Метод конечных элементов для решения локальных задач механики композиционных материалов

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
Ю. И. Димитриенко, А. П. Соколов
Метод конечных элементов
для решения локальных задач
механики композиционных материалов
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2010

УДК 539.3+620.22(075.8)
ББК 22.251+30.3
Д47
Рецензенты: А. В. Плюснин, И. В. Станкевич
Димитриенко Ю. И.
Д47
Метод конечных элементов для решения локальных задач механики композиционных материалов : учеб. пособие / Ю. И. Димитриенко, А. П. Соколов. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. —
66, [2] с. : ил.
Изложены основы метода асимптотического осреднения (метода Бахвалова — Победри) для задач теории упругости, а также основы метода конечных элементов для решения локальных задач теории упругости
на «ячейке периодичности» и расчета эффективных упругих характеристик
композитов. Даны вариационные формулировки задач теории упругости
и задач на «ячейке периодичности». Представлены оригинальные результаты относительно метода решения локальных задач. Приведены примеры
численного решения локальных задач и результаты моделирования полей микронапряжений для различных типов композиционных материалов:
однонаправленно-армированных, 3D ортогонально-армированных, армированных по диагоналям куба и тканевых. Представлены результаты численного расчета полей концентрации микронапряжений в компонентах
композитов.
Для студентов старших курсов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика», «Прикладная механика», «Материаловедение», «Ракетостроение и космонавтика», изучающих дисциплины «Численные методы» и «Вычислительная механика».
УДК 539.3+620.22(075.8)
ББК 22.251+30.3
c
⃝МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010

Введение
Композиционными материалами (композитами) обычно называют неоднородные материалы, у которых имеется ярко выраженная
внутренняя структура, обнаруживаемая даже человеческим глазом
и близкая по форме к регулярной, т. е. самоповторяющаяся. Такие композиционные материалы известны человечеству очень давно, например древнейший строительный материал — древесина, обладающий самоповторяющейся внутренней структурой — годовыми
кольцами. Композитом можно считать и кирпичную кладку, так как
у нее периодическая структура, образованная сочетанием кирпичей
и соединяющего их раствора. Природными композитами считают
многие грунты, например глину, содержащую щебенку, и даже песок, поскольку у него также имеется внутренняя структура, образованная поверхностями отдельных песчинок. А вот металлы и сплавы обычно не считают композитами, так как человеческий глаз
не обнаруживает их внутренней структуры — металлических зерен,
и визуально металлы и сплавы кажутся однородными. Составные
части композитов обычно называют компонентами, или фазами.
Приведенные примеры показывают, что данное выше определение композиционных материалов в значительной мере отражает
сложившиеся традиции. Более точное математическое определение
композитов было предложено Б. Е. Победрей [1], согласно которому
композит — это материал, для описания свойств которого применяют математическую модель с разрывными функциями, характеризующими его неоднородную внутреннюю структуру. Согласно этому
определению металлы и сплавы тоже можно полагать композитами, если ставится задача установить связь внутренней зернистой
структуры с их свойствами.
С появлением нового направления в науке о материалах — наноматериалов и нанотехнологий — математическое определение композитов становится более предпочтительным, поскольку возникает
необходимость исследовать «очень тонкую» внутреннюю структуру
материалов, которая может быть установлена только специальной
аппаратурой, например туннельными сканирующими микроскопами. В этом смысле даже традиционно считавшиеся однородными
3

материалы удобно рассматривать как композиты, с тем чтобы использовать математический аппарат, созданный для моделирования
поведения композиционных материалов. Поэтому, не преувеличивая, можно сказать, что современная наука о материалах — это наука
о композиционных материалах.
Одной из основных математических задач в современной
науке о материалах является задача моделирования свойств материалов (их обычно называют эффективными, или макроскопическими, свойствами) по свойствам составляющих их компонентов.
Этой проблеме посвящено значительное число работ; среди многих исследований отечественных ученых, внесших значительный
вклад в решение проблемы моделирования свойств композитов,
отметим исследования Победри Б. Е. [1], Бахвалова Н. С. [2], Ванина Г. А. [3], Малмейстера А. К., Тамужа В. П., Тетерса Г. А. [4],
Тарнопольского Ю. М., Жигуна И. Г., Полякова В. А. [5], Васильева В. В. [6], Алфутова Н. А., Зиновьева П. А., Попова Б. Г. [7]
и многих других. Среди известных зарубежных авторов в области механики композитов выделим Кристенсена Р. [8], СанчесПаленсия Э. [9], Сендецки Дж. [10], Бенсуссаном А., Лионсом Дж.,
Папаниколау Г. [11] и других.
Классические методы расчета эффективных свойств композитов
(см., например, [7, 8, 10, 12]) основаны на существенных предположениях о характере распределения физических полей в компонентах композита или на использовании вариационных принципов. Эти
методы достаточно эффективны для композитов с простыми структурами — слоистыми, однонаправленными, но обычно не обеспечивают необходимой точности расчетов для более сложных — композитов с пространственными структурами.
Наиболее перспективным методом вычисления эффективных
характеристик композитов в настоящее время, по-видимому, является метод асимптотического осреднения (МАО), предложенный
Н. С. Бахваловым [12] в 1974 г. и развитый затем Б. Е. Победрей [1],
Санчес-Паленсия Э. [9], Бенсуссаном А., Лионсом Дж., Папаниколау Г. [11] и другими авторами. Этот метод, который в отечественной литературе часто называют методом Бахвалова — Победри, а в зарубежной — Asymptotic Homogenization Method, позволяет
4

найти точные в математическом смысле эффективные характеристики с помощью решения так называемых локальных задач —
«задач на ячейке периодичности». Однако они являются достаточно
сложными даже для численных методов, так как имеют смешанный интегродифференциальный тип и неклассические граничные
условия периодического типа. Именно поэтому до недавнего времени имелось лишь несколько примеров решения этих задач для
сравнительно простых структур: слоистых, однонаправленных (1D)
и двунаправленных (2D) композитов [7, 13].
В работе [14] был предложен новый метод решения локальных
задач, основанный на сведении их к значительно более простым
задачам на 1
8 части «ячейки периодичности». Для их решения
может быть применен высокоэффективный численный метод конечных элементов.
В дальнейшем на кафедре «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н. Э. Баумана возникла научная
группа, которая занимается применением этого метода для исследования локальных задач в механике материалов.
Целью настоящего издания является изложение основ метода
асимптотического осредения, а также знакомство читателей с численным методом решения локальных задач теории композитов.

Глава 1
Метод асимптотического осреднения
для расчета эффективных упругих
характеристик композиционных материалов
1.1. Система уравнений линейной теории упругости
для периодических структур
В методе асимптотического осреднения (МАО) вводят основное
предположение о том, что рассматриваемый композиционный материал имеет периодически повторяющуюся структуру (рис. 1), образованную набором минимальных элементов, называемых «ячейками периодичности» (рис. 2, где ЯП — «ячейка периодичности»).
Рис. 1. Композиционный материал с периодической структурой
Рис.
2. «Ячейка
периодичности»
в
композите
периодической структуры
Введем L — характерный размер области, занятой композитом,
и ℓ— характерный размер «ячейки периодичности». С учетом того, что L3
 ℓ3N, где N — количество ячеек периодичности, которое
предполагается большим (N
 1), можно ввести малый параметр
3

L

 ℓ

1
 1.
(1.1)
N
Если «ячейка периодичности» представляет собой не куб, а параллелепипед с длиной сторон ℓ1
 ℓ; ℓ2; ℓ3, и характерные раз6

меры всего композита по координатным направлениям составляют
L1
 L; L2; L3, то количество «ячеек периодичности» равно:
ℓ3 K,
N
 L3
ℓ, bi
где K
 b2b3
 ℓi
 Li
L , i
 2, 3. Малый параметр
 в этом
a2a3
, ai
случае связан с числом N соотношением:
L
K
N

 l

3
 1.

Пусть xi — декартовы координаты, тогда для периодической
структуры можно ввести два типа безразмерных координат: ¯
xi —
«медленные» (глобальные) и
i — «быстрые» (локальные):
¯
xi
L ;
i
ℓ.
(1.2)

 xi
 ¯
xi
 xi
Рассмотрим систему уравнений линейной теории упругости, состоящую из уравнений равновесия, определяющих соотношений
линейной теории упругости (обобщенный закон Гука) и соотношений Коши. В декартовой системе координат в безразмерном виде
эти система выглядит следующим образом:

ij
 0;
¯
xj

(1.3)
ij
kl;


 Cijkl



uk
ul
kl
2
 1


¯
xl
¯
xk



,



где
ij — безразмерные компоненты тензора напряжений, отнесенные к характерной величине напряжений
0 (далее будем полагать
0
 1 ГПа); Cijkl — безразмерные компоненты тензора модулей
упругости, отнесенные к
0;
ij — компоненты тензора малых деформаций; ui — безразмерные компоненты вектора перемещений,
отнесенные к L. По повторяющимся латинским индексам везде
идет суммирование [15].
Композит представляет собой структурно-неоднородную среду, и в нем имеются границы раздела отдельных компонентов,
7