Вероятностное моделирование в финансово-экономической области

ВЕРОЯТНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
В ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ 
ОБЛАСТИ

Москва
ИНФРА-М
2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Л.Г. ЛАБСКЕР

Рекомендовано
УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики 
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по специальностям: «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,
«Налоги и налогообложение», «Мировая экономика» и «Финансы и кредит»

УДК 330(075.8)
ББК 65.050я73
 
Л12

Лабскер Л.Г. 
Вероятностное моделирование в финансово-эконо-
мической области : учебное пособие / Л.Г. Лабскер. — 
Москва : ИНФРАМ, 2024. — 172 с. — (Высшее образо-
вание).

ISBN 978-5-16-018749-5 (print)
ISBN 978-5-16-111651-7 (online)

В пособии излагаются основы теории марковских случайных 
процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями 
с дискретным и непрерывным временем, а также потоков Пуассона, 
Пальма и Эрланга. Иллюстрируется их применение в качестве ве-
роятностных моделей различных финансово-экономических ситуа-
ций. Каждый параграф пособия снабжен детально разобранными 
примерами, краткими выводами, вопросами для самоконтроля 
и заданиями с ответами для самостоятельной работы читателя.
Соответствует Федеральному государственному образовательно-
му стандарту высшего образования последнего поколения.
Пособие предназначено студентам бакалавриата финансово-
экономического направления, изучающим такие дисциплины, как 
«Экономико-математическое моделирование», «Эконометрика», 
«Исследование операций», «Теория массового обслуживания» и др., 
связанные с вероятностными моделями в управлении экономикой 
и бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при 
обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слу-
шателей института профессиональной переподготовки соответству-
ющих специальностей. 

УДК 330(075.8)
ББК 65.050я73

Л12

ISBN 978-5-16-018749-5 (print)
ISBN 978-5-16-111651-7 (online)
© Лабскер Л.Г., 2010

Р е ц е н з е н т ы:
М.А. Халиков, д-р экон. наук, профессор кафедры математических 
методов в экономике РЭА им. Г.В. Плеханова;
В.Н. Красницкий, д-р техн. наук, профессор Научно-исследо-
вателького центра информатики при Министерстве иностранных 
дел Российской Федерации;
П.Н. Брусов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной 
математики Финансовой академии при Правительстве Российской 
Федерации

ПРЕДИСЛОВИЕ

Марковские процессы, так же как и потоки событий Пуассона, 
Пальма и Эрланга, составляют один из основных разделов эконо-
мико-математического моделирования, входящего в учебные про-
граммы высших учебных заведений финансово-экономического 
профиля. Они представляют собой специальный вид вероятностных 
моделей различных процессов, протекающих в финансово-эконо-
мических системах. Важность изучения этого раздела объясняется 
и тем, что марковские процессы служат базой теории массового об-
служивания, различные разделы которой представляются необхо-
димыми составляющими математического образования бакалавров 
и магистрантов экономического направления.
В предлагаемом учебном пособии изложены основы теории мар-
ковских процессов, протекающих в системах с дискретными состо-
яниями с дискретным и непрерывным временем, а также основные 
понятия потоков Пуассона, Пальма и Эрланга. Дана иллюстрация 
их приложений в качестве вероятностных моделей к анализу различ-
ных финансово-экономических ситуаций.
Теоремы, следствия и вычислительные формулы снабжены де-
тальными доказательствами. В конце каждого параграфа имеются 
«Краткие выводы», «Ключевые слова и выражения», «Вопросы для 
самоконтроля» и «Задания» для самостоятельной работы с ответами.
Математический аппарат, используемый в пособии, в основном 
представляет собой некоторые разделы стандартных курсов теории 
вероятностей, математического анализа, теории систем однородных 
линейных дифференциальных уравнений первого порядка, комби-
наторики, содержащихся в учебных программах финансово-эконо-
мических высших учебных заведений.
Отметим, что определения некоторых понятий и формулировки 
теорем содержались без доказательства и детальной проработки ма-
териала в практикуме [5], предназначенном для проведения практи-
ческих занятий. 
Пособие адресовано студентам бакалавриата финансово-эконо-
мического направления, изучающим такие дисциплины, как «Эко-
номико-математическое моделирование», «Эконометрика», «Иссле-
дование операций», «Теория массового обслуживания» и др., связан-
ные с вероятностными моделями в управлении экономикой и 
бизнесом. Однако оно может быть с успехом использовано при 
 обучении студентов специалитета, магистрантов, аспирантов и слу-
шателей институтов профессиональной переподготовки соответству-
ющих специальностей. Имеющийся в пособии достаточно обшир-

ный библиографический список по данной тематике может облег-
чить студентам процедуру подбора литературы при подготовке ими, 
рефератов, эссе, теоретико-практических работ, сообщений и докла-
дов в рамках научно-исследовательской работы. Пособие может ока-
заться неплохим подспорьем преподавателям, читающим лекции и 
ведущим практические занятия по соответствующим дисциплинам. 
Автор выражает признательность рецензентам: д-ру экон. наук, 
профессору кафедры математических методов в экономике РЭА 
им. Г.В. Плеханова М.А. Халикову, д-ру техн. наук, профессору На-
учно-исследовательского центра информатики при Министерстве 
иностранных дел Российской Федерации В.Н. Красницкому и д-ру 
физ.мат. наук, профессору кафедры прикладной математики Финан-
совой академии при Правительстве Российской Федерации П.Н. 
Брусову за замечания и конструктивные предложения, учет которых 
позволил улучшить изложение материала.

§ 1. ДИСКРЕТНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

В этом параграфе мы познакомимся с основными первоначаль-
ными понятиями и соответствующей им терминологией теории 
марковских случайных процессов.

Рассматриваемые ниже процессы обладают определенным свой-
ством и представляют собой базу вероятностных моделей специаль-
ного вида. Они названы марковскими по имени впервые их иссле-
довавшего математика А.А. Маркова1.
Напомним предварительно понятие случайной величины.

Определение 1.1. Случайной величиной называется величина, кото-
рая в результате опыта может принять одно из числовых значений 
известного множества, однако заранее неизвестно, какое именно.

Определение 1.2. Случайным процессом или синонимически случай-
ной функцией S(t), где t — время, называется функция, которая каж-
дому моменту времени t из временного промежутка проводимого 
опыта ставит в соответствие единственную случайную величину S(t).

Значит, аргументом случайной функции является время, а ее зна-
чением — случайная величина. Таким образом, случайная функция 
характеризует изменение случайной величины в процессе опыта.
Далее нам придется иметь дело с системами различной природы, 
в основном с экономическими и финансовыми.
В общем случае понятие системы можно определить следующим 
образом.

Определение 1.3. Под системой S будем понимать всякое целостное 
множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить 
на независимые подмножества.

Связи между элементами системы в одну или в обе стороны могут 
быть как непосредственными, так и опосредованными. Например, 
на рис. 1.1. символически изображена система с тремя элементами 
a, b, c и связями между ними. При этом связь между элементами a и 

1 
Марков Андрей Андреевич (14.06.1856 — 20.07.1922) — выдающийся русский 
математик, ординарный академик Петербургской академии наук, заслу-
женный профессор Петербургского университета, один из ярких предста-
вителей Петербургской математической школы; основные исследования 
относятся к теории чисел, теории вероятностей и математическому ана-
лизу.

b — непосредственная в обе стороны, т.е. изменение a влечет изме-
нение b и, наоборот, связь между элементами b и c — непосредствен-
ная в одну сторону (изменение элемента c влечет изменение b, но не 
наоборот), связь между элементами a и c — опосредованная в одну 
сторону, т.е. изменение элемента c влечет изменение элемента b, 
а это, в свою очередь, влечет изменение элемента a.

Элементы системы и связи между ними изменяются, вообще го-
воря, во времени и характеризуют в каждый момент времени t состо-
яние S(t) системы S.

Определение 1.4. Если система S с течением времени t изменяет 
свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе S 
протекает случайный процесс.

Пусть s1, s2, ..., sn, ... — возможные состояния системы S. Обычно 
предполагают, что данные состояния определены (качественно) так, 
что в любой момент времени система пребывает только в одном из 
них, т.е. для любого момента времени t найдется единственное со-
стояние si — такое, что S(t)  si.
Если множество состояний не более чем счетно (т.е. конечно 
{s1, …, sn} или счетно {s1, …, sn, …}), то оно дискретно. Если множество 
состояний более чем счетно (например, имеет мощность контину-
умпа), то оно непрерывно.
В случае дискретного множества состояний система меняет свои 
состояния скачком (мгновенно). В случае же непрерывного множе-
ства состояний переход системы из состояния в состояние осуще-
ствляется непрерывно (постепенно, плавно).
В дальнейшем мы будем рассматривать только системы с дискрет-
ным множеством состояний, предполагая при этом, что в каждый 
фиксированный момент времени система может пребывать только в 
одном из своих возможных состояний.

Определение 1.5. Процесс, заключающийся в том, что система с 
дискретным множеством состояний в некоторые моменты времени 

Рис. 1.1

скачком (мгновенно) перескакивает случайным образом из одного 
состояния в другое, называется дискретным случайным процессом.

Определение 1.6. Случайный процесс, протекающий в системе S, 
называется марковским, если он обладает свойством отсутствия по-
следействия, состоящим в том, что для каждого момента времени t0 
вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t  t0) 
зависит только от ее состояния S(t0) в настоящем (при t  t0) и не 
зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в 
прошлом (при t  t0).

Свойство отсутствия последействия называют также свойством 
отсутствия памяти, а марковские процессы — процессами без памя-
ти.
В финансово-экономической практике нередко встречаются слу-
чайные процессы, которые с определенной погрешностью можно 
считать марковскими.
Для анализа дискретных случайных процессов, протекающих в 
системе, удобно пользоваться графами ее состояний.

Определение 1.7. Под графом состояний системы мы будем пони-
мать множество прямоугольников (квадратиков или кружков), 
условно изображающих состояния, внутри которых помещаются 
обозначения состояний, и множество стрелок возможных непосред-
ственных переходов из состояния в состояние.

Пример 1.1. На рис. 1.2 изображен граф системы S с восемью со-
стояниями s1–s8, с возможными непосредственными переходами 
s1 → s2, s3 → s2, s3 → s7, s4 → s5, s5 → s4, s5 → s1, s6 → s7, s7 → s8, s8 → s6.

Например, переход из состояния s3 в состояние s8 возможен через 
состояние s7 и потому является опосредованным; непосредственный 
же переход s3 → s8 невозможен, поскольку на графе отсутствует со-
ответствующая стрелка. 

Рис. 1.2

Определение 1.8. Группа состояний системы называется множе-
ством без выхода, если система, однажды попав в него, может из лю-
бого его состояния перейти за конечное число шагов в любое другое 
его состояние, но никогда не может выйти из этого множества. Мно-
жество без выхода называют также поглощающим множеством или 
обобщенной ловушкой.
В частности, если множество без выхода состоит из единствен-
ного состояния, то последнее называется состоянием без выхода, ко-
торое также называется поглощающим состоянием или ловушкой.

Например, состояния s6, s7, s8 на рис. 1.2 образуют множество без 
выхода, а состояние s2 является состоянием без выхода.

Определение 1.9. Группа состояний системы называется множе-
ством без входа, если система, находясь в этом множестве, может из 
любого его состояния перейти за конечное число шагов в любое дру-
гое его состояние, но, выйдя однажды из этого множества, система 
уже никогда в него не возвратится. Множество без входа называют 
также неустойчивым или неустановившимся множеством.
В частности, если множество без входа состоит из единственного 
состояния, то последнее называется состоянием без входа, а также 
неустойчивым или неустановившимся.

На рис. 1.2 состояния s4 и s5 образуют множество без входа, а со-
стояние s3 является состоянием без входа.

Определение 1.10. Система называется эргодической1, если она из 
любого своего состояния может перейти за конечное число шагов в 
любое другое состояние. 

Ясно, что эргодическая система не имеет состояний без входа, 
состояний без выхода, множеств без входа и множеств без выхода. 
Система с графом состояний на рис. 1.2 не является эргодиче-
ской. Пример графа состояний эргодической системы приведен на 
рис 1.3. 

Изучение любой системы, в которой протекает марковский дис-
кретный процесс, следует начинать с четкого описания всех интере-

1 
Эргос (греч.) — работа.

Рис. 1.3

сующих нас состояний, в которых может пребывать система, и по-
строения графа этих состояний.
В любой фиксированный момент времени t  t0 система S, в ко-
торой протекает марковский дискретный случайный процесс, может 
находиться только в одном из своих возможных состояний s1, s2, ..., 
но неизвестно, в каком именно. То есть состояние S(t0) может быть 
одним из состояний s1, s2, ... . Чтобы S(t0) интерпретировать как (дис-
кретную) случайную величину, надо каждое состояние s1, s2, ... оха-
рактеризовать количественно. Это можно сделать различными спо-
собами. Например, приписать каждому состоянию si, i  1, 2, ... в ка-
честве количественной характеристики его номер i, т.е. si  i. Тогда 
S(t0) будет представлять собой дискретную случайную величину с 
множеством значений {1, 2, ...}.

Определение 1.11. Дискретную случайную величину S(t0) называют 
сечением случайного процесса, протекающего в системе S, в момент 
времени t0.

Очевидно, что соответствие t → S(t) будет являться дискретной 
случайной функцией времени t.

Определение 1.12. Если провести наблюдение за процессом в сис-
теме S в течение некоторого промежутка времени от t0 до t0  t 
(t  0), то случайная величина S(t) в каждый момент времени 
t  [t0, t0  t] примет конкретное числовое значение, в результате 
чего мы получим уже не случайную, а обычную функцию, которая 
называется реализацией данного процесса за временной промежуток 
[t0, t0  t].

Для выполнения условия однозначности функции будем считать, 
что в момент перескока система находится в состоянии, в которое 
она перескочила, а не в состоянии, из которого она перескочила.

Пример 1.2. Построим реализацию случайного процесса за про-
межуток времени [t0, t0  t] (t  0), протекающего в системе S, граф 
состояний которой изображен на рис. 1.3. Предположим, что наблю-
дения показали пребывание системы S в указанных ниже промежут-
ках времени соответственно в следующих состояниях:

[t0, t1) (t0  t1  t0  t)
s2
[t1, t2) (t1  t2  t0  t)
s3
[t2, t3) (t2  t3  t0  t)
s1
[t3, t4) (t3  t4  t0  t)
s2

[t4, t5) (t4  t5  t0  t)
s3
[t5, t0  t]
s2

Характеризуя количественно каждое состояние его номером, по-
лучим реализацию данного случайного процесса за промежуток вре-
мени [t0, t0  t], представляющую собой уже не случайную, а обыч-
ную ступенчатую разрывную функцию, имеющую разрывы в точ-
ках — моментах перескока.

S t

t
t
t

t
t
t

t
t
t

t
t
t
( )

,
,

,
,

,
,

,
,
=

≤
<

≤
<

≤
<

≤
<

2

3

1

2

3

0
1

1
2

2
3

3
4

при

при

при

при

,
,

,
,

при

при

t
t
t

t
t
t
t

4
5

5
0
2

≤
<

≤
≤
+

⎧

⎨

⎪
⎪
⎪⎪

⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
Δ

определенную на отрезке [t0, t0  t], график которой изображен на 
рис 1.4. 

Пример 1.3. Рассмотрим процесс работы одного окна «Комму-
нальные платежи» в операционном зале банка в рабочее время. В не-
которые промежутки времени у окна не будет посетителей — оно 
будет свободным. А в другие — будет занятым обслуживанием посе-
тителей.
Попробуем смоделировать процесс работы окна, которое будет 
интерпретировать в качестве системы S. Тогда система S может пре-
бывать в одном из двух состояний: s0 — окно свободно, s1 — окно 
занято. (Здесь нумерацию состояний мы начали с нуля, а не с единицы, 
хотя это не является принципиальным).

Рис. 1.4