Интегралы: в помощь студенту

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский 
технологический университет 
Н. Н. Газизова, С. Р. Еникеева, Н. В. Никонова 
ИНТЕГРАЛЫ:  
В ПОМОЩЬ СТУДЕНТУ
Учебно-методическое пособие
Казань 
Издательство КНИТУ 
2022 

УДК 517.3(075) 
ББК 22.161.1я7 
Г13 
Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук, доц. Д. В. Шевченко 
канд. техн. наук, доц. С. А. Лившиц 
Г13 
Газизова Н. Н. 
Интегралы: в помощь студенту : учебно-методическое пособие / 
Н. Н. Газизова, С. Р. Еникеева, Н. В. Никонова; Минобрнауки 
России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 
2022. – 112 с. 
ISBN 978-5-7882-3177-8 
Содержит теоретические сведения и прикладные задачи по разделам: 
неопределенные и определенные интегралы и их приложения. 
Предназначено для  студентов, изучающих дисциплины «Высшая математика» и «Математический анализ».  
Подготовлено на кафедре высшей математики. 
ISBN 978-5-7882-3177-8 
© Газизова Н. Н, Еникеева С. Р., 
Никонова Н. В., 2022 
© Казанский национальный исследовательский 
технологический университет, 2022 
УДК 517.3(075) 
ББК 22.161.1я7 
2

О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие ................................................................................................ 4 
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА ....................... 5 
Определение первообразной и неопределенного интеграла................ 5 
Свойства неопределенного интеграла .................................................... 5 
Таблица интегралов ................................................................................. 5 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ................................................................ 7 
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ............................................................... 8 
Метод разложения.................................................................................... 8 
Метод замены переменной .................................................................... 11 
Подведение функции под знак дифференциала .................................. 15 
Интегрирование по частям .................................................................... 16 
КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ .......................................... 22 
Интегрирование рациональных функций ............................................ 22 
Алгоритм интегрирования рациональной функции R(x) ................... 23 
Интегрирование тригонометрических функций ................................. 32 
Интегрирование иррациональных функций ........................................ 44 
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ........................................................ 55 
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ............................ 60 
Площадь плоских фигур ........................................................................ 60 
Вычисление площадей в полярной системе координат ..................... 69 
ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ................................................................... 73 
ДЛИНА ДУГИ .......................................................................................... 76 
Тесты .......................................................................................................... 80 
Ответы ................................................................................................... 109 
Список литературы ................................................................................. 110 
3 

П Р Е Д И С Л О В И Е
Пособие содержит интегральное исчисление функции одной переменной, примеры решения типовых задач, тестовые задания и ответы 
к ним. Теоретическая часть включает в себя все необходимые сведения 
для подготовки к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену 
в конце семестра. Текст иллюстрируется большим количеством примеров и рисунков. 
Помимо основных формул, определений, авторы предлагают подробный разбор тестовых заданий по указанным темам. Рассматриваются не только стандартные примеры, но и задачи повышенной трудности. Кроме того, предлагается набор тестовых заданий (15 вариантов), которые могут использовать как преподаватели для проведения 
практических занятий со студентами, организации аудиторных контрольных, зачетных и проверочных работ, так и студенты для самостоятельного изучения теоретического материала и индивидуальной подготовки к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену. 
4 

Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й  И Н Т Е Г Р А Л
И  Е Г О  С В О Й С Т В А  
Определение первообразной и неопределенного интеграла 
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если 
F′(x) = f(x). Множество всех первообразных некоторой функции f(x) 
называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается как 
( )
f x dx

.
Таким образом, если F(х) – некоторая частная первообразная, то 
справедливо выражение 
( )
( )
f x dx
F x
C,
=
+

где C – произвольная постоянная. 
Свойства неопределенного интеграла 
В приведенных формулах f(х) и g(х) – функции переменной x; 
F(x) – первообразная функции f(x); k, C − постоянные величины. 
1.
( )
( )
( )
( )
f x ± g x
dx=
f x dx± g x dx;







2.
( )
( )
kf x dx= k
f x dx;


3.
(
)
(
)
1
f kx dx=
F kx +C;
k

4.
(
)
(
)
1
f kx b dx=
F kx b +C.
k
+
+

Таблица интегралов 
1)
dx
x
C;
=
+

2)
n+1
n
x
x dx=
+C
n+1
,  n −1; 

ln
dx=
|x|+C
x

; 
4)
x
x
e dx=e +C

;  
5) 
ln
x
x
a
a dx=
+C
a

(a > 0, a≠1); 
6)
sin  
cos 
x dx
x
C;
= −
+

7)
cos  
sin 
x dx
x
C;
=
+

8)
tg 
ln cos 
xdx
x
C;
= −
+

9)
  
ctg
ln sin 
xdx
x
C;
=
+

10)
tg
cos2
dx
=
x+C;
x

11)
ctg
sin2
dx
=
x+C;
x
−

12) 
2
2
1 arctg
;
dx
x
C
a
x
a
a
=
+
+

13) 
2
2
1 ln
;
2
dx
x
a
C
x
a
a
x
a
−
=
+
−
+

14) 
2
2
arcsin
;
dx
x
C
a
a
x
=
+
−
15) 
2
2
2
2
ln
;
dx
x
x
a
C
x
a
=
+

+

16) 
2
arcsin
arccos
;
1
dx
x
C
x
C
x
=
+
= −
+
−

17) 
2
arctg
arcctg
.
1
dx
x
C
x
C
x
=
+
= −
+
6 

О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й  И Н Т Е Г Р А Л
Определенным интегралом функции y = f(x) на [a, b] называется 
( )

=
→
→



n
i
i
i
n
x
x
f
i
1
0
maxlim

, если этот предел существует и не зависит от 
способа разбиений [a, b] на 
ix

и от выбора точек 
i.  
Определенный интеграл обозначается 
( )
.
b
a
f x dx

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. 
Условно непосредственное интегрирование в определенном интеграле можно разделить на два этапа: 
1. Интегрирование.
2. Подстановка пределов по формуле Ньютона–Лейбница.
На первом этапе, как и при неопределенном интегрировании, используются только свойства интегралов и таблица интегралов. Различие лишь в том, что на каждом шаге проставляются пределы интегрирования и в результате константа не ставится. 
На втором этапе выполняется подстановка пределов интегрирования по формуле Ньютона–Лейбница. Она выглядит следующим образом: 
,
где F(x) – первообразная от функции f(x). В результате вычисления любого определенного интеграла получается некоторое число или числовое выражение. 
( )
(
)
( )
( )

−
=
=
b
a
b
a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(
7 

М Е Т О Д Ы  И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я
Метод разложения 
Метод разложения основан на свойстве 1 неопределенного интеграла. 
Примеры. Вычислить интегралы: 
1. (
)
2
3
4
7
.
x
x
dx
+
+

Решение. Используя свойство 1, разложим интеграл на сумму интегралов: 
(
)
=
+
+
=
+
+




dx
dx
x
dx
x
dx
x
x
7
4
3
7
4
3
2
2
Затем, используя свойство 2, вынесем константу в каждом интеграле за знак интеграла: 
2
3
4
7
x dx
xdx
dx
=
+
+
=



Применяя таблицу интегралов – формулы (1) и (2), получим 
3
2
3
2
x
x
= 3
+4
+7x+C = x +2x +7x+C.
3
2


В дальнейшем не будем так подробно останавливаться на применении свойств 1 и 2. 
2. 
3
2
3
7
6
8
.
x
dx
x
x


+
+





Решение. 
Воспользуемся 
свойствами 
степенной 
функции 
1
,
k
k
x
x
−
=
,
m
n
n
m
x
x
=
 а также свойствами интегралов 1 и 2 и формулой (2) таблицы интегралов, получим 


=








+
+

=






+
+
−
dx
x
x
x
dx
x
x
x
3
2
3
3
2
3
8
6
1
7
8
6
7

=
+
+
−
=
+

+
−

+
=
−
−
C
x
x
x
C
x
x
x
3
5
2
3
5
2
5
24
3
ln
7
3
5
8
2
6
ln
7
 
3
5
2
3
24
7ln
.
5
x
x
C
x
=
−
+
+
 
3. 
3
2
3
9
2
3cos
9
2
3cos
x
x
x dx
x
x dx
x
−




+
+
=
+
+
=










 
Воспользуемся формулами (2), (5) и (7) таблицы интегралов: 
2
2
18
2
9
3sin
3sin
.
1
ln 2
ln 2
2
x
x
x
x
C
x
C
x
=
+
+
+
= −
+
+
+
−
 
4. 
2
2
sin
5tg 
cos
5ln cos
.
3
3
x
x dx
x
x
C


−
+
=
−
+





 
5. 
2
4
4ctg
4tg 
4ln sin
.
cos
x dx
x
x
C
x


−
=
−
+





 
6. 
2
5
5
3
3
2
ctg 
2
.
2sin
2
ln3
x
x
x
x
e
dx
x
e
C
x


−
+
+
=
+
+
+





 
7. 
(
)
2
2
4
6
6
4arcsin
arctg 
.
5
5 1
1
dx
x
x
C
x
x


+
=
+
+


+
−


 

3
11
3ln
5
5
9
dx
x
x
x
x


−
=
+
+
−




+
+

 
2
11ln
9
.
x
x
C
−
+
+
+
 
9. 
dx
x
x
x
x
x
−
−
−
2
2
3
4
6
6
2
. 
Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель, пользуясь свойствами 1 и 2 и формулами (1), (2), находим 
(
)
6
4
3
2
4
2
2
2
6
2
6
1
x
x
x
x dx
x
x
x
dx
x
−
−
−
=
−
−
−
=


 
C
x
x
x
x
+
−
−
−
=
2
3
5
3
3
2
5
. 
10. 
6
2
3
4
4
3
3
2
6
1
1
6
1,5
1,5
2
2
x
dx
x
dx
x dx
x
C
x
C
x
x
x
−
+
=
+
=
+
+
=
−
+
−



. 
11. 
2
1 3
4
1
3
4
x
x dx
x dx
x
x
−
+


=
−+
=






 
C
x
x
x
+
+
−
2
2
3
|
|
ln
. 
12. (2
3 )(4
)
(8
2
12
3
)
x
x dx
x
x
x x dx
−
+
=
+
−
−
=


 
3
5
2
2
2
4
6
8
6
.
3
5
x
x
x
x
C
=
+