Математические модели управления проектами

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 

МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ 

ПРОЕКТАМИ

И.Н. ЦАРЬКОВ

Рекомендован кафедрой управления проектами Национального исследовательского 

университета «Высшая школа экономики» в качестве основной литературы для студентов 

магистратуры, обучающихся по специальности «Управление проектами»

Москва

ИНФРА-М

202Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»

УЧЕБНИК

УДК 005:519.8(075.8)
ББК 65.290:22.17я73
 
Ц20

Учебник подготовлен при финансовой поддержке факультета бизнеса 

и менеджмента Национального исследовательского университета 

«Высшая школа экономики»

А в т о р:

Игорь Николаевич Царьков, кандидат экономических наук, доцент 

кафедры управления проектами факультета бизнеса и менеджмента 
Национального исследовательского университета «Высшая школа 
экономики»
Р е ц е н з е н т ы:

Н.К. Моисеева, доктор экономических наук, профессор, заведую
щая кафедрой маркетинга и управления проектами Национального 
исследовательского университета «Московский институт электронной техники», заслуженный деятель науки РФ;

В.Н. Фунтов, доктор экономических наук, доцент Санкт-Петер
бургского международного института менеджмента, PMP (профессионал в управлении проектами)

Царьков И.Н.

Ц20  
Математические модели управления проектами : учебник / 

И.Н. Царьков ; предисловие В.М. Аньшина. — Москва : ИНФРА-М, 
2024. — 514 с. — (Высшее образование: Магистратура). — DOI 10.12737/
textbook_59d5d3b8c63992.94229617.

ISBN 978-5-16-012831-3 (print)
ISBN 978-5-16-106364-4 (online)

Математические модели являются частью научного фундамента отно
сительно новой области знаний — управления проектами. Они обеспечивают менеджеров проекта практическими инструментами, позволяющими 
разрабатывать и оптимизировать расписания проекта, а также настраивать 
систему его управления таким образом, чтобы повысить эффективность 
управления.

Изложены модели и методы, направленные на оптимизацию проекта 

через призму их практического использования. Особое внимание уделяется направлениям исследований в этой области и решению задач.

Для студентов магистратуры направления «Менеджмент», инженер
ных специальностей и прикладной математики, студентов бакалавриата, 
углубленно изучающих эту тему, а также для аспирантов, преподавателей и исследователей, занимающихся управлением проектами. Профессиональные менеджеры проектов и кост-инженеры тоже смогут найти 
для себя полезные методы.

УДК 005:519.8(075.8)
ББК 65.290:22.17я73

ISBN 978-5-16-012831-3 (print)
ISBN 978-5-16-106364-4 (online)

© Царьков И.Н., 2018

© Аньшин В.М., предисловие, 2018

Предисловие

История управления проектами насчитывает тысячи лет. 
В определенном смысле можно сказать, что история проектов есть 
история созидательной деятельности людей. За время существования человеческой цивилизации создано огромное количество 
проектов: храмы, дворцы, каналы, дороги, заводы, электростанции, 
космические корабли и многое другое. Эти артефакты прошлого 
и настоящего позволяют составить представление о проиводственных, организационных и инженерных возможностях создателей 
проектов в различные времена.
Многие проекты древности, Средневековья, Нового времени, 
периода индустриализации требовали привлечения колоссального количества трудовых и материальных ресурсов. Важными 
и сложными проблемами при этом были инициация проектов, координация деятельности людей, запуск строительных и производственных процессов, логистика и другие вопросы.
Одним из главных вопросов и тогда, и сейчас было отношение 
различных субъектов к проектам. Монархи, государственные и общественные деятели, представители церкви и других слоев общества имели различные точки зрения, и они менялись по ходу 
реализации проектов. Сейчас можно говорить о стейкхолдерах проекта, но они были всегда.
Высокая ресурсоемкость, сложности организации, изменение 
отношения к проектам заинтересованных лиц в отдельных случаях 
приводили к тому, что проекты разрабатывались десятки и даже 
сотни лет. Но также одной из причин таких «долгостроев» было 
отсутствие формализации проектных управленческих технологий. 
Лучшие проектные практики в части организации дела передавалисть во многом «из уст в уста».
Новая эра в управлении проектами началась в конце XIX в., начале 
и середине XX в. В связи с бурным развитием науки, техники и промышленности проектные подходы стали распространяться за пределы 
традиционных сфер своего применения, например, строительства, где 
они во многом первоначально развивались, в другие сферы.
Старт развитию проектной методологии на научной основе дали 
Генри Гантт и Кароль Адамески, предложившие графические инструменты планирования и контроля производства, которые были 
использованы и для проектов. Это позволило поднять планирование проектов на новый уровень.

Дальнейший серьезный прогресс в управлении проектами и его 
научно-методологическом осмыслении произошел в результате создания в конце 1950-х гг. метода критического пути и метода PERT. 
Последующие исследования были посвящены совершенствованию 
этих методов.
Важным моментом в управлении любым проектом является 
определение состава и взаимодействия работ. Из его обоснованности вытекает качество планирования проекта, а это одна из основ 
эффективного управления. Нужно иметь в виду, что в данной части 
существует достаточно большое количество вариантов организации 
проектов. Эти варианты различаются по многим параметрам: составу, очередности работ, временным и стоимостным показателям 
и др. Существует задача оптимизации такой структуры проекта 
и поиска путей снижения времени и затрат на его разработку. Ее 
решение для многих проектов затруднительнно при использовании 
традиционных технологий проектного управления. Создание соответствующих моделей и методов, связанных с такой оптимизацией, 
определило важное направление развития проектной методологии. 
При этом их арсенал достаточно широк: адаптация методов математического программирования для задач проектного управления, 
разработка и развитие эвристических методов, генетические алгоритмы и другие подходы.
Ключевой особенностью проектов является неопределенность, 
а зачастую и неясность способов их разработки, что в ряде случаев 
требует использования методов стохастического анализа. Разработки в этом направлении привели к созданию моделей GAAN, 
GERT и других.
Управление проектами бурно развивается в последние годы. Это 
связано с рядом обстоятельств. Во-первых, возрастают требования 
к решению задач по таким параметрам, как сроки, результаты 
и затрачиваемые ресурсы. Во-вторых, сами задачи усложняются 
год от года и решать их с помощью традиционных подходов все 
сложнее и сложнее. В-третьих, сама проектная методология развивается, популяризуется и находит все больше приверженцев.
Развитие проектной методологии проявляется во многом в создании и внедрении в практику страновых и международных стандартов, их регулярном обновлении, сертификации по ним специалистов. Еще одним важным моментом является продвижение 
вперед самих методов управления проектами, и в том числе дальнейшее развитие и создание новых математических моделей, алгоритмов их решения с помощью современных компьютерных технологий. Не теряют своей актуальности вопросы развития моделей 

оптимального распределения ресурсов и методы планирования 
в проектах, которые исследуются в работах ряда российских и зарубежных авторов.
Важным направлением исследований проектной методологии 
является поиск возможностей использования системного подхода 
в управлении проектами. Здесь можно отметить разаботку системных моделей управления проектами, развитие моделей и методов системной динамики проектов.
Разрабатываются модели управления проектами с учетом заинтересованных сторон, что весьма актуально для развития проектной 
методологии на современном этапе.
Такое обилие разработанных математических моделей и методов 
в управлении проектами зачастую затрудняет ориентацию менеджеров в выборе тех из них, которые наилучшим образом подходят 
для решения стоящих перед ними задач. Поэтому требуются обобщение и классификация различных модельных подходов с целью 
их привязки к конкретным практическим ситуациям.
Основной задачей является адаптация моделей для целей использования в образовательных процессах на программах подготовки проектных менеджеров. Прежде всего речь идет о доступном 
читателю, не имеющему специальной математической подготовки, 
изложении материала. Кроме того, необходимо разработать соответствующие расчетные примеры и задачи, иллюстрирующие возможности применения тех или иных моделй и методов.

В.М. Аньшин, доктор экономических наук, профессор,
 заведующий кафедрой управления проектами 
Национального исследовательского 
университета «Высшая школа экономики» 
 

Благодарности

Идея курса, на основе которого написан данный учебник, принадлежит ординарному профессору Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики», руководителю 
магистерской программы «Управление проектами: проектный 
анализ, инвестиции, технологии реализации», а также директору 
«Высшей школы управления проектами» НИУ ВШЭ доктору экономических наук Валерию Михайловичу Аньшину. Без его помощи 
и поддержки эта книга никогда бы не появилась на свет.
Также автор благодарен своим аспирантам К.А. Зуйкову 
и И.М. Нечаевой, которые успешно освоили этот курс, помогали 
автору вести занятия по нему и высказали много ценных замечаний 
по различным его элементам.
Особую благодарность автор хотел бы высказать своим учебным 
ассистентам: О.Ю. Макеевой и А.А. Рязанову, которые, будучи 
студентами 2-го курса магистратуры, помогали проверять студенческие работы, придумывали новые задачи и объясняли студентам 
сложные темы.
Студенты магистратуры по управлению проектами НИУ ВШЭ 
своими вопросами, яркими докладами и общей заинтересованностью внесли неоценимый вклад в качество и содержание учебника.
Также автор благодарен всем сотрудникам кафедры «Управление проектами» и факультету бизнеса и менеджмента НИУ ВШЭ 
за всестороннюю поддержку в написании этого учебника.
Особую благодарность автор хотел бы выразить своей семье, 
и в особенности жене Евгении, за огромную помощь и терпение.

Введение

Этот учебник написан на основе практически десятилетнего 
опыта чтения его автором курса «Математические модели управления проектами» магистерской программы «Управление проектами: проектный анализ, инвестиции, технологии реализации»1 
в Национальном исследовательском университете «Высшая школа 
экономики». Основной причиной создания учебника послужило 
отсутствие соверменной учебной русскоязычной литературы, в которой доступным для студентов нематематических специальностей 
языком излагались бы не только основы сетевого планирования, 
но и более сложные вопросы оптимизации проектных планов, с которыми менеджер проекта может столкнуться на практике.
Не секрет, что математические модели управления проектами 
в осовном сложны и не так часто применяются на практике, как 
хотелось бы многим авторам. Причины этого носят комплексный 
характер, но главными являются молодость данного направления 
(7 мая 2017 г. ему исполнилось 60 лет) и значительное количество 
нерешенных математических проблем. Но несмотря на все трудности, практически каждое новое десятилетие приносит новые 
модели и методы, позволяющие сократить сроки выполнения проекта, снизить перерасход средств и в целом повысить эффективность управления им. Одним из наиболее ярких стал метод критической цепи Э. Голдратта, появившийся в 1997 г. и уже успевший 
войти в большинство стандартов по управлению проектами.
Вопросы разработки эффективных расписаний проекта и создания качественних систем управления проектами на их основе 
находятся на стыке сразу нескольких научных направлений: менеджмент, математика, вычислительная техника. Авторы проводимых за рубежом научных исследований, кроме математических 
подразделений, работают на факультетах, связанных с инженерными науками и менеджментом. Поэтому в данном издании акцент 
сделан на доступность изложения для всех категорий читателей, 
полезность и практическую значимость как для менеджеров, так 
и для математиков.
Основной целью учебника является формирование комплекса 
знаний о том, как устроено управление проектом с математической 

1 
Магистерская программа «Управление проектами: проектный анализ, инвестиции, технологии реализации». URL: https://www.hse.ru/ma/pm/ (дата 
обращения: 30.03.2017).

точки зрения и как из этого можно извлечь выгоду для решения 
практических задач. Рассмотрены существующие надежные модели, широко применяемые на практие, их слабые места и странные 
эффекты (аномалии), а также процессы создания и совершенствования новых моделей в историческом контексте их развития. 
Для большинства методов приведены детальные алгоритмы применения и примеры решения задач.
Предполагается, что данный учебник позволит сформировать 
у читателя теоретические знания о применении математических 
моделей в проектах, об особенностях, различиях и ограничениях 
использования многих моделей; понимание роли и места математических моделей в проектах разной сложности; умение выбрать 
подходящую модель и метод ее решения для данного проекта, 
проанализировать целесообразность осуществления оптимизации 
по разным параметрам проекта, построить модель расписания 
проекта и найти достаточно хорошее решение; приобрести практические навыки по расчету и анализу сетевых графиков, применению различных методов и использованию разных моделей, 
включая вопросы нахождения компромиссов между продолжительностью, стоимостью и количеством ресурсов проекта.
Учебник состоит из трех разделов, которые требуют последовательного изучения. В первом вводится язык и описываются методы, 
позволяющие построить модель проекта и модель его расписания. 
Второй раздел посвящен моделям, в которых все ключевые параметры проекта четко определены (детерминированные модели). 
В третьем разделе предполагается, что продолжительность проекта 
и его работ является неопределенной величиной (с примененем 
теории вероятностей и других подходов к учету неопределенности), 
также допускается случайный выбор выполнения той или иной работы (стохастические модели). Третий раздел построен на основе 
понятий, моделей и методов, введенных во втором разделе.
В каждой главе учебника материал излагается от простого 
к сложному. Параграфы повышенной сложности помечены символом «*», и их не обязательно читать для успешного усвоения 
других глав. Главы посвящены различным темам, связанным 
с основными целями применения математических моделей, 
и представляют собой их своеобразную классификацию. Каждая 
глава начинается с описания применяемой модели проекта, постановки проблемы и изложения ее исследований в историческом 
контексте. Далее в главе раскрывается содержание методов решения поставленных задач. Все методы делятся на два класса: 
точные и эвристические. Эвристические методы важны для прак

тического использования, а точные — для дальнейших исследований. Как правило, точные методы помечены символом «*», 
т.е. представляют материал повышенной сложности. После описания каждого метода приводятся алгоритмы и примеры их практического использования. В конце каждой главы есть контрольные 
вопросы для проверки качества усвоения материала и задачи, связанные с применением изученных методов. Задачи повышенной 
сложности отмечены символом «*».
Глава 1 посвящена понятию моделей проекта, их классификациям и вопросам получения для них оптимальных расписаний 
(решений модели). В главе 2 излагаются основы сетевого моделирования проекта. Глава 3 в большей степени связана с организационными особенностями практического использования моделей, 
в ней описаны существующие процессы и инструменты управления 
сроками проекта, а также стандарт по разработке расписаний.
Второй раздел начинается с описания двух главных моделей, 
используемых в методе критического пути: CPM и PDM (главы 4 
и 5 соответственно), которые применяются практически во всех 
системах автоматизации управления проектом. Модель PDM обладает интересными особенностями и иногда приводит к аномалиям, 
с которыми может столкнуться менеджер проекта и которые на сегодня не описаны ни в одном русскоязычном издании.
Далее в главах 6 и 7 описаны две модели, предполагающие наличие бюджетного ограничения в проекте и многорежимности 
выполнения работ. В главе 6 рассмотрен случай, когда режимов 
бесконечно много, а в главе 7 допускается только конечное число 
режимов у каждой работы. Одной из ключевых целей этих моделей 
является поиск компромисса, балансирование между продолжительностью и стоимостью проекта.
Главы 8 и 9 связаны с одними из наиболее популярных и практически востребованных методов оптимизации расписания проекта 
в условиях ограниченных возобновляемых ресурсов. Примером 
таких ресурсов является труд специалистов проектной команды. 
Основные цели связаны с выравниванием загрузки ресурсов и минимизацией продолжительности проекта. В главе 10 описаны подходы к решению моделей, в которых учитываются ограничения 
всех типов ресурсов: стоимость, труд и т.д.
В главе 11 модель метода критического пути исследована 
через призму неопределенной продолжительности работ, которая 
может задаваться с использованием теории вероятностей или 
теории возможностей. Важным является параграф, посвященный 
анализу критичности работ, который для таких моделей существенно отличается от анализа по методу критического пути.

В главе 12 рассмотрены вопросы формирования базового плана 
и динамическое принятие решений об исполнении работ в случаях, когда продолжительность работ неопределенная, но есть ресурсные ограничения. Основными целями является обеспечение 
стабильности расписания и его робастной устойчивости. Метод 
критической цепи как раз обеспечивает устойчивость достижения 
целей по продолжительности проекта, поэтому он описан в данной 
главе.
Глава 13 связана со стохастическими моделями, в которых выполнение отдельных работ проекта не обязательно и определяется 
случайной величиной. В частности, изложены метод GERT и особенности проектирования стохастических моделей. Основной 
целью является временной анализ проекта: вероятность его 
успешной реализации, средняя продолжительность и т.д.
В конце каждой главы приведен список литературы, содержащий 
первоисточники, на которых основано изложение материала учебника, и работы, к которым можно обратиться для углубленного 
изучения материала или для знакомства с другими моделями.