Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика : задачник

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 
Контрольные задания 
Динамика 
Задачник
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 531(076) 
ББК 22.21я7 
Т33 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Д. В. Бережной 
д-р техн. наук, проф. Б. А. Снигерев 
Составители:  
Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин 
Т33 
Теоретическая механика. Контрольные задания. Динамика : 
задачник / сост.: Х. С. Гумерова, М. К. Сагдатуллин; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2022. – 80 с. 
ISBN 978-5-7882-3132-7 
Представлены материалы для подготовки к контрольным работам по 
теоретической механике, раздел «Динамика».  
Предназначен для студентов механических и технологических 
направлений подготовки всех форм обучения. 
Подготовлен на кафедре теоретической механики и сопротивления 
материалов. 
ISBN 978-5-7882-3132-7 
© Гумерова Х. С., Сагдатуллин М. К., 2022 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 
УДК 531(076) 
ББК 22.21я7 
2

В В Е Д Е Н И Е
Теоретическая механика – одна из важнейших физико-математических дисциплин, предусмотренных учебными планами инженеров различных специальностей. На базовых принципах и законах теоретической механики базируются многие общеинженерные дисциплины, такие как сопротивление материалов, теория машин и механизмов, детали машин и т. д.  
Особое место в предложенном курсе отводится упражнениям 
и контролю усвоения практических навыков. Поскольку решение 
примеров и задач – один из наиболее эффективных способов оценки 
уровня знаний, данное пособие рекомендуется для проверки текущей 
успеваемости студентов.  
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для 
аудиторных контрольных работ, предлагаемых студентам технологических и механических специальностей при изучении дисциплины 
«Теоретическая механика», раздел «Динамика». Здесь приведены основные понятия, законы, уравнения и принципы механики, а также задачи, основанные на предлагаемом теоретическом материале. Решение 
задач, включенных в методическое пособие, не требует особых искусственных приемов или сложных математических преобразований. 
3

.  Д И Н А М И К А
1 . 1 .  З а к о н ы  д и н а м и к и
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается 
движение материальных тел под действием сил. Материальными объектами в динамике являются материальная точка (точка, обладающая 
массой), абсолютно твердое тело и механическая система материальных точек или тел. При изучении движения тел в динамике, в отличие 
от кинематики, принимают во внимание как действующие на них 
силы, так и инертность самих материальных тел. Количественной мерой инертности тела является масса m  тела. В классической (теоретической) механике масса тела предполагается величиной скалярной, 
положительной, постоянной и не зависящей от скорости тела. В основу динамики положены законы Галилея–Ньютона, являющиеся 
обобщением практической деятельности человека и проверяемые на 
опыте. Законы динамики описывают механическое движение материальных тел по отношению к неподвижным осям и инерциальным 
осям. Инерциальные оси движутся относительно неподвижных осей 
поступательно, равномерно и прямолинейно. При движении многих 
задач техники оси, связанные с Землей, считают неподвижными.  
Первый закон динамики (закон инерции): материальная точка, 
изолированная от действия каких-либо других тел, сохраняет относительно неподвижной системы отсчета состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. В этих случаях ускорение 
точки равно нулю. Такое кинематическое состояние точки называется 
инерциальным, а ускорение точки равно нулю. 
Второй (основной) закон динамики: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием 
силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает 
с направлением силы: 
𝑚𝑎̄ = 𝐹̄.
    (1.1) 
На основании второго закона динамики устанавливается связь 
между массой тела и его весом:  
𝑚𝑔= 𝑃,
     (1.2) 
где 𝑔 = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения. 

При одновременном действии на точку нескольких сил 
kF  уравнение, выражающее основной закон динамики в векторной форме,  
принимает следующий вид: 
𝑚
𝑑2𝑟̄
𝑑𝑡2 = ∑
𝐹𝑘
__
𝑛
𝑘=1
.                                        (1.3) 
Проектируя обе части равенства (1.3) на оси 
z
y
x
,
,
, получим 
𝑚𝑥̈ = ∑
𝐹𝑘𝑥
𝑛
𝑘=1
,      𝑚𝑦̈ = ∑
𝐹𝑘𝑦
𝑛
𝑘=1
,      𝑚𝑧̈ = ∑
𝐹𝑘𝑧
𝑛
𝑘=1
.      (1.4) 
Уравнения (1.4) являются дифференциальными уравнениями 
движения точки в прямоугольных декартовых координатах.  
Аналогично получим дифференциальные уравнения движения 
точки в проекциях на естественные оси: 
𝑚𝑠̈ = ∑
𝐹𝑘𝜏
𝑛
𝑘=1
,       𝑚
𝜐2
𝜌= ∑
𝐹𝑘𝑛
𝑛
𝑘=1
,       0 = ∑
𝐹𝑘𝑏
𝑛
𝑘=1
,   (1.5) 
где 𝑠̈ = 𝜐̇ = 𝑎𝜏 − касательное ускорение; 𝜐2/𝜌= 𝑎𝑛− нормальное 
ускорение. 
Третий закон динамики: всякое действие вызывает равное 
и прямо противоположное противодействие. 
1 . 2 .  Д в е  о с н о в н ы е  з а д а ч и  д и н а м и к и  т о ч к и  
Первая задача динамики точки: зная закон движения точки, 
найти действующую на точку силу. Если заданы уравнения движения 
точки в координатной форме 𝑥= 𝑓1(𝑡),𝑦= 𝑓2(𝑡),𝑧= 𝑓3(𝑡) или 
в естественной форме 𝑠= 𝑓(𝑡), то путем дифференцирования можно 
найти составляющие ускорения точки, а затем, используя второй закон динамики, определить действующую на точку силу. 
Вторая задача динамики точки: зная приложенные к точке 
силы, определить закон движения точки. Вторую задачу динамики 
рекомендуется решать в следующем порядке: 
1) выбрать систему координат; 
2) записать начальные условия движения точки; 
3) изобразить на рисунке точку, смещенную относительно 
начала координат;  
4) изобразить на рисунке приложенные к точке силы; 
5) составить дифференциальные уравнения движения точки; 
6) проинтегрировать систему дифференциальных уравнений; 

7) определить постоянные интегрирования через начальные 
условия, найти искомые величины. 
Так как силы, действующие на точку, могут быть постоянными, 
зависящими от времени, скорости или координаты, то дифференциальные уравнения следует преобразовать к уравнениям с разделенными переменными. 
1 . 3 .  В в е д е н и е  в  м е х а н и к у  с и с т е м ы  
Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается,  называют механической системой. В статике действующие на механическую систему силы разделяют на активные 𝐹̄ 𝑎 и реакции связей 𝑁̄ . В динамике разделяют силы на внешние 𝐹̄ 𝑒 и внутренние 𝐹̄ 𝑖 (индексы e  и i  от лат. exterior – внешний и interior – внутренний). Внешними называют силы, действующие на точки системы 
со стороны точек или тел, не входящих в состав данной механической 
системы. Внутренними называют силы, с которыми точки или тела 
данной системы действуют друг на друга. 
Отметим два свойства внутренних сил: 
1. Главный вектор всех внутренних сил равен нулю (𝑅̄ 𝑖= 0). Выберем две произвольные точки 𝐾1, 𝐾2 механической системы и некоторый неподвижный центр О (рис. 1.1). Силы взаимодействия этих 
точек обозначим через 𝐹̄1
𝑖 и 𝐹̄2
𝑖. Согласно аксиоме о равенстве действия противодействию 𝐹̄1
𝑖= −𝐹̄2
𝑖, или 𝐹̄1
𝑖+ 𝐹̄2
𝑖= 0. Рассуждая аналогично, для всех точек системы получим 
𝑅̄ 𝑖= ∑
𝐹̄𝑘
𝑖= 0.
𝑛
𝑘=1
                                      (1.6) 
2. Главный момент всех внутренних сил механической системы 
относительно произвольного центра равняется нулю (𝑀̄ 𝑜𝑖= 0). 
Найдем сумму моментов сил 𝐹̄1
𝑖и 𝐹̄2
𝑖 относительно центра О. По определению 𝑚̄ 𝑜(𝐹̄) = [𝑟̄ × 𝐹̄] с учетом того, что 𝐹̄1
𝑖= −𝐹̄2
𝑖, получаем  
𝑚
__
𝑜(𝐹̄1
𝑖) + 𝑚
__
𝑜(𝐹̄𝑖2) = [𝑟̄1 × 𝐹̄1
𝑖] + [𝑟̄2 × 𝐹̄2
𝑖] = [𝑟̄1 × 𝐹̄1
𝑖] −[𝑟̄2 × 𝐹̄1
𝑖] = 
= [(𝑟̄1 −𝑟̄2) × 𝐹̄1
𝑖] = [𝐾2𝐾1
______
× 𝐹̄1
𝑖], 
 
 

Рис. 1.1 
где 𝑟̄1 и 𝑟̄2 – радиус-векторы точек 𝐾1 и 𝐾2 (рис. 1.1). Векторы 𝐾2𝐾1
______
и 𝐹̄1
𝑖 направлены по одной линии, поэтому их векторное произведение
[𝐾2𝐾1
______
× 𝐹̄1
𝑖] = 0. Следовательно, 𝑚̄ 𝑜(𝐹̄1
𝑖) + 𝑚̄ 𝑜(𝐹̄2
𝑖) = 0. Для всех точек системы 
𝑀̄ 𝑜𝑖= ∑
(𝐹̄𝑘
𝑖)
𝑛
𝑘=1
= 0.
      (1.7) 
1 . 4 .  Ц е н т р  м а с с  с и с т е м ы
Масса механической системы равна арифметической сумме 
масс всех точек или тел, образующих систему: 
𝑀= ∑
𝑚𝑘
𝑛
𝑘=1
.         
 (1.8) 
Для тел, находящихся вблизи поверхности Земли, вес материальных точек или тел: 𝑃𝑘= 𝑚𝑘𝑔. Представим формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, в следующем  виде: 
𝑥𝐶=
∑
𝑚𝑘𝑥𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑀
;       𝑦𝐶=
∑
𝑚𝑘у𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑀
;      𝑧𝐶=
∑
𝑚𝑘𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑀
.        (1.9)
В полученные формулы входят массы 
k
m  материальных точек, 
образующих тело или механическую систему, координаты 𝑥𝑘, 𝑦𝑘, 𝑧𝑘
материальных точек, масса М системы и координаты 𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶 точки
С. Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1.9), называется центром масс или центром инерции механической системы, а оси с началом в точке С – центральными осями. 

Таким образом, при расчетах можно считать, что центр масс совпадает с центром тяжести механической системы. 
Формулы (1.9) эквивалентны одному векторному выражению: 
𝑟̄𝐶=
∑
𝑚𝑘𝑟̄𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑀
   ⇒   𝑀𝑟̄𝐶= ∑
𝑚𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑟̄𝑘,                     (1.10) 
где 𝑟̄𝑘 − радиус-вектор, определяющий положение 𝑘 -й точки; 𝑟̄𝐶 − радиус-вектор, определяющий положение центра масс механической 
системы. 
1 . 5 .  Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е  у р а в н е н и я  д в и ж е н и я  
м е х а н и ч е с к о й  с и с т е м ы  
Рассмотрим механическую систему, состоящую из 𝑛 материальных точек. Выберем произвольную точку 𝐾 системы. На нее действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующие этих сил: 𝐹̄𝑘
𝑒 
и 𝐹̄𝑘
𝑖 (рис. 1.2).  
 
 
 
Рис. 1.2 
 
Второй закон Ньютона для всех точек системы записывается 
в следующем виде: ∑
𝑚𝑘𝑎̄𝑘= ∑
𝐹̄𝑘
𝑒+ ∑
𝐹̄𝑘
𝑖
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
. Учитывая свойство внутренних сил  (1.6), получим дифференциальное уравнение 
движения механической системы в векторной форме: 
∑
𝑚𝑘𝑎̄𝑘= ∑
𝐹̄𝑘
𝑒
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
        или         ∑
𝑚𝑘
𝑑2𝑟̄𝑘
dt2 =
𝑛
𝑘=1
∑
𝐹̄𝑘
𝑒
𝑛
𝑘=1
.         (1.11) 
В проекциях на оси координат это уравнение будет иметь вид