Методы оптимальных решений

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Казанский национальный исследовательский  
технологический университет 

А. В. Аксянова, Г. А. Гадельшина 

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ 
РЕШЕНИЙ

Учебно-методическое пособие 

Казань 
Издательство КНИТУ 
2021 

УДК 519.8(075) 
ББК 22.18я7

А42

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Казанского национального исследовательского технологического университета 

Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. И. И. Исмагилов 
д-р пед. наук, доц. Ю. В. Торкунова 

А42 

Аксянова А. В. 
Методы оптимальных решений : учебно-методическое пособие / 
А. В. Аксянова, Г. А. Гадельшина; Минобрнауки России, Казан. нац. 
исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2021. – 100 с. 

ISBN 978-5-7882-3096-2

Содержит сведения о классической теории методов принятия оптимальных решений, исследования операций в экономике и управлении. Рассмотрены основные подходы 
к построению моделей и решению задач линейного программирования. Для закрепления 
материала предложен комплекс заданий для лабораторных работ. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 38.03.01 «Экономика»  и 01.03.05 «Статистика», а также для широкого круга обучающихся, интересующихся прикладными аспектами  математической теории оптимизации.  
Подготовлено на кафедре бизнес-статистики и экономики. 

ISBN 978-5-7882-3096-2
© Аксянова А. В., Гадельшина Г. А., 2021
© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2021

УДК 519.8(075)
ББК 22.18я7

2 

В В Е Д Е Н И Е

Проблема оптимального выбора, поиска эффективных вариантов 
действий всегда сопутствует принятию управленческих решений. Вместе с тем рассмотрение подобных вопросов организационного управления требует понимания структуры изучаемого объекта, принципов 
формализации социально-экономических проблем, знания методов решения моделей исследования операций и способов анализа на чувствительность получаемых решений к возможным изменениям параметров 
системы. 
Модели оптимального управления имеют широкий спектр применения в различных областях экономики. Они лежат в основе текущего и перспективного планирования производственной деятельности, 
управления логистическими операциями, описания поведения потребителей, инвесторов и др.  
В данном пособии рассмотрен раздел линейного программирования для решения экономических задач. Показаны общие подходы к построению математических моделей, рассмотрены классические схемы 
и алгоритмы поиска оптимумов.  
Пособие ориентировано на студентов экономических специальностей, а также может представлять интерес для всех, кто хочет получить навыки количественного обоснования решений в любой области. 

Т Е О Р Е Т И Ч Е С К А Я  Ч А С Т Ь

1 .  В В Е Д Е Н И Е  В  М Е Т О Д Ы  О П Т И М А Л Ь Н Ы Х
Р Е Ш Е Н И Й  

Вопросы: 
1. Сущность исследования операций (ИО) как научного направления и
практическое применение методов ИО.
2. Основные понятия ИО.

1.1. Сущность методов принятия оптимальных 
решений 

История возникновения и развития методов принятия оптимальных решений как научного направления начинается в период Второй 
мировой войны. В 1935 г. Великобритания с целью подготовки эффективных средств противостояния нарастающей угрозе со стороны ВВС 
Германии начала разрабатывать системы обнаружения самолетов. 
Принцип действия такой системы состоял в излучении радиоволн 
наземным радиопередатчиком с последующим приемом излучения, отражаемого от самолета; эта система впоследствии был названа радиолокационной. В г. Бодси (на восточном побережье Великобритании) 
был развернут исследовательский центр с соответствующим оборудованием и группой ученых. Параллельно велись исследования в области 
разработки систем сопровождения и наведения самолетов-перехватчиков для повышения эффективности операций перехвата. Это проект вошел в историю как «эксперимент Биггин Хилл», идея которого была 
предложена Генри Тайзардом. 
В 1937 году обе системы стали разрабатываться совместно, 
а необходимость обеспечения согласованных действий всех участников боевых операций потребовала тесного сотрудничества ученых с военными, в результате чего была создана техническая и организационная основа системы оперативного управления. По мере того как 

отрабатывались новые тактические боевые операции, ученые стали 
уделять больше внимания эффективности разрабатываемых операций. 
Для таких исследований руководитель научной группы в Бодси – 
А. Раув применил термин «операционное исследование». С тех пор 
Бодси считают местом зарождения нового научного направления – исследования операций, называемого в Англии операционным исследованием, а время 1935–1938 гг. – временем формирования основных 
научных положений этого направления. 

Имеющиеся исторические документы подтверждают, что опера
ционными исследованиями во время Второй мировой войны занималось около 700 ученых из различных стран – Англии, Канады, Америки. 
Но важным для будущего было то, что в научных разработках военного 
времени произошло зарождение новой науки о функциональных системах, а также возможности использования соответствующих знаний для 
многих видов деятельности в мирное время. Подтверждением этого является тот факт, что после Второй мировой войны специалистами было 
выявлено, что работы по исследованию операций аналогичной направленности проводились и ранее, хотя и разрозненно, и в разных приложениях (например, работы по теории массового обслуживания, исследования в области розничной торговли и др.). 

Так что же такое «исследование операций» в современном пони
мании? Большинство исследователей предлагают следующую современную трактовку сущности исследования операций как научного 
направления: математические методы исследования операций – применение математических, количественных методов для обоснования 
оптимальных решений в различных областях человеческой деятельности. Однако глубже понять смысл этого определения может помочь 
опять-таки история. 

В 1943 году английский физик П. Блеккет (один из руководите
лей работ в Бодси) отмечал, что особенностью исследования операций 
является то, что оно должно иметь строго практический характер. 
А цель исследования – повышение эффективности операций, выполняемых в данный момент или планируемых на будущее. «Чтобы добиться 
этого, изучаются предшествующие операции; затем разрабатываются 
теории, объясняющие наблюдаемые факты, и в конце концов и факты, 
и теории используются для прогноза относительно предстоящих операций…» [2]. Это высказывание содержит два важных обстоятельства. 
Во-первых, прогнозирование будущих событий связано с неопределенностью, однако количественная оценка прогнозов может быть 

достаточно точна, так как различия среди большего числа операций 
сглаживаются, а обобщенные результаты сравнительно устойчивы. 
В этом смысле в исследовании операций используется научный метод 
для изучения и объяснения явлений, связанных с функциональными системами. Такие системы включают в себя людей и механизмы, которые 
действуют в условиях реального мира. Во-вторых, применение исследования операций как научного направления связано с формированием 
административных структур с целью своевременной практической реализацией решений, принимаемых на основе результатов этих исследований. 

Методы оптимальных решений являются одним из разделов ис
следования операций и используются для решения практических задач 
в различных областях, где необходим выбор одного из возможных действий – оптимального решения.  

1.2. Основные понятия 

Операция – это любое мероприятие (действие или система дей
ствий), подчиняющееся определенному замыслу и направленное на 
конкретное достижение цели. Операция всегда является управляемым 
мероприятием, т. е. выбор того или иного способа ее организации зависит от лица, принимающего решение. Термин «организация» здесь следует понимать в смысле выбора такого значения параметров, от которого зависит успех планируемого мероприятия. 

Решение – любой набор всех необходимых параметров. Решения 

могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. 
Но важным является следующее: решение, которое, согласно последующей оценке, оказывается предпочтительнее других возможных вариантов, называется оптимальным. Отсюда можно выделить основное назначение исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений. «Предварительное» означает, что исследование операций нельзя рассматривать как средство полной автоматизации процесса принятия решений, так как окончательное решение 

может быть дополнено различными выводами формального и неформального характера, неучтенными в количественном обосновании. 

Сопутствующими задачами задачи обоснования решения могут 

быть также: 

• сравнительная оценка вариантов организации операции (реше
ний); 

• оценка влияния на результат операции различных параметров; 
• выявление таких элементов управляемой системы, нарушение 

действий которых особенно существенно может повлиять на результат операции.  
Последняя задача становится актуальной в контексте рассмотре
ния исследуемой операции как составной части некоторой системы 
операций. Вообще, рассмотрение любой задачи с точки зрения системного подхода является основополагающим принципом экономико-математического моделирования. 

Эффективность операции – степень готовности операции к вы
полнению своего предназначения. Для того чтобы судить об эффективности операции и сравнивать между собой различные варианты решений, разрабатывается некоторый численный критерий оценки эффективности операций. Его называют также показателем эффективности, 
критерием оценки, целевой функцией (более подробно об этом поговорим далее). Конкретный вид показателя эффективности, его математическое выражение зависит от особенностей изучаемой операции, от ее 
целевой направленности. Например, если исход (результат) операции 
может быть точно предсказан, показателем эффективности операции 
может быть числовое значение конкретного исхода. Если имеется случайный исход операции (результат не может быть точно предсказан), 
в качестве показателя эффективности выбирают среднее значение (математическое ожидание) исхода операции. Можно привести следующие практические примеры: 

• на предприятии разрабатывается комплекс мер по экономии сы
рья при производстве продукции, цель – добиться увеличения 
объема сэкономленного сырья; критерий эффективности – количество сэкономленных средств за определенный промежуток 
времени (числовое значение конкретного исхода); 

• на фирме предпринимается ряд мер по повышению надежности 

сети компьютеров; цель – уменьшить частоту появления 

неисправности, сбоев в сети; критерий эффективности – среднее 
время безотказной работы сети. 
Правильный выбор критерия эффективности является необходимым условием полезности исследования операции. Полезность и эффективность – одни из важных показателей качества управления операцией. 
Математическая модель операции – количественные связи 
между условиями операции, параметрами решения и выходным результатом – критерием эффективности. При построении математической 
модели изучаемая задача упрощается и схематизируется, так как среди 
факторов, влияющих на исход операции, выделяется некоторое число 
наиболее важных. Полученная схема взаимодействия факторов описывается с помощью соответствующего математического аппарата. Принципы математического описания различного типа задач исследования 
операций будут рассмотрены более подробно в соответствующих разделах курса. 

8 

2 .  М Е Т О Д И К А  П О И С К А  О П Т И М А Л Ь Н О Г О
Р Е Ш Е Н И Я  

Вопросы: 
1. Постановка задачи и формулировка проблемной ситуации.
2. Построение математической модели.
3. Решение модели и анализ результатов.

2.1. Постановка задачи

Методика поиска оптимального решения предполагает универсальную в некотором смысле последовательность этапов реализации 
процесса принятия решений. Использование такой методики позволяет 
избежать той ошибки, когда в процессе исследования операции будет 
найдено решение неверно поставленной задачи или, наоборот, правильно сформулированная задача будет решена неверно. Несмотря на 
то, что каждое исследование имеет свои особенности и зависит от инициативы, опыта и интуиции исследователя, можно выделить следующие общие этапы поиска оптимального решения: 
1. Постановка задачи.
2. Построение математической модели.
3. Разработка алгоритма решения.
4. Проверка модели на адекватность.
5. Реализация управленческого решения.
Постановка задачи предполагает по сути ее структурирование,
что можно определить как искусство переходить от исходной ситуации 
к четкой постановке проблемы. Структурирование предполагает получение адекватного обобщения исследуемой проблемы, а не описание 
некоторого ее отдельного признака. Этому может способствовать четкое выделение цели исследования, формулировка проблемы с выделением возможных вариантов решения и выбором критерия эффективности. Этап постановки задачи предполагает обязательное рассмотрение 
следующих вопросов. 
Первоочередная цель любого исследования операций заключается 
в том, чтобы выяснить, что нужно получить в результате проведения 

исследования. Если рассматривать эту проблему с точки зрения теории 
разработки управленческого решения, то формулировка цели не должна 
быть, с одной стороны, очень узконаправленной, с другой – нельзя объять необъятное, т. е. пытаться решить все проблемы сразу в рамках одного исследования. Кроме того, при определении цели текущего исследования следует в какой-то мере предвидеть, как эта цель может измениться в будущем. Примером этого может являться следующая ситуация: в некоторой фирме возникла потребность в исследовании деятельности кредитного отдела с целью выявления оптимального времени обработки кредитных операций. Успешные результаты проведенного исследования привели к пониманию руководителями фирмы того, что разработанную модель исследуемой ранее операции можно использовать 
для описания движения средств всей банковской системы фирмы с целью прогнозирования краткосрочных финансовых операций, но это уже 
потребовало дополнительных разработок.  

С точки зрения использования математических методов в иссле
довании операций можно рассуждать и о целесообразности проведения 
самого исследования. Например, управление бизнес-корпорациями довольно часто предполагает исследование эффективности объединения 
нескольких подразделений в единое целое. Вместе с тем необходимость такого объединения не всегда бывает вызвана экономической выгодой, а скорее субъективными факторами – личной заинтересованностью участвующих в процессе. Другой аспект целесообразности – это 
бессмысленность реализации противоположных в некотором смысле 
стратегий: нельзя получить наибольшую прибыль при наименьших 
вложениях или достигнуть максимального объема благ для всех. 

Если цель исследования определена и есть убежденность в его 

целесообразности, то следующим решается вопрос об эффективности 
операций, т. е. о выборе одного или нескольких критериев эффективности. Как было уже отмечено ранее, критерии особенно важны, так 
как именно они используются, чтобы определить, насколько удалось 
приблизиться к конечной цели. Критерии эффективности могут быть 
экономического (прибыль от реализации продукции, доход от инвестиций, доля рынка, совокупные издержки и др.) и технологического (расход потребляемых ресурсов, продолжительность производственного 
цикла и т. д.) характера. 

Следующий шаг структурирования проблемной ситуации – вы
явление тех переменных (факторов), которые могут быть связаны с достижением цели или могут оказывать на нее влияние. Такие