Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ 
ОБЛАСТИ

Москва
ИНФРА-М
2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Л.Г. ЛАБСКЕР

Рекомендовано
УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики 
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по специальностям: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,
«Налоги и налогообложение», «Мировая экономика» и «Финансы и кредит»

УДК 330(075.8)
ББК 65.050я73
 
Л12

Лабскер Л.Г. 
Вероятностное моделирование в финансово-экономической области : учебное пособие / Л.Г. Лабскер. — 
Москва : ИНФРАМ, 2024. — 172 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-018749-5 (print)
ISBN 978-5-16-111651-7 (online)

В пособии излагаются основы теории марковских случайных 
процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями 
с дискретным и непрерывным временем, а также потоков Пуассона, 
Пальма и Эрланга. Иллюстрируется их применение в качестве вероятностных моделей различных финансово-экономических ситуаций. Каждый параграф пособия снабжен детально разобранными 
примерами, краткими выводами, вопросами для самоконтроля 
и заданиями с ответами для самостоятельной работы читателя.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования последнего поколения.
Пособие предназначено студентам бакалавриата финансовоэкономического направления, изучающим такие дисциплины, как 
«Экономико-математическое моделирование», «Эконометрика», 
«Исследование операций», «Теория массового обслуживания» и др., 
связанные с вероятностными моделями в управлении экономикой 
и бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при 
обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слушателей института профессиональной переподготовки соответствующих специальностей. 

УДК 330(075.8)
ББК 65.050я73

Л12

ISBN 978-5-16-018749-5 (print)
ISBN 978-5-16-111651-7 (online)
© Лабскер Л.Г., 2010

Р е ц е н з е н т ы:
М.А. Халиков, д-р экон. наук, профессор кафедры математических 
методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова;
В.Н. Красницкий, д-р техн. наук, профессор Научно-исследователького центра информатики при Министерстве иностранных 
дел Российской Федерации;
П.Н. Брусов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной 
математики Финансовой академии при Правительстве Российской 
Федерации

ПРЕДИСЛОВИЕ

Марковские процессы, так же как и потоки событий Пуассона, 
Пальма и Эрланга, составляют один из основных разделов экономико-математического моделирования, входящего в учебные программы высших учебных заведений финансово-экономического 
профиля. Они представляют собой специальный вид вероятностных 
моделей различных процессов, протекающих в финансово-экономических системах. Важность изучения этого раздела объясняется 
и тем, что марковские процессы служат базой теории массового обслуживания, различные разделы которой представляются необходимыми составляющими математического образования бакалавров 
и магистрантов экономического направления.
В предлагаемом учебном пособии изложены основы теории марковских процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями с дискретным и непрерывным временем, а также основные 
понятия потоков Пуассона, Пальма и Эрланга. Дана иллюстрация 
их приложений в качестве вероятностных моделей к анализу различных финансово-экономических ситуаций.
Теоремы, следствия и вычислительные формулы снабжены детальными доказательствами. В конце каждого параграфа имеются 
«Краткие выводы», «Ключевые слова и выражения», «Вопросы для 
самоконтроля» и «Задания» для самостоятельной работы с ответами.
Математический аппарат, используемый в пособии, в основном 
представляет собой некоторые разделы стандартных курсов теории 
вероятностей, математического анализа, теории систем однородных 
линейных дифференциальных уравнений первого порядка, комбинаторики, содержащихся в учебных программах финансово-экономических высших учебных заведений.
Отметим, что определения некоторых понятий и формулировки 
теорем содержались без доказательства и детальной проработки материала в практикуме [5], предназначенном для проведения практических занятий. 
Пособие адресовано студентам бакалавриата финансово-экономического направления, изучающим такие дисциплины, как «Экономико-математическое моделирование», «Эконометрика», «Исследование операций», «Теория массового обслуживания» и др., связанные с вероятностными моделями в управлении экономикой и 
бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при 
 обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слу-
шателей институтов профессиональной переподготовки соответствующих специальностей. Имеющийся в пособии достаточно обшир

ный библиографический список по данной тематике может облегчить студентам процедуру подбора литературы при подготовке ими, 
рефератов, эссе, теоретико-практических работ, сообщений и докладов в рамках научно-исследовательской работы. Пособие может оказаться неплохим подспорьем преподавателям, читающим лекции и 
ведущим практические занятия по соответствующим дисциплинам. 
Автор выражает признательность рецензентам: д-ру экон. наук, 
профессору кафедры математических методов в экономике РЭА 
им. Г.В. Плеханова М.А. Халикову, д-ру техн. наук, профессору Научно-исследовательского центра информатики при Министерстве 
иностранных дел Российской Федерации В.Н. Красницкому и д-ру 
физ.мат. наук, профессору кафедры прикладной математики Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации П.Н. 
Брусову за замечания и конструктивные предложения, учет которых 
позволил улучшить изложение материала.

§ 1. ДИСКРЕТНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

В этом параграфе мы познакомимся с основными первоначальными понятиями и соответствующей им терминологией теории 
марковских случайных процессов.

Рассматриваемые ниже процессы обладают определенным свойством и представляют собой базу вероятностных моделей специального вида. Они названы марковскими по имени впервые их исследовавшего математика А.А. Маркова1.
Напомним предварительно понятие случайной величины.

Определение 1.1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять одно из числовых значений 
известного множества, однако заранее неизвестно, какое именно.

Определение 1.2. Случайным процессом или синонимически случайной функцией S(t), где t — время, называется функция, которая каждому моменту времени t из временного промежутка проводимого 
опыта ставит в соответствие единственную случайную величину S(t).

Значит, аргументом случайной функции является время, а ее значением — случайная величина. Таким образом, случайная функция 
характеризует изменение случайной величины в процессе опыта.
Далее нам придется иметь дело с системами различной природы, 
в основном с экономическими и финансовыми.
В общем случае понятие системы можно определить следующим 
образом.

Определение 1.3. Под системой S будем понимать всякое целостное 
множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить 
на независимые подмножества.

Связи между элементами системы в одну или в обе стороны могут 
быть как непосредственными, так и опосредованными. Например, 
на рис. 1.1. символически изображена система с тремя элементами 
a, b, c и связями между ними. При этом связь между элементами a и 

1 
Марков Андрей Андреевич (14.06.1856 — 20.07.1922) — выдающийся русский 
математик, ординарный академик Петербургской академии наук, заслуженный профессор Петербургского университета, один из ярких представителей Петербургской математической школы; основные исследования 
относятся к теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу.

b — непосредственная в обе стороны, т.е. изменение a влечет изменение b и, наоборот, связь между элементами b и c — непосредственная в одну сторону (изменение элемента c влечет изменение b, но не 
наоборот), связь между элементами a и c — опосредованная в одну 
сторону, т.е. изменение элемента c влечет изменение элемента b, 
а это, в свою очередь, влечет изменение элемента a.

Элементы системы и связи между ними изменяются, вообще говоря, во времени и характеризуют в каждый момент времени t состояние S(t) системы S.

Определение 1.4. Если система S с течением времени t изменяет 
свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе S 
протекает случайный процесс.

Пусть s1, s2, ..., sn, ... — возможные состояния системы S. Обычно 
предполагают, что данные состояния определены (качественно) так, 
что в любой момент времени система пребывает только в одном из 
них, т.е. для любого момента времени t найдется единственное состояние si — такое, что S(t)  si.
Если множество состояний не более чем счетно (т.е. конечно 
{s1, …, sn} или счетно {s1, …, sn, …}), то оно дискретно. Если множество 
состояний более чем счетно (например, имеет мощность континуумпа), то оно непрерывно.
В случае дискретного множества состояний система меняет свои 
состояния скачком (мгновенно). В случае же непрерывного множества состояний переход системы из состояния в состояние осуществляется непрерывно (постепенно, плавно).
В дальнейшем мы будем рассматривать только системы с дискретным множеством состояний, предполагая при этом, что в каждый 
фиксированный момент времени система может пребывать только в 
одном из своих возможных состояний.

Определение 1.5. Процесс, заключающийся в том, что система с 
дискретным множеством состояний в некоторые моменты времени 

Рис. 1.1

скачком (мгновенно) перескакивает случайным образом из одного 
состояния в другое, называется дискретным случайным процессом.

Определение 1.6. Случайный процесс, протекающий в системе S, 
называется марковским, если он обладает свойством отсутствия последействия, состоящим в том, что для каждого момента времени t0 
вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t  t0) 
зависит только от ее состояния S(t0) в настоящем (при t  t0) и не 
зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в 
прошлом (при t  t0).

Свойство отсутствия последействия называют также свойством 
отсутствия памяти, а марковские процессы — процессами без памяти.
В финансово-экономической практике нередко встречаются случайные процессы, которые с определенной погрешностью можно 
считать марковскими.
Для анализа дискретных случайных процессов, протекающих в 
системе, удобно пользоваться графами ее состояний.

Определение 1.7. Под графом состояний системы мы будем понимать множество прямоугольников (квадратиков или кружков), 
условно изображающих состояния, внутри которых помещаются 
обозначения состояний, и множество стрелок возможных непосредственных переходов из состояния в состояние.

Пример 1.1. На рис. 1.2 изображен граф системы S с восемью состояниями s1–s8, с возможными непосредственными переходами 
s1 → s2, s3 → s2, s3 → s7, s4 → s5, s5 → s4, s5 → s1, s6 → s7, s7 → s8, s8 → s6.

Например, переход из состояния s3 в состояние s8 возможен через 
состояние s7 и потому является опосредованным; непосредственный 
же переход s3 → s8 невозможен, поскольку на графе отсутствует соответствующая стрелка. 

Рис. 1.2

Определение 1.8. Группа состояний системы называется множеством без выхода, если система, однажды попав в него, может из любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое 
его состояние, но никогда не может выйти из этого множества. Множество без выхода называют также поглощающим множеством или 
обобщенной ловушкой.
В частности, если множество без выхода состоит из единственного состояния, то последнее называется состоянием без выхода, которое также называется поглощающим состоянием или ловушкой.

Например, состояния s6, s7, s8 на рис. 1.2 образуют множество без 
выхода, а состояние s2 является состоянием без выхода.

Определение 1.9. Группа состояний системы называется множеством без входа, если система, находясь в этом множестве, может из 
любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое его состояние, но, выйдя однажды из этого множества, система 
уже никогда в него не возвратится. Множество без входа называют 
также неустойчивым или неустановившимся множеством.
В частности, если множество без входа состоит из единственного 
состояния, то последнее называется состоянием без входа, а также 
неустойчивым или неустановившимся.

На рис. 1.2 состояния s4 и s5 образуют множество без входа, а состояние s3 является состоянием без входа.

Определение 1.10. Система называется эргодической1, если она из 
любого своего состояния может перейти за конечное число шагов в 
любое другое состояние. 

Ясно, что эргодическая система не имеет состояний без входа, 
состояний без выхода, множеств без входа и множеств без выхода. 
Система с графом состояний на рис. 1.2 не является эргодической. Пример графа состояний эргодической системы приведен на 
рис 1.3. 

Изучение любой системы, в которой протекает марковский дискретный процесс, следует начинать с четкого описания всех интере
1 
Эргос (греч.) — работа.

Рис. 1.3

сующих нас состояний, в которых может пребывать система, и построения графа этих состояний.
В любой фиксированный момент времени t  t0 система S, в которой протекает марковский дискретный случайный процесс, может 
находиться только в одном из своих возможных состояний s1, s2, ..., 
но неизвестно, в каком именно. То есть состояние S(t0) может быть 
одним из состояний s1, s2, ... . Чтобы S(t0) интерпретировать как (дискретную) случайную величину, надо каждое состояние s1, s2, ... охарактеризовать количественно. Это можно сделать различными способами. Например, приписать каждому состоянию si, i  1, 2, ... в качестве количественной характеристики его номер i, т.е. si  i. Тогда 
S(t0) будет представлять собой дискретную случайную величину с 
множеством значений {1, 2, ...}.

Определение 1.11. Дискретную случайную величину S(t0) называют 
сечением случайного процесса, протекающего в системе S, в момент 
времени t0.

Очевидно, что соответствие t → S(t) будет являться дискретной 
случайной функцией времени t.

Определение 1.12. Если провести наблюдение за процессом в системе S в течение некоторого промежутка времени от t0 до t0  t 
(t  0), то случайная величина S(t) в каждый момент времени 
t  [t0, t0  t] примет конкретное числовое значение, в результате 
чего мы получим уже не случайную, а обычную функцию, которая 
называется реализацией данного процесса за временной промежуток 
[t0, t0  t].

Для выполнения условия однозначности функции будем считать, 
что в момент перескока система находится в состоянии, в которое 
она перескочила, а не в состоянии, из которого она перескочила.

Пример 1.2. Построим реализацию случайного процесса за промежуток времени [t0, t0  t] (t  0), протекающего в системе S, граф 
состояний которой изображен на рис. 1.3. Предположим, что наблюдения показали пребывание системы S в указанных ниже промежутках времени соответственно в следующих состояниях:

[t0, t1) (t0  t1  t0  t)
s2
[t1, t2) (t1  t2  t0  t)
s3
[t2, t3) (t2  t3  t0  t)
s1
[t3, t4) (t3  t4  t0  t)
s2

[t4, t5) (t4  t5  t0  t)
s3
[t5, t0  t]
s2

Характеризуя количественно каждое состояние его номером, получим реализацию данного случайного процесса за промежуток времени [t0, t0  t], представляющую собой уже не случайную, а обычную ступенчатую разрывную функцию, имеющую разрывы в точках — моментах перескока.

S t

t
t
t

t
t
t

t
t
t

t
t
t
( )

,
,

,
,

,
,

,
,
=

≤
<

≤
<

≤
<

≤
<

2

3

1

2

3

0
1

1
2

2
3

3
4

при

при

при

при

,
,

,
,

при

при

t
t
t

t
t
t
t

4
5

5
0
2

≤
<

≤
≤
+

⎧

⎨

⎪
⎪
⎪⎪

⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
Δ

определенную на отрезке [t0, t0  t], график которой изображен на 
рис 1.4. 

Пример 1.3. Рассмотрим процесс работы одного окна «Коммунальные платежи» в операционном зале банка в рабочее время. В некоторые промежутки времени у окна не будет посетителей — оно 
будет свободным. А в другие — будет занятым обслуживанием посетителей.
Попробуем смоделировать процесс работы окна, которое будет 
интерпретировать в качестве системы S. Тогда система S может пребывать в одном из двух состояний: s0 — окно свободно, s1 — окно 
занято. (Здесь нумерацию состояний мы начали с нуля, а не с единицы, хотя это не является принципиальным).

Рис. 1.4