирования для студентов, обучающихся по специальностям 18.03.01 «Химическая технология», 18.05.01 «Химическая технология энергонасыщенных материалов», 21.05.04 «Горное дело».
      Изучение данного пособия позволяет формировать у обучаемых такие общекультурные и профессиональные компетенции как:
      -      владение культурой математического мышления, способность к обобщению и анализу информации, постановке целей и выбора путей достижения поставленной цели;
      -      способность научно анализировать проблемы и процессы профессиональной области, умение использовать на практике базовые знания и методы математики, способность наращивать знания;
      -      использовать математические методы на практике, умение составлять математические модели, интерпретировать полученные результаты;
      -      самостоятельно применять методы и средства познания для приобретения новых знаний и умений.
      Практические задания дополнены задачами различного уровня сложности, позволяющими качественно освоить изучаемый материал, выстроенные по принципу нарастания сложности заданий. Учебное пособие может быть использовано преподавателями кафедры высшей математики для проведения аудиторных занятий, для самостоятельной работы студентов вне аудитории, преподавателями ФДО.

3

 I. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА




1.1. Определение криволинейного интеграла II рода


      Пусть L - некоторая кусочно-гладкая кривая, Г(х, у) - радиус-вектор произвольной точки кривой, dr = (dx, dy) - его дифференциал и P(x, y), Q(x, y) - непрерывные функции, определенные на этой кривой. Тогда работа А переменной силы F = (P(x, y), Q(x, y)) по перемещению точки вдоль кривой L определяется как криволинейный интеграл II рода:

A = J P (x, y) dx + Q (x, y) dy
                              L


     Криволинейный интеграл II рода зависит от направления пути интегрирования и обладает основными свойствами определенного интеграла, наиболее важные из которых следующие:
     1)      При замене пути интегрирования на обратный знак криволинейного интеграла II рода меняется на противоположный:
        J P(x, y)dx + Q(x, y)dy = - J P(x, y)dx + Q(x, y)dy, AB                     BA

где L = AB - дуга кривой L с началом в точке А и концом в точке В, а ВА - дуга кривой L с началом в точке В и концом в точке А;
     2)      Если кривая L состоит из двух несвязных кусков L = L о L₂, L1 П L 2 = О, то криволинейный интеграл II рода по кривой L разложится на сумму двух интегралов:

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy+JP(x,y)dx+Q(x,y)dy.
L                   L₁                  L₂


4

      Для вычисления криволинейного интеграла II рода различают следующие случаи задания кривой L:
      1) Кривая задана явно -     L=AB:   y = y(x), x g [a, b], где
A(a, y(a)), B(b, y(b)).
      Тогда dy = y r(x)dx и


b

    J P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = j (P ( x, y ( x)) dx + Q ( x, y ( x))y ’( x)) dx.

     AB


a

                                              [ x = x (t)
      2)  Кривая задана параметрически - L=AB:1      /ᵥ₄, t g [a, p],
                                              I y = y⁽t)

где A (x (a), y (a)), B (x (fi), y (p)).


      Тогда


                               p
J P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = j ⁽P ⁽ x ⁽t⁾, y ⁽t)) x,⁽t) + Q ⁽ x ⁽t⁾, y ⁽t))y ,⁽t t)) dt.

AB


a

     Это равенство можно распространить и на пространственный случай: если кривая L задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где t G [a, p] , то


JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =
           AB
          p
        = J⁽P⁽x ⁽t), y⁽t), z⁽t))x'(. t)⁺ Q⁽x ⁽t), y⁽t), z⁽t))y'(. t)⁺ a
        + R ( x (t), y (t), z (t)) z'(. t)) dt.


        Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл II рода J(x + 3y)dx + x²ydy вдоль кривой L : y = x² + 2 от точки А(1,3) до L
точки В(2,6).

5

     Решение
     Дифференциал функции y = x² + 2 равен dy = 2xdx . Подставив в подынтегральное выражение у и dy , получаем определенный интеграл:


      2
f (x + 3 y) dx + x² ydy = f (x + 3( x² + 2) + x² (x² + 2)2 x) dx =
 L1

                       2
J (2x⁵ + 4x³ + 3x² + x + 6)dx =
                       1


= (2x⁶/6 + 4x⁴/4 + 3x³/3 + x2/2 + 6x) |2² =
= 1(64 -1) + (16 -1) + (8 -1) +1(4 -1) + 6(2 -1) = 501.

Пример 2. Вычислить интеграл

J x² ydy - y²xdx , если кривая L

задана параметрически:


L : x = л/cos t, y = Vsin t, 0 < t < л /2.

     Решение

     Найдем дифференциалы dx и dy :

sint            cost
dx =-----. dt и dy = —. . dt.
2a/cos t        2л/sin t


     Подставив эти выражения в интеграл, будем иметь:

J x² ydy - y²xdx = L

л/2
j (cos tл/sin t
0

cos t
2л^т t

. . s I----- sin t ₓ ₙ
+ sin td cos t —.    ) dt =
2л/cos t

л/2

л/2
= - f dt = 11|
22

л

4

0

0

6

     Пример 3. Вычислить работу силового поля F = yi - x j при перемещении материальной точки вдоль линии верхней половины эллипса


22 x² y²
— + — = 1


49

из точки С(2,0) в точку В(-2,0).


     Решение
     Работа А силового поля F = Pi + Q j при перемещении материальной точки М вдоль линии СВ равна J P(x, y)dx + Q(x, y)dy . Запи-СВ
шем дугу эллипса СВ в параметрической форме:
x = 2 cos t, y = 3sin t, t e [0, n].

Тогда dx = -2sintdt,dy = 3 cos tdt и
                       п

п

     A = J ydx - xdy = J(-6sin² t - 6cos² t)dt = -6Jdt = -6п.

            СВ


0

0

     Пример 4. Вычислить интеграл J ydx + (x + z)dy + (x - y)dz, L
где L - отрезок прямой, соединяющей точки А(1,-1,1) и В(2,3,4).


   Решение
   Запишем параметрические уравнения кривой АВ:
x = 1 +t,y = -1+4t,z = 1+3t .

   На отрезке АВ 0 < t < 1. Поэтому
                  1
J ydx + (x + z)dy + (x - y)dz = J ((-1 + 41) + (2 + 41) ■ 4 + (2 - 3t) ■ 3)dt =
L0


                                   1
=J(13+11t)dt=18,5.
                                   0

7

     Пример 5. Вычислить интеграл Jydx - x²dy + (x + y)dz , где
                               L
                                22
L - кривая пересечения цилиндра x + y = 4 с плоскостью x + y - z = 0 , пробегаемая в положительном направлении.


     Решение
     Найдем параметрические уравнения кривой L. Так как проекция кривой L на плоскость Oxy есть окружность x² + y² = 4 , z = 0 , то можно записать, что x = 2cost, y = 2sin t . Тогда из уравнения плоскости находим, что z = 2(cos t + sin t) . Таким образом, x = 2cos t
    < y = 2sint , 0 < t < 2л, dx = -2sintdt , dy = costdt, z = 2(cos t + sin t)


dz = 2(- sin t + cos t)dt .

     Отсюда имеем:

                         2 л
J ydx - x²dy + (x + y)dz = J(-4sin² t - 8cos³ t + 4(cos ² t - sin² t)dt = L0
      2л
= J(-2 + 2cos2t - 8cost + 8sin² tcost + 4 cos 2t)dt = - 4л .
      0
     Пример 6. Даны точки А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

J(8x + 4y + 2)dx + (8y + 2)dy ,
                  L
где:
     1)  L - отрезок ОА;
     2)  L - ломаная ОВА;
     3)  L - ломаная ОСА;
     4)       L - парабола, симметричная относительно оси Oy и проходящая через точки О и А.

8

  Решение
  1)  Отрезок ОА может быть записан в виде у = 2x, x е [0,3]. Тогда
dy = 2dx

и
J (8 x + 4 у + 2) dx + (8 у + 2) dy =
        L
  33
= J(8x + 4 • 8x + 2)dx + (8 • 2x + 2) • 2dx = j(48x + 6)dx = 234 .
  00

  2)  Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОВ и ВА. Тогда:

  а) ОВ: у = 0, 0 < x < 3, т. е. dy = 0, откуда

                 3
    J (8 x + 4у + 2)dx + (8у + 2)dy = j (8x + 2)dx = 42 .
    L0

  б) ВА: x = 3, 0 < у < 6 , т. е. dx = 0 , и

                 6
    J (8 x + 4 у + 2) dx + (8 у + 2) dy = j (8 у + 2) dy = 156.
    L0

  Таким образом,
     j (8 x + 4 у + 2) dx + (8 у + 2) d$ = 42 + 156 = 198.
     OBA

  3)  Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему:
  а) ОС: x = 0, (т. е. dx = 0), 0 < у < 6 , откуда

9

j (8 x + 4 y + 2) dx + (8 y + 2) dy = j (8 y + 2) dy = 156.
         OC                                 0


      б) СА: y = 6, 0 < x < 3, т. е. dy = 0, откуда


                                   3
       j(8x+ 4y + 2)dx + (8y + 2)dy = j(8x + 26)dx = 114 .

          СА


0

     Окончательно


          j(8x+ 4y + 2)dx + (8y + 2)dy = 114 + 156 = 270.
         ОСС


     4)       Подставив координаты точки А(3;6) в равенство y = ax² найдем уравнение данной параболы:


2x²
y = ~т

4
      При этом 0 < x < 3 и dy = — xdx, откуда интеграл по дуге ОА:



j(8x + 4y + 2)dx + (8y + 2)dy =
            ОА
         ³    8x²      16x²    4
         I [(8x +-+ 2)dx + (-+ 2) • — xdx] =
         03              33


  ³ 64x³ 8x² 32x 16x⁴ 8x³ 16x² 3

  (--+--+--+ 2)dx = (-+-+-+ 2x) 3 = 222.
933          993         ⁰

10