Уравнения математической физики

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Казанский национальный исследовательский технологический университет





Д. Л. Егоров

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ

Учебное пособие










Казань Издательство КНИТУ 2021

         УДК 53:51(075)
         ББК 22.311я7

            Е30


Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического университета


Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Кузнецов канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. Р. Шакирзянов










         Егоров Д. Л.
Е30    Уравнения математической физики : учебное пособие / Д. Л. Егоров;

         Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. - Казань : Изд-во КНИТУ, 2021. - 112 с.

         ISBN 978-5-7882-3055-9


    Представлены основные понятия теории уравнений в частных производных. Рассмотрены наиболее важные уравнения математической физики, особенности постановки соответствующих краевых задач и методы их решения. По каждой теме приведены практические примеры.
    Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 01.03.05 «Статистика», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
    Подготовлено на кафедре интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами.


                                                УДК 53:51(075)
                                                ББК 22.311я7


ISBN 978-5-7882-3055-9    © Егоров Д. Л., 2021
                           © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2021

ВВЕДЕНИЕ


     Уравнения в частных производных встречаются в самых разнообразных областях механики, физики и техники. Ряд важных уравнений, возникших при решении классических задач из указанных областей (например, задачи о колебании струн и стержней, задачи распространения тепла и диффузии и т. д.), были названы уравнениями математической физики. С теоретической точки зрения их изучение позволяет на конкретных примерах познакомиться с особенностями уравнений в частных производных и методами их решения. С практической точки зрения уравнения математической физики предоставляют готовый набор классических методик и математических моделей, которые могут быть полезны при решении различных прикладных проблем.
     История математического аппарата уравнений в частных производных начинается в первой половине XVIII веке в работах Леонарда Эйлера, посвященных теории поверхностей. Важный вклад в развитие уравнений в частных производных внесли Даламбер, Лагранж, Коши, Якоби, Фурье. До появления мощных ЭВМ решения дифференциальных уравнений в частных производных во многих задачах приходилось искать исключительно в аналитическом виде, вводя серьезные упрощающие предположения (курс уравнений математической физики это прекрасно иллюстрирует). По мере развития компьютерной техники все большую роль стали играть приближенные численные методы, реализуемые с помощью компьютерных программ. Это позволило значительно расширить круг решаемых задач.
     Литература по уравнениям в частных производных весьма разнообразна и зачастую объемна, что может осложнять учащимся работу с ней. В разных учебных пособиях авторы делают различные акценты при изложении материала: в одних учебниках на первый план выводится общая математическая теория уравнений в частных производных, в других - сосредоточиваются на конкретных задачах математической физики. Автор данного учебного пособия пошел по второму пути.
     В первом разделе рассматривается само понятие уравнения в частных производных, приводятся общие теоретические сведения о них, а также рассматриваются вопросы классификации уравнений в частных производных первого и второго порядка. Представлены примеры решения конкретных уравнений.

3

     Второй раздел посвящен выводу уравнения поперечных колебаний струны. Рассмотрены вопросы идеализации реального физического процесса, а также представлены два метода решения поставленной задачи - метод Даламбера и метод Фурье. Применение каждого из этих двух методов проиллюстрировано примерами. Кроме того, представлен вывод уравнения продольных колебаний стержня и различных краевых условий для данной задачи.
     В третьем разделе обсуждаются задачи теплопроводности. Выводится уравнение линейной теплопроводности для тонкого стержня. Кратко представлены методы решения этого уравнения для разных условий и показаны примеры. Далее рассмотрена задача о распространении тепла в трехмерном теле. В конце раздела обсуждается задача диффузии, которая сводится к уравнению, формально аналогичному уравнению теплопроводности.
     Последний, четвертый, раздел учебного пособия посвящен оператору и уравнению Лапласа, а также задаче Дирихле в интерпретации ее в терминах задачи теплопроводности. Показаны примеры решения одномерной задачи Дирихле. Рассмотрен метод функции Грина для решения задачи в пространстве.
     Предполагается, что читатель знаком с математическим анализом и линейной алгеброй и что использованная в учебном пособии терминология и специальные обозначения не вызовут у него затруднений.

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ



1.1. Уравнения в частных производных первого порядка


    Уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, в котором присутствует неизвестная функция, зависящая от двух или более переменных, а также ее частные производные. Порядок такого уравнения соответствует порядку входящей в него старшей производной. Решением уравнения в частных производных называется функция, обращающая его в тождество.
    Рассмотрим уравнение в частных производных первого порядка:



F(x¹, x²,

n
.,x,u

ди д и
1x1 ’ 1x2

(1.1)

где u = u (x) ° u (x 1, x 2,..., xn) - неизвестная функция. Введем обозначение



Р1 = ^, Р2 = ^..., Рп =



и будем считать, что функция F(x, u, p) дифференцируема по переменным p 1, p2,..., pn на некотором открытом множестве G пространства переменных x, u, p, причем на этом множестве выполняется



                               n


                              Z


                              i=1


²



^ 0.

i 0

     Функция u = u(x), обращающая (1.1) в тождество, называется решением уравнения (1.1), а поверхность u = u(x) в пространстве

5

переменных x - интегральной поверхностью уравнения (1.1). Вообще говоря, уравнение (1.1) является нелинейным. При некоторых условиях возможны следующие частные случаи.
     1.     Функция F(x, u, p) является линейной относительно переменных p 1, p2,..., pn. Тогда уравнение (1.1) называется квазилинейным и имеет вид


                      " .. а и
                      Ёa⁽x,u⁾ - = b⁽x, u⁾.                  (1.2)
                      i=1      аX

     2.     Коэффициенты aⁱ в уравнении (1.2) не зависят от u, т. е. aⁱ = aⁱ(x). Тогда уравнение (1.2) называется полулинейным и имеет вид

                      n\     a u
                      Ё a⁽x⁾ -x = b (x,u).                  (1.3)

     3.     Функция b(x, u) в уравнении (1.3) является линейной функцией относительно u. Тогда уравнение (1.3) называется линейным и имеет вид


                           n\ ..   a u
                           £ a ⁽x⁾ -^7 = c⁽x⁾ u + d⁽x⁾.
                           i=1     ax


(1.4)

Квазилинейное уравнение (1.2) можно записать в виде


(a, V u) = b,


Обозначение V, использованное выше, представляет собой оператор градиента, результат применения которого к функции u дает следующий вектор:


V u = grad и =

6

или, для функции трех декартовых координат,



grad u = —i + —j + —k,



где i, j, k - единичные векторы.



1.2. Общее решение и задача Коши для уравнения в частных производных

    Множество решений обыкновенного дифференциального уравнения бесконечно, так как в его общее решение входят постоянные, которые могут принимать произвольное значение. Уравнение в частных производных также имеет бесконечное множество решений, только в данном случае речь идет не о произвольных константах, а о произвольных функциях, причем количество этих функций в решении будет соответствовать порядку уравнения: решение уравнения первого порядка будет содержать одну произвольную функцию, решение уравнения второго порядка две произвольных функции и т. д. Такие решения называются общими.
    Приведем примеры. Пусть дана функция u = u(x), и для нее записано обыкновенное дифференциальное уравнение

                          du — = о. dx

Общим решением данного уравнения будет u = C, где C - произвольная константа.
    Пусть теперь искомая функция зависит от двух переменных: u = u(x, y) и дано уравнение

bu = 0.
                          dx


7

Очевидно, что ему удовлетворяет не только некоторая произвольная константа, но и произвольная функция, зависящая только от y:


u = j(y).

     Рассмотрим теперь простейшее уравнение второго порядка, в котором неизвестная функция u по-прежнему зависит от переменных x и y:

д ² u -0                      Z z
                             dxcy ~ °'                    (1.⁵⁾

Введем обозначение:

d u
v ° —.
5y


Тогда левая часть уравнения (1.5) будет записана в виде

д² u   д ( d u dv

Решением уравнения

dv
                              — = 0, dx

как мы уже знаем, является произвольная функция, зависящая от y:

v = f (y).


8

Вернемся к функции u и получим уравнение



=f (y⁾.



Проинтегрировав его, получим общее решение уравнения (1.5) в следующем виде:


u (x, У) = f f (У) dy + У( x).


Поскольку интеграл от произвольной функции является произвольной функцией, последнее равенство можно переписать так:


u(x,y) = j(y)+y(x),


где


j⁽ У⁾ ° J f ⁽У) dy.


     Решим теперь следующее уравнение четвертого порядка:






d⁴ u
-7ТГ = xy.

Проведем интегрирование по переменной x. Получим следующие равенства:


32
d u _x y

+ j(y),

d² u _ x³ y
dy²    6

+xj(y) +y(y).

2

2

9

На этом этапе мы получили две произвольные функции, зависящие от y. Проведем теперь интегрирование по переменной y.



du _ x³ y²
Sy " ~2Г

+ xj j(y)dy + j y(y)dy + X(x),



           33
u = 36 + x J J j(У)dydy + j j У(У)dydy + УX(x) + Z(x)■


Последнее равенство и будет общим решением исходного уравнения. Поскольку интеграл от произвольной функции представляет собой также произвольную функцию, решение можно окончательно записать так:


x³ y³
u =     + x ji⁽У) + У1⁽ У)⁺ Уx⁽ x⁾ + z⁽ x⁾,
36


где через j1 и y1 обозначены соответствующие интегралы.
     Для того чтобы была возможность выделить из бесконечного множества решений некоторое конкретное решение, как и в случае с обыкновенными дифференциальными уравнениями, используются начальные условия. Уравнение в частных производных при заданных начальных условиях называется задачей Коши. Сформулируем это определение более строго.
     Пусть дано уравнение

F (x, u,

du
1x1,.

(1.6)

Пусть также задана регулярная (n - 1)-мерная поверхность класса C¹ без самопересечений в пространстве переменных x 1,..., xn:


S:x=x(t¹,...,tⁿ⁻¹),

10